Sottospazi vettoriali

Sottospazi vettoriali

Definizione

Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V si dice un sottospazio vettoriale di V se è a sua volta uno spazio vettoriale con le operazioni definite in V.

Osservazione

Affinché un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio è sufficiente che W sia chiuso rispetto alle sue operazioni definite in V:

1. ∀ u₁, u₂ ∈ W ⇒ u₁ + u₂ ∈ W;
2. ∀ w ∈ W e ∀ c ∈ ℝ ⇒ c · w ∈ W.

Dalla 2^a condizione, se c = 0 si ha 0 · w = O_V ∈ W. Dunque: O_V ∉ W ⇒ W non è un sottospazio vettoriale di V.

Esempi

1. Nello spazio vettoriale M_n sono dei sottospazi:
   • S_n: matrici simmetriche;
   • A_n: matrici antisimmetriche;
   • Matrici triangolari superiori (inferiori);
   • Matrici strettamente triangolari superiori (inferiori);
   • Matrici diagonali.
2. In Rⁿ, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo:

   S_o = { X_(m,n) ∈ R^m | A_(m,m) × X_(m,n) = O_(m,p) } ⊆ Rⁿ è un sottospazio vettoriale di Rⁿ.

3. In R[x]: l'insieme di polinomi di grado 3:

   p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ (a₃ ≠ 0)

   Sono p(x) = 1 - 5x + 4x² + 7x³
   p₂(x) = 9 + 2x² - 7x³
   ⇒ p₁(x) + p₂(x) = 10 - 5x + 6x² Pertanto, I non è un sottospazio vettoriale di R[x].

   Invece, R₃[x] l'insieme dei polinomi di grado ≤ 3 è un sottospazio vettoriale di R[x].

4. Fissati dei vettori v₁, v₂, v₃, ... v_k di uno spazio vettoriale V: l'insieme
   1. span{v₁, v₂, v_k}_R = {c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ + ... + c_kv_k | c₁, c₂, c₃, ..., c_k ∈ R }

   è l'insieme di tutte le combinazioni lineari con v₁, v₂, v₃, ..., v_k ed è un sottospazio vettoriale di V generato da v₁, v₂, v₃, ..., v_k.

   Esempio: In M₍₂₎:
   A = ( ^{1 -1} / _{2 0} ), B = ( ^{3 -1} / _{2 1} ), C = ( ^{1 -1} / _{5 4} )

   R{A, B, C} = { a·A + b·B + c·C = ( ^{-a + 3b + c} / _{2a + b + 5c} ) | a, b, c ∈ R }

   è il sottospazio vettoriale delle matrici 2x2 generato da A, B e C. Ad esempio, per a = 2, b = 1, c = 3 si ha = ( ^{-2 -3} / _{18 11} )

Dipendenza e indipendenza tra vettori

Dati k vettori \( \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \ldots, \vec{v_k} \in V \), si imposta l'equazione:

\( c_1 \cdot \vec{v_1} + c_2 \cdot \vec{v_2} + c_3 \cdot \vec{v_3} + \ldots + c_n \cdot \vec{v_m} = \vec{0_v} \) (1),

si dice che:

1. \( \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \ldots, \vec{v_k} \) sono linearmente indipendenti se \( c_1, c_2, c_3, \ldots, c_k \) verificano (1) solo quando \( c_1 = 0, c_2 = 0, c_3 = 0, \ldots, c_k = 0 \).
2. \( \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \ldots, \vec{v_k} \) sono linearmente dipendenti se (1) si verifica anche con almeno un coefficiente non nullo.

Esercizio

In \( \mathbb{R}^4 \): i vettori

\( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \)