Statica - Appunti ed Esercitazioni sulla Cinematica e Geometria delle Aree

Programma:

Cinematica

• Formula generale dello spostamento rigido
• Spostamenti rigidi infinitesimi
• Spostamenti generici azzati
• Spostamenti rigidi piani
• Centro di rotazione
• Sistema rigido
• Attrito dei corpi rigidi
• Equazioni di vincolo cinematiche
• Caratterizzazione dei vincoli esterni ed interni piani
• Classificazione dei vincoli piani
• Problema cinematico
• Sistemi d'assi contemporanei dei sistemi dei corpi
• Cinematica grafica
• Distrazioni

Statica

• Equazioni cardinali della statica
• Forza e momento di una forza
• Sistemi equivalenti di forza
• Sistemi piani di forza
• Forze vincolate
• Forze attive e reattive
• Caratterizzazione statica dei vincoli
• Classificazione dei vincoli piani
• Il problema statico
• Classificazione statica dei sistemi dei corpi rigidi
• Sistemi d'assi contemporanei del corpo rigido trave
• Diagrammi delle caratteristiche delle sollecitazioni
• Equazioni indirette di equivalerio
• Metodi semplici di soluzione

Dualità dei Problemi Cinematico e Statico

• Dualità nei sistemi di corpi rigidi
• Il TLV per i sistemi dei corpi rigidi
• I concatenatori del TLV
• Applicazioni del teorema dei lavori virtuali

Geometria delle Aree

• Area
• Momento statico rispetto ad una retta
• Baricentro
• Momento d'inerzia rispetto ad una retta
• Momento d'inerzia polare
• Assi principali d'inerzia
• Nucleo centrale d'inerzia

Cinematica

è quel ramo della meccanica classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di studiarlo matematicamente. Si studia ciò che ha prodotto quel tipo particolare di moto (cause dinamiche) le mutue configurazioni dei punti materiali non cambiano, non prendendo la propria configurazione originale.

Corpo Rigido

è un insieme di punti materiali in cui la distanza tra tutte le possibili coppie di punti non può mai variare. Quindi è un corpo (ideale) che non si deforma mai; mai quando è fermo, ma qualora cambiasse moto, le mutue configurazioni dei punti materiali non cambiano, ma prendendo la propria configurazione originale.

Questo significa che le sue parti sono soggette al vincolo di rigidità.

Spostamento Rigido

L’occupazione di cinematiche e di statica, dando per poter che sostanzialmente il quale portano quasi CORPI RIGIDI.

Spostamento Rigido = Traslazione Rigida + Rotazione Rigida

Dato un corpo rigido in configurazione iniziale C, fa uno spostamento rimanendo nella configurazione rigida C’.

• E-2 configuraziopvd
  • Iniziale
  • Invariante
  • Di Riferimento
  • E-2 CONFIGURAZIONE
  • I PARALLELA
  • IL VIBIRAZIARIO
  • I ISTUALUARE

Non tutte le parti descrivono traiettorie uguali nella traslazione.

PP’ è lo spostamento rotatorio e lo posso risolvere con la somma dei 2 vettori.

PP’ = Pt + Pr

Osservazioni:

Dalla sua origine A un punto generico P del corpo rigido, P si porta ad una posizione P’ variato a_x e a_y.

• x’ e y’ sono le proiezioni del vettore a lungo l’asse x e lungo l’asse y che sono le componenti di P.

Supponiamo che ci sia solo la rotazione.

Nota: se proietto il punto P sull’asse x e f_yx per l’ipotesi di corpo rigido f_yx le dovranno mantenere una distanza invariante, allora P_x si muove di f_x, per lo stesso motivo P_f si muove di f_x.

Centro di Rotazione

È un particolare punto che nel moto rigido rimane fermo, cioè’ nulla posizione ne spostamento si mu si tutta il piano.

Per trovare le coordinate x_c y_c del centro di rotazione nel piano impiego delle x_g y_o per definizione percio':

Dall’espressione delle coordinate di C mi trovo u₀, v₀.

Questo significa che se muovo il martello di riferimento del polo I il numero di corpi sarà descritto dalla ... rotazione, questa di punto di vista.

Stiamo analizzando un caso piano.

[...]

Se ci sono più vincoli, faccio questa operazione più volte: A diventa una matrice.

NUMERO DI COLONNE DI A = NUMERO DI RIGHE DI A (colonne=m)

NUMERO DI RIGHE DI A = EQ. DI VINCOLO (righe=M)

• m = molteplicità della matrice (doF)
• m_i = gradi di libertà del sistema

Questa matrice può assumere varie forme:

• m=m -> MATRICE QUADRATA
• m<n -> MATRICE RETTANGOLARE ALLUNGATA
• m>n -> MATRICE RETTANGOLARE ALTA

Cedimenti vincolari vincolo che esercita una reazione al corpo appogato.

• [...]

Aμ=δ

CLASSIFICAZIONE CINEMATICA DEI VINCOLI (PIANI)

1. CARRELLO
2. CERNIERA
3. PATTINO
4. INCASTRO
5. BIDERIVOLO

... soluzioni esiste ne ammette una, infinite o nessuna.

Classificazione cinematica: ... dei corpi rigidi. Questa è la classificazione cinematica dei sistemi.

Esso va a guardare come è fatto il sistema:

• Quanti corpi lo compongono
• Quanti sono i gradi di libertà (m)
• Quanti sono i vincoli (reazioni, incognite) globali (m)
• Quanti vincoli possono essere messi
• Decide se il sistema ammette una, infinite o nessuna soluzione

Il teorema di Rouché-Capelli ci torna utile per definire le equazioni della struttura ... numerando anche il rango di A ... ci troviamo nei 3 casi:

1) Sistema cinematicamente determinato o isocinematico

_mm^m = p det A ≠ 0 → 1 sola soluzione: x = A⁻¹ b

I vincoli sono sufficienti a bloccare il sistema, per cui gli spostamenti sono nulli, a meno che non intervengano cediamenti. In questo caso = 0.

2) Sistema cinematicamente indeterminato o ipercinematico o sistema labile

_mm^m - m ↦ ∞ - m soluzioni (s ≠ 0)

Il numero dei vincoli è insufficiente per bloccare il sistema, ovvero gli spostamenti rigidi del sistema ... una meccanismo accede così ... cediamenti ... meccanismo.

3) Sistema cinematicamente impossibile o ipocinematico

_mm^m = p → impossibile

I vincoli sono sovrabbondanti. Questo sistema è impossibile a meno che i cediamenti non ...

• Variazioni su tema
• GUFO + CARRELLO

Il gufo è l'equivalente di 2 pendoli ad assi paralleli.

m = 3 = n (carrello)

• Se il carrello è ad asse verticale il sistema è isocinetico
• Se il carrello è ad asse orizzontale il sistema è degenero

perché il gufo tende verticalmente il corpo (r_a = 0, r_b).

Vincolando anche V il carrello è da muovere allo stesso

modo (r = 0, r = 0)

Viceversa, se il gufo è orizzontale Q S

• GUFO + BIPENDODIO

Il bipendolo impedisce solo la rotazione ...

solo il gufo per imperdita PB

• 2 CORPI → ARCHI A 3 CERNIERE

• Sono quindi sistemi formati da due archi di forma
• qualunque, collegati fra loro da cerniere interne
• e vincolati a terra da 2 cerniere.

2 VINCOLI ESTERNI: 2CERNIERA

1 VINCOLO INTERNO: 1CERNIERA

M = 2 - 3 = M = 3 X 2 - 6

M = m + TME = 2(a) + 2(b) + 2(c)

m = 1

• Sembra però che il sistema sia isostatico ma, in realtà
• è "DEGENERE" perché le travi A e B possono ruotare
• rigidamente intorno alla verticale in corrispondenza della
• cerniera in D

perché due travi possono anche allargarsi allo stesso modo,

generalmente incompiute, per definizione delle travi,

rigidamente intorno alle travi

• Affinché questo sistema sia ISOCINETICO, le 3
• CERNIERE NON DEVONO ESSERE ALLINEATE