Stabilità dei Flussi Paralleli

Stabilità dei flussi paralleli

Il regime di flusso laminare è di per sé un caso particolare delle situazioni reali, poiché è una configurazione instabile. Fluidi a bassa viscosità (acqua, gas, …) sono normalmente turbolenti. La transizione da laminare a turbolento avviene qualitativamente per 3 ~ 10. Per fluidi viscosi è possibile dimostrare che il flusso laminare diventa instabile sopra un certo valore, ma non esiste un esatto studio che descriva la transizione, che ad oggi non è ancora un fenomeno chiaro. La teoria delle piccole perturbazioni, però, può essere utilizzata per studiare la stabilità delle soluzioni stazionarie e ha riscontrato negli anni grande successo.

Approccio generale all'analisi di stabilità

L'approccio generale ad una qualsiasi analisi di stabilità per la dinamica di un fenomeno fisico segue i seguenti passi:

• Trovare la soluzione base del problema, U = U_0 + U';
• Aggiungere un disturbo alla soluzione: (U + U') nell’equazione e sottrarre l’equazione non perturbata;
• Trovare le equazioni alle perturbazioni: sostituire U';
• Linearizzare il problema (ipotesi di piccole perturbazioni: U' ≪ U);
• Semplificare il problema (se necessario);
• L’equazione linearizzata deve essere omogenea ed avere condizioni al bordo omogenee. Ovvero, può essere risolta soltanto per valori particolari dei parametri del problema (ricerca degli autovalori);
• Interpretazione dei risultati e disegno di un grafico con regioni di stabilità e curve neutre.

Flusso incomprimibile e soluzione 2D stazionaria

Consideriamo un flusso incomprimibile e la soluzione 2D stazionaria (U, V) = (U(y), 0) costanti:

• ∇∙V = 0
• ρ(dU/dt + V∙∇U) = −∇P + μ∇²U

Introduciamo le perturbazioni (armoniche): U' = U'(x, y, z)e^{i(ωt − kx)}

Supponiamo che la perturbazione sia un’onda parallela al piano x-z con ampiezza che varia lungo y e con direzione del fronte inclinata di un angolo rispetto all’asse x: U' = U'cos(θ) + V'sin(θ)

Sottraiamo la soluzione stazionaria, linearizziamo (il termine ∇U' è trascurabile), ed esprimiamo le equazioni in notazione complessa. Per semplicità trattiamo il caso in cui il flusso sia 2D puro, ovvero U = U(y) e V = 0. In questo modo il profilo della velocità risulta indipendente da y a meno del fattore cos(θ), e con il flusso anche la stabilità.

Continuità: ∇∙U = 0