Stabilità e analisi del moto per quadrature

Posso utilizzare R(t) per certi dati iniziali.

Punto di equilibrio

Dico che Req è un punto di equilibrio per (∗) se dato qualunque C≈0, R(t) = Req e resto fermo!

Stabilità alla Lyapunov dei pt. equilibrio

Un pt di equilibrio è stabile se dati viruali R(t) producono una rimanenti vicini a Req per sempre :

∀e ≈0 1≈δ≈e t.c.

• per (R(0), R(0)) ∈ I≈
• I≈ = {(R, V) t.c. |R-Req| < δ, |V| < δ}
• ⇒ R(t) ∈ t.c. (RCt, RCt)) ∈ I≈ ∀ e t > 0

Req è instabile quando non è stabile

∃e ≈0 t.c. ∀ δ ≈ e ∃ (R(0), RC(0)) ∈ I≈ e t.c.

(RCt, RCt)) esce da I≈ in tempo finito

Per capire se un punto è stabile o instabile :

• Se Req è MINIMO stretto di U ≈ stabile
• Se Req è MASSIMO stretto ma degenero instabile

* H dice che se dai vicini a Req in un intorno di raggio δ, allora nel tempo, rimangono nei vicini a Req in un intorno di raggio δ.

⇒ Teorema di Dirichlet di stabilità lineare

• Se Req è un minimo locale stretto di U ⇒ eq stabilità
• Se Req è un massimo pt di sella ma degenero (hessian ≈ 0) di U ⇒ eq instabilità

Ricorda che l'hessiano= (Hₒ,ₜₒ,₃) = ∂²U/∂R∂R

*(Req)

Ha mai degenere <=> $\exists$ autovalore $\leq$ 0

t.c. una matrice

reale e simmetrica

* significa che W_AX ed i suoi possono

essere degeneri, è importante e $I_{R_{eq}}>0$

Per assurdo, sia R_eq un autovalore <0 => sia un

Dmn. Per assurdo, sia R_e un autovalore <0 => sia un

autovalore maggiore

Definizione W(R,V)≠½ V·HW·U(Req) - U(Req).

Per costruzione, W(R_eq,0)=0 ed è W≤0 in un

intorno di (R_eq,0) ∀(R,V)∈C I_E ⊄ R_eq/{(Req,0)}

con ε≺0 piccolo t.c.∀ (R,V)∈E$I_{E}$ ⊄ R ╵ $I_{E}$ ⊄ _ε dove

J è ∈ t.c un intorno di R_eq t.c. ╨ U(R)

Nota che W è continua

W(R,V)>0 per (R,V) →(R_eq,0).

I_E Se mi allontano di poco da

(R_eq,0)

⇒ Intorno su I_E dov'e ε∈ε

Nota che per la continuità di W(I_Req,0),

∫   ε_E per dato iniziali

non può esistere per cui: ε_E

k_eq max mai degenere t.c. U^'(x_eq)=0

U^'(x_eq)<0

Voglio ridurla alla forma dell'oscillatore armonico

Nota:

M real e simmetrica d'arbitrio

e autovet di H > 0

dove y_i(t) = x(t) v_i

lunga l'autovett di X

sistema disaccoppiato con la

y₁ = λ₁ y₁

sistema disaccoppiato con la stessa formula dell'oscillatore

y₁ = a₁ cos √λ₁ t + b₂ y₁

+ B₁ An cos (√λ_n t + Φ_n )

x(t) = una delle eq. originali linearizzate per lunghi movimenti

punto di equilibrio

R(t) = Req + A₁ cos (√λ₁ t + Φ₁ ) + M^-1/2 V₁ + ...

quanto più vicino a Req parto, tutto più a lungo resterà vicino.

b) Caso parabolico:

La funzione mai si annulla mai, quindi il grafico di √(2E-V(θ)) è praticamente lo stesso. Rappresenta oscillazioni che procedono indefinitivamente nello stesso verso.

• Procediamo ora alla integrazione per quadrature che sarà a sua volta divisa per casi
• 2) 0<E<2ω²

Sipongo di trovarmi in θ⁺ all'istante t:

θ + √(2E + V(θ) + ω²cosθ = √(2ω/cosθ - E/ω²) = √2ω√/cosθ = θ

θ̇/√cosθ-cosθ = √2ω

θ(t) de / √cosθ-cosθ = √2ω

e(t) de / √2ωcosθ-cosθ = t-t

• Nota: F(E) = θ(t) de: (0,t) / √cosθ-cosθ = √2ω√(t-t)
• F(E,θ,t) -> [0,t)
• → F(E) e [0,t)
• Stetti crescente per 0