Statica (Meccanica Razionale)

Statica

Sollecitazione Discreta e Sollecitazione Ripartita

1) Con il termine sollecitazione si intende solamente un sistema di vettori applicati identificabili come forze applicate a punti materiali.

2) Ai punti geometrici si aggiunge la qualifica di materiali per indicare le proprietà che li distingue da semplicemente geometrici di essere soggettabili a forze.

3) Una forza può essere considerata come una grandezza vettoriale che ha la capacità di produrre uno spostamento di un sistema al quale è applicata, lungo la sua direzione a meno che il sistema non sia sottoposto e vincoli lungo tale direzione. In generale una forza ha la capacità di vericare lo stato cinematico di un sistema (compatibilmente con i vincoli), [producono accelerazioni o decelerazioni]

4) Utilizzando quindi, lo schema del punto materiale, l'insieme {P_i, f_i}_i=1,2,...,m definisce una sollecitazione discreta

5) Schemi diversi, di sistemi materiali, richiedono una diversa schematizzazione delle forze. Nel caso in cui si adotti lo schema del continuo materiale, si introduce una funzione vettoriale densità di forza f(P) (per unità di lunghezza o di superficie o di volume, a secondo della struttura geometrica del continuo C).

a cui si associano risultante e momento risultante

F = ∫_C f(P) dC   M(O) = ∫_C (P-O) × f(P) dC

Si parla in tal caso di sollecitazione ripartita ridotta nel punto O

1. Funzione Forza

In generale la forza agente sul punto (P_m) varia al variare della posizione del punto, della sua velocità e del tempo

F = f(P, Ṗ, t)   M(O) = (P-O) × F(P, Ṗ, t)

Un esempio di forza che dipende dalla velocità è la Resistenza Viscosa (resistenza nel mezzo fluido).

È un tipo di forza che si oppone al moto per effetto dell’attrito di un fluido, e il suo modulo aumenta con l’aumentare della velocità:

Γ = - β J, con β > 0

Nota: La forza centripeta dovrebbe essere una forza che dipende sia della posizione (raggio) e della velocità

1. Se il punto P è libero, indicando con F le forze direttamente applicate, ottenute eventualmente come risultante di campi di forze direttamente applicate, la condizione di equilibrio si traduce

   F = F(P) = 0

   P LIBERO [COND. NECESSARIA E SUFFICIENTE]

Teorema

Le posizioni di equilibrio per un punto libero soggetto al campo di forze F(P) sono tutte e solo quelle ove il campo F(P) è nullo

2. Su un punto materiale vincolato agisce in generale una forza dovuta al vincolo. Questa forza è detta reazione vincolare (o forza reattiva). Indicata questa con con ϕ , la condizione caratteristica dell'equilibrio del punto materiale vincolato si scrive

   (1*) F + ϕ = 0

   P VINCOLATO [COND. NECESSARIA]

Bisogna però attenzionarne, perché non tutti i tipi di vincoli generano una reazione tale da avere componenti lungo tutti e tre gli assi di una terna cartesiana, e per questo, a seconda del tipo di vincolo, la (1*) risulta essere necessaria ma non sempre sufficiente

e quindi, per la risoluzione di un problema statico

1. Determinare le configurazioni di equilibrio
2. Determinare le reazioni vincolari

Detto questo, si possono determinare due casi distinti:

1. Il problema della determinazione delle reazioni vincolari ammette un'unica soluzione[PROBLEMA STATICAMENTE DETERMINATO]
2. Il problema ammette infinite soluzioni[PROBLEMA STATICAMENTE INDETERMINATO]

Statica di un Sistema Rigido

C’è un caso molto importante in cui le Equazioni Cardinali della Statica esprimono condizione non solo Necessaria ma anche Sufficiente per l’equilibrio di un sistema materiale: è il caso del Sistema Rigido. Questo accade perché le forze interne non influenzano affatto sull’evoluzione di un sistema rigido (il lavoro elementare di una sollecitazione equivalente è zero se applicata a punti di un sistema materiale rigido).

Teorema:

Condizione Necessaria e Sufficiente affinché un sistema materiale rigido soggetto a vincoli indipendenti del tempo che si trova in quiete in un istante t₀, rispetto ad un dato osservatore, conservi lo stato in un intervallo di tempo [t₀, t₁] è che nello stesso intervallo di tempo siano soddisfatte le Equazioni Cardinali della Statica:

• ∫F + ϕ = 0
• μ(t₀) + μ(t₀) = 0

E.C.S.: Necessarie e Sufficiente per un Sistema Rigido (config. di equilibrio)

Nota: Per i corpi rigidi si può evitare di evidenziare nelle E.C.S. La distinzione tra forze esterne e forze interne al sistema rigido stesso.

Nota 2: Da queste equazioni si deduce che lo stato di quiete di un corpo rigido libero o vincolato soggetto a sollecitazione attiva ∑^(a) non viene alterato se si costituisce a ∑^(a) una sollecitazione ad essa equivalente o si aggiunge una sollecitazione equivalente a zero.

può essere caricata da più forze attive, la cui risultante

la indichiamo con _I.

Il comportamento geometrico della cerniera interna

è espresso da 2(m+1) equazioni di vincolo indipendenti,

per cui il sistema della n aste, che su di essa

si articolano, ha n+2 gradi di libertà.

Il comportamento meccanico della cerniera interna, supporta

liscia, è descritto in figura sotto riportata, essa scambia

con ciascuna delle n aste reazioni vincolari (interne)

uguali e opposte, di cui non è nota la direzione.

Sistema Disegnato

Enunciato:

Il sistema delle reazioni

vincolari che un vincolo interno

applica alla totalità delle componenti

rigide che esso vincola è equivalente al sistema di forze

attive applicate nel punto che è sede del vincolo considerato

(nodo). Nel caso siano esclusi le sollecitazioni attive

moduli, il sistema delle reazioni vincolari risulta dunque

equilibrato.

L’enunciato si può sintetizzare nella forma: il sistema

delle forze agenti sul nodo è equilibrato, e può

L'equilibrio sussiste solo per particolari valori dei carichi (P≠p) ma il numero P di equazioni indipendenti di equilibrio non è sufficiente a determinare univocamente i valori delle reazioni vincolari (il sistema non è m+p...), in pratica un sistema diventa vincolato contemporaneamente meccanismo di mobilità e condizione di iperstaticità.

Si chiamano vincoli inefficaci, cioè che si può andare a chiamare vincoli di ridondanza o di backup, in quanto da un punto di vista ingegneristic... l'eventuale rottura di un vincolo fisico non comporta variazioni del sistema, in quanto il vincolo precedentemente inefficace ripristina le condizioni del sistema.

Nota: I vincoli sono scabri se la reazione vincolare non esiste come componenti lungo direzioni delle componenti cinematiche non vincolate.