Slide di Teoria di analisi 1

ANALISI 1

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 CONCETTO DI LIMITE

Che cosa si intende per infinitesimo? Che cosa si intende per infinito?

∀ >0⇒x>k

∀ > 0 ⇒ − <

0

Che cos’è un intorno di un

punto?

Qual è lo scopo di studiare un limite di una

funzione? lim =

→

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 A CHE COSA SERVE CALCOLARE UN

LIMITE DI UNA FUNZIONE?

Permette di studiare una funzione anche laddove non sia definita nel suo dominio. Si parla di

punti di discontinuità, di non esistenza, in cui vogliamo comprendere come la funzioni si

comporti in prossimità di queste situazioni.

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 DEFINIZIONI DI LIMITI

1. DEFINIZIONE DI LIMITE ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − l <

lim =

→

2. DEFINIZIONE DI LIMITE ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ − | < ⇒ | >k

lim = ∞

→

3. DEFINIZIONE DI LIMITE ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: | < ⇒ | − l <

lim =

→∞

4. DEFINIZIONE DI LIMITE ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ | < ⇒ | >k

lim = ∞

→∞

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMI DEI LIMITI

TEOREMA DELL’UNICITÀ

Se il limite di una funzione esiste, allora esso è unico

Ipotizzando per assurdo che il limite di una funzione dia due valori diversi:

∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − l <

lim =

→

lim = ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − <

→

Per cui ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ − | < ⇒ | − + | − | < 2

∀ > 0 ⇒ − < 2

∀ > 0 ⇒ f x − m − + < 2

Questa relazione se l ed m sono diversi tra

loro non può essere soddisfatta. È vera se e

solo se =

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ALGEBRA DEI LIMITI

ALGEBRA DEI LIMITI lim = lim =

Siano i limiti di due funzioni → →

Limite della somma lim + =+

→

Limite della differenza lim − =−

→

()

Limite della quoziente lim =

()

→

lim ∗ = ∗

Limite del prodotto →

lim ∗ =∗

Limite con moltiplicazione per →

una costante

lim (()) =

Limite di una potenza →

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

FORME INDETERMINATE DEI LIMITI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ALCUNI LIMITI NOTEVOLI

Limiti notevoli

Delle funzioni

goniometriche

Generalizzazione

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

APPROFONDIMENTO ARCHI ASSOCIATI

sen

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

APPROFONDIMENTO ARCHI ASSOCIATI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RIPASSO GONIOMETRIA

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

ALCUNI LIMITI NOTEVOLI

Limiti notevoli

Delle funzioni esponenziali e

logaritmiche

Generalizzazione

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 GERARCHIA DEGLI INFINITI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

GERARCHIA DEGLI INFINITESIMI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

LIMITI NOTEVOLI DIMOSTRAZIONE 1

()

=

Considerando la funzione definita per tutti i punti del dominio a meno di

La funzione seno è definita tra -1 e +1.

= 0. Dividendo tutto per x

−1 ≤ ≤ 1

1 1

e

−

Da qui, si deduce che saranno due rami di iperbole. Dunque

1 1

− ≤ ≤

rappresentando le funzioni graficamente

Comportamento al limite che può essere studiato:

lim =1

→0

Perché il limite permette di studiare la funzione in

quei punti in cui non è definita. Questo perché per

x=0 f(x) non è definita, è qui y tenderebbe a 1.

E se il limite va a + o – infinito??

VINCENZA