Soluzione prova scritta 19 gennaio 18

Analisi Matematica 1 - Prova Scritta del 15/01/18

1. La funzione \( f(x)=\sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} -4 \)

   • [1] Ha un punto di minimo in \( x=0 \)
   • [2] È crescente su \( (-1,0) \)
   • [3] È concava su \( (1,+\infty) \)
   • [4] È convessa sul suo domino.

   ^{DC\right)=\{ x\in \mathbb{R} / x \gt-1 \}}

   \( f'(x)=\frac{d}{dx}\left( \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} -4 \right) =\frac{x}{2(x+1)^{3/2}} \)

   • \( f'(x)=0 \) per \( x=0 \quad \Rightarrow \quad f(0)=-1\cdot 1 - 4= -4 \)
   • \( f'(x)>0 \) per \( x \gt 0 \quad e \quad f'(x)\lt 0 \) per \( x\lt 0 \)

   pto di minimo

Risposta esatta 1

3. \(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1-x)^{\alpha}}\frac{1}{\sqrt{\cos(\pi x /2)}}dx \) converge se e solo se

   • [1] \(\alpha\gt 2/3\)
   • [2] \(\alpha\gt 1/3\)
   • [3] \(\alpha\lt 1/3\)
   • [4] \(\alpha\lt 1/3\)

   Integrale generalizzato di II specie, positivo che presenta una singolarità in \( x=1\).

   cos(\( \pi x\) )=sin(\( (1-x)\frac{\pi}{2} \) )\(\sim (1-x)\frac{\pi}{2}\)

Analisi Matematica 1 - Prova Scritta del 15/01/18

1. La funzione f(x)=_√x+1 + _1/√x+1 - 4

• [1] Ha un punto di minimo in x=0
• [2] È crescente su (-1,0)
• [3] È concava su (1,+∞)
• [4] È convessa sul suo dominio.

DCf = {x ∈ R/x > -1}

f'(x) = d/dx (_√x+1 + _1/√x+1 - 4) = _x/2(x+1)^3/2

• f'(x) = 0 per x = 0 | f(0) = -1 - _1/1 - 4 = -6
• f'(x) > 0 per x > 0
• f'(x) < 0 per x < 0

pto di minimo

Risposta esatta 1

3. ∫₀¹ (_1/(1-x)^α)^3/8√(√cos(πx/2)) dx converge se e solo se

• [1] α > 2/3
• [2] α > 1/3
• [3] α < 1/3
• [4] α < 1/3

Integrale generalizzato di II specie, positivo che presenta una singolarità in x=1.

cos(πx) = sin(_(1-x)π/2) ≃ (1-x)_π/2

Di conseguenza

(1-x)_α

u = x^1/3(1-x)^{α - 1/3}

cos(πx^1/2)

La convergenza dell’integrale dato è equivalente alla convergenza di

∫₀^{1 1}/_x^1/3-α dx

Per il criterio di Riemann x^-1/3α > 0, di conseguenza

1/3 - α < 1 ⇒ 2/3 > α

Risposta esatta 1

2) Le soluzioni complesse dell’equazione

(z-3)⁴ - i³ + 3i = 0

1. sono i ± 3, ± 3i
2. danno come somma il numero complesso
3. sono i 4 vertici di un quadrato
4. danno come somma il numero reale -12

(z-3)⁴ - i³ + 3i = 0

z⁴ ± 12z³ + 54z² - (108+i)z + (81+3i) = 0

(z-3)³ (z -(3-i))(3² - (6-i)z + (8+3i)) = 0

Dividiamo l'equazione in tre equazioni:

(z³ - 3) = 0 ⇒ z = 3

3 - (3-i) = 0 ⇒ z = 3-i

Calculando la somma delle soluzioni dell'equazione otteniamo:

₁ + ₂ + ₃ + ₄ = 3 + 3 - i + 3 + ⁱ/₂ + ^√3/₂ + 3 + ⁱ/₂ - ^√3/₂ = 12

Risposta esatta = 4

1)

lim_x→0 ³√(1+3x) - ⁵√(1+5x) + 2xsinx / cos(x) -1 + x² / 4 + 1/2 =

1. 6
2. 24
3. 48
4. 12

Il limite presenta una forma indeterminata 0/0.Questo limite è definito solo per x>0 vista la presenza della radice quadrata.Il metodo più conveniente da utilizzare è lo sviluppo in serie di Taylor - McLaurin.Ricordiamo i seguenti sviluppi in serie di Taylor - McLaurin:

cos(x) = 1 - x² / 2 + x⁴ / 24 + O(x⁴)

sin(x) = x + O(x³)

(1+3x)³ = 1 + x + 2x + O(x²)

(1+5x)⁵ = 1 + 2x + O(x²)

Di conseguenza al denominatore abbiamo x² / 2 + O(x²)mentre al numeratore 2x² + O(x⁴)

Il limite può essere riscritto nella forma

^{2 + O(x)} / _{1/2 + O(x)} = 48 + O(x)

Risposta esatta 3