Stabilità dei sistemi lineari e stazionari

Stabilità dei sistemi lineari stazionari

1° capitolo: Sistemi a controreazione - Il criterio di Nyquist

Si consideri il seguente sistema lineare stazionario a tempo continuo interconnesso: il sistema fisico, rappresentato dalla funzione di trasferimento F(s), è sottoposto all'azione di controllo implementata dal regolatore C(s), il quale provoca la differenza tra un segnale di riferimento r e l'uscita del sistema y, opportunamente riportato in ingresso attraverso il dispositivo di retroazione H(s). Un tale sistema interconnesso rappresenta uno schema di controllo a controreazione.

Si parla di catena aperta o sistema a ciclo aperto quando l'interruttore I è aperto, cosicché la funzione di trasferimento che esprime la relazione tra l'ingresso di riferimento e l'uscita misurata è W_AP(s) = F(s)C(s).

Si parla di catena chiusa o sistema a ciclo chiuso quando l'interruttore I è chiuso, per cui la funzione di trasferimento tra l'ingresso di riferimento e l'uscita misurata è:

W_ch(s) = (I + F(s)C(s)H(s))^-1F(c)C(s) = (I + W_AP(s)H(s))^-1W_AP(s)

Ma non è solo l'analisi della stabilità dei sistemi a ciclo chiuso. Supponiamo inoltre che la dinamica del regolatore sia trascurabile rispetto a quella del dispositivo di controllo e dello stesso sistema fisico; cosicché la funzione di trasferimento H(s) esprime un semplice legame diretto e non dipende dalle variabili di loop. Se l'uscita è riportata identica in ingresso (H = 1), si parla di controreazione unitaria.

Gli angoli della stabilità di un sistema a controreazione esterna possono ricondursi all'analisi della stabilità di un opportuno sistema a controreazione unitaria, in cui il blocco di trasmissione è riportato in catena aperta.

• Le equazioni dinamiche di questo primo sistema sono:

  ẋ(t) = Ax(t) + B(v(t) - Hy(t))

  y(t) = Cx(t) ⇒ ẋ(t) = (A - BHC)x(t) + Bv(t)

  da cui il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso è:

  d_ch(λ) = det(λ-A+BHC)

• Analogamente, le equazioni del secondo sistema sono:

  ẋ(t) = Ax(t) + B(v_i(t) - y(t))

  y(t) = Cx(t) ⇒ ẋ(t) = (A - BHC)x(t) + BHv(t)

  da cui si ottiene lo stesso polinomio caratteristico per il sistema a ciclo chiuso.

L'uguaglianza dei polinomi caratteristici implica le medesime proprietà di stabilità. Per questo motivo, ci si riferisce ai sistemi a controreazione unitaria, le cui funzioni di trasferimento a ciclo chiuso, in accordo con l'espressione opportunamente semplificata per sistemi SISO (Single Input Single Output), è dato da:

W_cl(s) = W_ap(s) / (1 + W_ap(s))

La stabilità di un sistema a controreazione unitaria può essere studiata trovando il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso e calcolandone le radici, eventualmente utilizzando il criterio di Routh. Un metodo alternativo è basato sul diagramma polare della funzione di trasferimento a ciclo aperto e prende il nome di criterio di Nyquist.

Criterio di Nyquist

Sia dato un sistema lineare stazionario a tempo continuo SISO, posto in controreazione unitaria. Sia N il numero (algebrico) dei giri, contati positivi in senso anti-orario, che il diagramma polare relativo alla funzione di trasferimento a ciclo aperto W_ap(s) compie attorno al punto -1+j0 del semipiano reale negativo del polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso, P_ch, è dato dalla formula:

P_ch = P_ap - N

dove P_ap è il numero delle radici e parti reali positive del polinomio caratteristico del sistema a ciclo aperto.

Osservazione 1.1: Un modo per contare il numero di giri del diagramma polare (o di una generica curva orientata) attorno a un punto consiste nel considerare le intersezioni delle curve con una semicirconferenza uscente dal punto. Le intersezioni si considerano positive se concordi con il verso antiorario di rotazione, altrimenti sono negative; la somma algebrica delle intersezioni costituisce il numero di giri. Ai fini del conteggio non ha importanza la direzione della semicirconferenza uscente.

Nel caso in cui W_Δ(s) abbia poli nell'asse immaginario (i poli reali nullo), il diagramma polare non è definito ma questo non importa; utilizzando il percorso indicato si ottengono uno o più rientri all'infinito in modo da potere nuovamente calcolare il numero di giri attorno al punto -1+j0. Qualora il diagramma polare porti sul punto -1+j0, vuol dire che il polinomio caratteristico del sistema a ciclo chiuso ha almeno una radice a parte reale nulla. In questi casi si deforma il diagramma polare in modo da lasciare -1+j0 all'interno dell'escursione del numero reale negativo, concordemente con il verso crescente delle pulsioni. Applicando il criterio di Nyquist in questo modo si ottiene il numero delle radici a parte reale positive.

Quindi, si deforma il diagramma polare in modo da lasciare -1+j0 al di fuori dell'intersezione del numero reale negativo, concordemente con il verso concordato delle pulsioni. Applicando il criterio di Nyquist in questo modo si ottiene il numero delle radici a parte reale positive o nulla. Detta loro differenza è possibile, ricavare anche il numero delle radici del polinomio caratteristico a ciclo chiuso a parte reale nulla.

È interessante ai fini della stabilità, valutare l'andamento del valore dei parametri che costituiscono la funzione di trasferimento: in particolare, è significativo il caso in cui il polo promotore fa variare il guadagno di Bode in catena aperta. Queste situazioni rappresentano un ritirama a controreazione, la cui funzione di controllo (le funzione di trasferimento (cs) in figura) viene rappresentato dal solo guadagno K.

Analizzando il diagramma polare della funzione di trasferimento a catena aperta, all'aumentare del guadagno K la curva si "espande" mantenendo sostanzialmente la forma, in quanto varia solo l'ampiezza del raggio vettore le correva uniformemente per ogni valore della fase. Ragionando in altri termini, si può pensare di tenere fisso il diagramma (costruito, ad esempio, per K-z.1) riducendo la scala degli assi coordinati al crescere di K.

Un sistema a controreazione di questo tipo si dice a stabilità RECOSIVA (ne esiste un solo valore critico o portino dal promotore né al crescere del quale si perde la stabilità): questo classe di sistema la non ricostruira nella realtà; in quanto è possibile la perdita di stabilità... al crescere del guadagno in catena aperta.

Un esempio significativo per questa classe di sistemi è costituito da un sistema con stabile un catena aperta (Pirma) ed il diagramma polare ha un solo attraversamento a -T. La stabilità è garantita se il punto -rjC9 si esterna di diagramma; unica che il guadagno in cotano aperte e con ritorno di però ni ci in concordonitze delle fusione wC di intervenzione con il numero reale rispettio, le funzione di trasferimento sn ie modulo ≤1.

Sia WCPs = KF(s) dove [WsCP(Ws)]. Per i sistemi a stabilità negativa è possibile stabilire anche dei margini e promesse della stabilità del sistema e ciò deriva da precisi di modalità univocani e incontrare negli altri parametri che costituiscono le funzioni di trasferimento. Si definisce MG.

Come si può notare, il margine di guadagno è >1 se, e solo se, il sistema a ciclo chiuso è stabile e al crescere di tale margine l'intersezione del diagramma polare con il semione reale negativo si allontana progressivamente del punto critico -1 + j0, cosicché la condizione di stabilità è robusta rispetto ad eventuali incarnazioni nel modello.

Per come è definito, il margine di guadagno può essere facilmente individuato anche nei diagrammi di Bode, fig.

MG^dB = 20 log₁₀

Un modo alternativo per ottenere un margine di stabilità consiste nel considerare l'angolo individuato dal semiasse reale negativo e la semiretta uscente dall'origine e passante per il punto del diagramma polare di modulo unitario; fig.

4.6

Tale angolo, detto margine di fase, si descrive come segue:

q = ∠W(jω_c)-π con |W(jω_c)|=1

ed è positivo (a meno di multipli di 2π) se il sistema a ciclo chiuso è stabile. Anche il margine di fase è facilmente individuabile nei diagrammi di Bode.

2° capitolo: Sistemi a tempo continuo - Il criterio di Routh

La trattazione dei sistemi a tempo continuo e il relativo criterio di Routh saranno affrontati nel capitolo successivo.