Stabilità e analisi del moto per quadrature

Quindo integro una forza possibile, posso utilizzare R(c(t)) per cerc tivi initii.]

Punti di equilibrio

Dico che Req è un punto di equilibrio per x

• xe solo punti criti.
• gR(c0)₀ R(c0)(t) = (Req) _{punto fermo!}

Stabilita alla lyrypunov dei pt equlibrio

• Un pt di equilibrio e stabile don tutti vicnu a Req produce Chesi. Innaouguo vicin Ʌεo d ʆε a t.c por (R(c0),R(c0)) E Is c Is={R,V} t.c IR-ReqZc X R(t) E t.C (RC(t),)E ʆΝE t.o Req e instabile quando non e stabile

• Ʌεo t.c. Ʌ ʆε E (R(c0),R(c0)) E Is t.c. (RC(t), RC(t)) Ese

• Per capire di un puoto e stabile o restabile : ↝ Se Req e MINIMO stretto di U E stable ↝ Se Req e MASSIMO Sessa mai, deve pure unstable

• *Un dice che Ny = 0 (non qui) pows cli non vicini a Req, U da raggio S, aluna nel tempo, pwo neestonvicin a Req iu un instore di neostarrira Δ₈
• Teeromia da Dirichet di salabte lyneare Se Req e un un un minimo locole stretto di U => Reg stabile
• Se Req e un massimo mai deve pure di sella nesc, evere (neasono) di U {}

• Ricorda che l’mesurone: (Reg) ^3SUPPU

Qualora integrare non fosse possibile, posso analizzare R(t) per certi dati iniziali.

Punti di equilibrio

Dico che Req è un punto di equilibrio per (x) se sono punti critici di

Se (R(0), Ṙ(0)) = {Req, 0} ⇒ Ṙ(t) = Req mi resto fermo!

Stabilità alla Lyapunov dei pt equilibrio

• Un pt di equilibrio è stabile se dati ∀η > 0, l'orbita di Req produce una propria orbita vichiata che rimango vicino per sempre al vicino x.
• ∀ε > 1 δ > 0, t.c.per {R(0), Ṙ(0)} ∈ Is, Iε⊆ Iδ
• Iδ = {R(t), t.c. |R-Req|_i, ≤ δ |Ṙ| < δ }⇒ R(t) e t.c. Iε(R(t)), Ṙ(t)) ≤ (∀ε, ∀t > 0
• Req è instabile quando non è stabile ∃ε > 0, t.c., ∀δ ≤ ε, ∃ (R(0), Ṙ(0)) ∈ Iδ, t.c.(R(t), Ṙ(t)) esce da Iε in tempo finito.

Per capire se un punto è stabile o instabile :

• se Req è MINIMO stretto di U ⇒ stabile
• se Req è MASSIMO stretto ma degenere ⇒ instabile

* Un ciclo che non si resse in un vicinal a Req, Se un ciclo di raggio lessa ora nel tempo puro nella sua vicina ad Req, in parametro del punto di Req e un intorno di per ripetere δ.

Teorema di Dirichlet di stabilità lineare

• Se Req e è un MINIMO locale stretto di U ⇒ eq stabile
• Se Req è un MASSIMO stretto di un punto di sella ma degenere (Hessiano ≤ 0) di U ⇒ eq instabile.

Ricorda che l'Hessiano: (H_d)_i,j =∂²U/∂Ṙi∂Ṙj (Req)

Ho mai degenere 3 autovalore ≤ 0

Se una matrice reale e simmetrica => autovalutate base ortonormale di autovettori V₁, ..., Vₙ t.c.

V = Σ λⱼ Vⱼ

v(Vⱼ) = δⱼ e

autovalori λ₁, ..., λn ∈ R

* significa che il max e i min possano essere degenere; l’importante è che la sella abbia almeno 1 (.

Dim: Per assurdo, sia R autovalore < 0 => Xeq mai degenere

Definiamo W(R, V) = 1/2 V·MV + U(R) - U(Req).

Per costruzione, W(Rₑq, 0) = 0 ed W ≤ 0 in un intorno di (Req, 0) [W(R, V) < 0 V(R, V) ∈ Iₑ ∩ (Req, 0)] con Iₑ ε₀ piccolo t.c. (R, V) ∈ Iₑ => R ∈ J* dove

J* e t.c. un intorno di Req t.c. U(B*), Û(Req).

perchè Reg e un minimo

NOTA: Wr e continua

W(R, V) > 0 per (R, V) = (Req, 0)

_Iₑ

(W > 0

W ≤ 0

(Req, 0)

→ tutto i punti su Iₑ sono > εₑ

Nota che per la continuità di W in (Req, 0),

∀ εs-e t.c. max W < ε /2

∃ (Rₙ, Vₜ) ∈ Iₑ

ovvero trovo un fronte di raggio d’

entro tal quale l’energia ε < ε /2

Per la ca. serv. dell’energia, i dati i iniziali in Iₑ sono t.c. W(Rₒ(t), V(t)) ≤ ε /2 V≥0

=>

=> non può esistere una taropa per cui > εₑ

=> non è instabile è stabile

Dim. dell’instabilità (3 >=2 R??)

Xeq max mai degenere = t.c. U‴(xeq) = 0

U‴(xeq) < 0

taylor dimostrare che dati in un vicin a (x_eq,0) onda da I_e ad un tempo finito. Per farlo, l'eventuale problema, si studia con taylor μ(x) approssimazione lineare per √x μẋ = -U’(x_eq) - √(x_eq) + R₂ (x; x_eq) dove |R₂ (x; x_eq)| ≤ K |x