Sommario Analisi II

Serie Numeriche

(Somma di quantità reali)

Il comportamento della serie dipende dal limite della successione delle somme

\[S_n = a_0 + a_1 + ... + a_n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \]

• \( \lim_{n \to \infty} S_n = S \)
• Convergente a somma pari a S
• Divergente (a \(\pm \infty\))
• Indeterminata, oscillante

Criterio necessario alla convergenza

Se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) converge allora \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)

(Nessun Dato Infermieristico per \(n \to \infty\))

Condizione necessaria ma non sufficiente!

Serie geometrica di ragione \(x \in \mathbb{Q}\)

\[ \sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1+q+q^2+ \cdots \]

\[ S_n = \frac{q^{n+1}}{1-q} \]

• Se \(|x| < 1\) la serie converge \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\)
• Se \(|x| > 1\) la serie diverge per \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = +- \infty\)
• Se \(|x| = 1\) la serie è indeterminata

Serie di Mengoli (Serie telescopica)

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

\( \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 \right) = 1 \)

Convergente con somma 1

Serie armonica

\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \)

• Converge per \(p > 1\)
• Diverge per \(p \leq 1\)

Proprietà

Serie somma \(\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n)\)

• Entrambe convergenti
• \(\lim_{a_n \to s}\) \(\lim_{b_n \to t}\) Allora \(\lim(a_n + b_n)\)
• Converge \(\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) = s + t\)

\(\sum_{n=0}^{\infty} k a_n\) convergente

Serie moltiplicazione per scalare: \(\lambda c \in \mathbb{Q}\)

• Convergente \(\lim_{a_n \to s}\) Allora \(\lim_{c \lambda c}\)
• \(\lambda > 0: \sum_{n=0}^{\infty} \lambda a_n \text{ converge}\)

Diverge per \(\geq 0\) e viceversa

Serie a Termini Positivi

\sum_{n=0}^{\infty} a_n > 0 la serie può convergere o divergere

Criteri

Criterio del Confronto:

\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) e \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\) a termini positivi (\(b_n > 0\)), \(\forall n\) tale che \(a_n \le b_n\) \(\forall n\) allora al più come:

se \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\) \( 0)\) ed esiste finito \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L\)

• se \(L < 1\) allora la serie converge
• se \(L > 1\) allora la serie diverge pos.
• se \(L = 1\) non si può dire nulla

Criterio della Radice:

\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) a termini positivi se esiste \(\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n} = L\)

• se \(L < 1\) allora la serie converge
• se \(L > 1\) allora la serie diverge pos.
• se \(L = 1\) non si può dire nulla

Criterio Integrale:

Se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) e una funzione positiva, decrescente e continua \([1, \infty)\) allora \(\sum_{n=0}^{\infty} f(n)\) ha lo stesso comportamento di \(\int_1^{\infty} f(x) dx\).

Proprietà: Se \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\) converge a una somma S finita si può montore che: \(\sum_{k=0}^{m}(a_{k} - 5\cdot5_{k}) = S-5k=n\)

\(R_n = \) resto della serie, approssimato di primi n termini

Formule di Werner

senα · senβ = (1/2)[cos(α - β) - cos(α + β)]

cosα · cosβ = (1/2)[cos(α - β) + cos(α + β)]

senα · cosβ = (1/2)[sen(α + β) + sen(α - β)]

Proprietà fondamentali

• L'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante f(x) = 0;
• in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio x + x²;
• la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari;
• la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari;
• il prodotto di una funzione pari per una funzione pari;
• il prodotto di una funzione dispari per una funzione dispari è pari;
• il prodotto di una funzione pari per una funzione dispari è una funzione dispari;
• la derivata di una funzione pari è dispari;
• la derivata di una funzione dispari è pari;
• L’integrale definito su intervalli del tipo [-a, a] di una funzione dispari è 0;
• L’integrale definito su intervalli del tipo [-a, a] di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell’integrale calcolato solo nell’intervallo [0, a].
• se f(x) è dispari e 0 ∈ domf allora necessariamente f(0) = 0 (senza la necessità della continuità in 0).

Serie

• La serie di Taylor di una funzione pari contiene solo potenze pari.
• La serie di Taylor di una funzione dispari contiene solo potenze dispari.
• La serie di Fourier di una funzione periodica pari contiene solo termini coseno.
• La serie di Fourier di una funzione periodica dispari contiene solo termini seno.

Cambi di variabile:

Coordinate polari:

• x = ρcos(φ)
• y = ρsin(φ)

∣det(J)∣ = ρ

Elemento d'area infinitesima: ρdφdρ

Il nuovo dominio D′ è semplice

Coordinate ellittiche:

• x = a cos(φ)
• y = b sin(φ)

∣det(J)∣ = abρ

Elemento d'area infinitesima: abρdφdρ

Il nuovo dominio D′ è semplice

Jacobiano:

• x = g₁(u,v)
• y = g₂(u,v)

• ∂x/∂u ∂x/∂v
• ∂y/∂u ∂y/∂v

Calcolo il determinante e successivamente l'integrale nel nuovo dominio

Integrali tripli

Si generalizza quanto fatto per gli integrali doppi sino in più dimensioni: ∭_D f(x,y,z) dx dy dz

Calcolo per fili:

Dominio D semplice: D= {(x,y,z): (x,y) ∈ R² ∧ g₁(x,y) ≤ z ≤ g₂(x,y)} con A conv di integrazione in R² dove ζ la proiezione nel piano allora D ρ al p comp funzioni continue

∬_A [∫_g1(x,y)^g₂(x,y) f(x,y,z) dz] dx dy = ∬_D f(x,y,z) dx dy dz

Int. interno in dζ

D= {(x,y,z): (y,z) ∈ B ∧ c₁(y,z)≤x≤c₂(y,z)} con A conv di integrazione in R² che ζ la porizione nel piano

∭_D f(x,y,z) dx dy dz = ∬_B [∫_c1(y,z)^c₂(y,z) f(x,y,z) dx] dy dz = ∬_A [∫_c1(y,z)^c₂(y,z) f(x,y,z) dx] dy dz

D= {(x,y,z): (x,z) ∈ C ∧ α₁(x,z)≤y≤α₂(x,z)} con A conv di integrazione in R² che ζ la porizione nel piano

∭_D f(x,y,z) dx dy dz = ∬_C [∫_α1(x,z)^α₂(x,z) f(x,y,z) dy] dx dz = ∬_A [∫_α1(x,z)^α₂(x,z) f(x,y,z) dy] dx dz

Calcolo per strati:

∭_D f(x,y,z) dx dy dz = ∫_α1^α₂ [∬_Dz f(x,y,z) dx dy] dz strati paralleli al piano xy