Slide di Teoria di analisi 1

GERARCHIA DEGLI INFINITESIMI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

LIMITI NOTEVOLI DIMOSTRAZIONE 1

()

=

Considerando la funzione definita per tutti i punti del dominio a meno di

La funzione seno è definita tra -1 e +1.

= 0. Dividendo tutto per x

−1 ≤ ≤ 1

1 1

e

−

Da qui, si deduce che saranno due rami di iperbole. Dunque

1 1

− ≤ ≤

rappresentando le funzioni graficamente

Comportamento al limite che può essere studiato:

lim =1

→0

Perché il limite permette di studiare la funzione in

quei punti in cui non è definita. Questo perché per

x=0 f(x) non è definita, è qui y tenderebbe a 1.

E se il limite va a + o – infinito??

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE

Si definisce una funzione continua una funzione che può essere tracciata in un grafico senza

staccare la penna dal foglio

Formalmente, una funzione è continua lim = ( )

in un punto interno al suo dominio se →

Altra definizione formale: lim = ( )

lim = ( )

→−

→+

Una funzione è continua se è continua in ogni suo punto del dominio.

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Sia una funzione definita in un intorno di e sia continua in Se la funzione risulta

.

0 0

, allora esiste un tale che per ogni valore di Cioè se una

( ) > 0 ∈ ( − ; + ).

0 0 0

funzione ammette limite finito a variabile finita allora esistse almeno un intervallo

centrato in per cui la funzione assume lo stesso segno del limite

0

TEOREMA DEI DUE CARABINIERI

Supponiamo di avere tre funzioni, in cui si osserva che ≤ ≤ ℎ()

dunque g(x) è compreso tra le due funzioni.

lim = lim ℎ = L ⇒ lim g x = L

→ → →

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DEI DUE CARABINIERI

Dimostrazione lim = lim ℎ = L ⇒ lim g x = L

→ → →

lim = ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − <

→

lim ℎ = ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ |ℎ − <

→

Quindi dall’ipotesi del teorema

Per cui si ha

∀ > 0 L− < ≤ ≤ ℎ < +

L− < < + ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0:

L− < ℎ < + − | < ⇒ | − <

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

Discontinuità di prima specie Discontinuità di seconda specie

La funzione presenta un salto infinito.

La funzione presenta un salto finito. Limite destro e Limite destro e sinistro divergono e sono

sinistro sono finiti e diversi: il limite non esiste diversi: il limite non esiste, però funzione

ammette un asintoto per =

Discontinuità di terza specie

La funzione manca di un solo

punto. Limite destro e sinistro

sono finiti e uguali: il limite esiste,

però funzione non esiste nel

punto = VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

LIMITI NOTEVOLI DIMOSTRAZIONE 2

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

DIMOSTRAZIONE LIMITE NOTEVOLE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RIPASSO POTENZE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RIPASSO LOGARITMI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RIPASSO LOGARITMI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RIPASSO LOGARITMI

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 DERIVATA

Sia data una funzione y=f(x) e si voglia calcolare la retta tangente in un punto della funzione.

0

Per determinare questa retta si può utilizzare l’equazione del fascio di rette centrato nel punto della

funzione di coordinate )) e il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in tale

(( , (

0 0

punto.

Il problema sta nel determinare il coefficiente angolare di questa retta. Per far ciò basta considerare il

coefficiente angolare della retta passante per il punto P e il punto Q ottenuto incrementando per una

quantità h. y Q

( + ℎ)

0 P

( )

0 + ℎ

0 0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 DERIVATA −

∆ +ℎ −()

0

Il coefficiente angolare di una retta viene generalmente individuato da m = = ⇒

∆ − ℎ

Questo rapporto prende il nome di ‘‘RAPPORTO INCREMENTALE’’.

Il coefficiente angolare della retta tangente a P si può ottenere andando a calcolare il limite del

+ℎ −()

rapporto incrementale: 0

m = lim ℎ

h→0

Questo limite viene definito come «Derivata della funzione nel punto ′ ′

⇒ = =

0 0

( ; ( ))

0 0

y Q ( + ℎ; ( + ℎ)

0 0

( + ℎ)

0 P

( )

0 + ℎ

0

0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RAPPORTO INCREMENTALE

+ ℎ − ()

−

∆ + ℎ − () 0

m = lim

0

m= = ⇒ ℎ

h→0

∆ − ℎ

′

′ =

= 0

0 ( ; ( ))

0 0

y Q ( + ℎ; ( + ℎ)

0 0

( + ℎ)

0 ∆ P

( )

0 ∆

+ ℎ

0

0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 RAPPORTO INCREMENTALE

Esiste sempre il rapporto incrementale?

Una funzione è derivabile in se e solo se le derivate, sinistra e destra, esistono finite e uguali

0

tra di loro. + ℎ − ()

+ ℎ − () 0

′

= lim

0

′

= lim 0 ℎ

+

0 h→0

ℎ

−

h→0 ( ; ( ))

0 0

y Q ( + ℎ; ( + ℎ)

0 0

( + ℎ)

0 ∆ P

( )

0 ∆

+ ℎ

0 0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 DERIVATE FONDAMENTALI

DERIVATA DI UNA FUNZIONE COSTANTE

Sia = , ∈ ℝ

+ ℎ − () −

0

′

= lim = lim =0 + ℎ

0 0

ℎ ℎ 0

h→0 h→0

DERIVATA DI UNA RETTA

Sia =

+ ℎ

0

+ ℎ − () + ℎ −

0 0 0

′

= lim = lim =1

0

0 ℎ ℎ

h→0 h→0 + ℎ

0 0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 DERIVATE FONDAMENTALI

DERIVATA DELLA SOMMA DERIVATA DELLA DIFFERENZA

D g x −f x = f − [()]

D g x +f x = f + [()] DERIVATA DI FUNZIONE COMPOSTA

DERIVATA DEL PRODOTTO D f g(x) = f () ∗ [()]

D g x ∗f x = f + g ∗ DERIVATA DI PRODOTTO DI UNA

COSTANTE

DERIVATA DEL QUOZIENTE D[kf(x)] = f

() f − g ∗

D = 2

() ()

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI DE L’HOSPITAL

Siano f(x) e g(x) due funzioni reali di variabili reali continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[. Siano g(x)

e g’(x) diverse da zero in ogni punto appartenente all’intervallo, tranne al più Se il

∈ , .

0

0 ∞

limite del rapporto tra f(x) e g(x) è una forma indeterminata del tipo ed esiste il

,

0 ∞

limite del rapporto tra le loro derivate, allora questi limiti saranno uguali.

f(x) e g(x) continue in [a,b] () ′()

f(x) e g(x) derivabili in ]a,b[ lim = lim

() ′()

→ →

() 0 () ∞

lim = ∧ lim =

() 0 () ∞

→ →

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 INTEGRALE

L’integrale è un operatore matematico, grazie al quale è possibile calcolare l’area sottesa ad una

curva funzione qualsiasi.

Sia data una funzione continua y=f(x) e si voglia determinare l’area sottesa alla curva nell’intervallo

[a,b]. Il procedimento prevede un processo dinamico infinitesimale.

Ripartiamo l’intervallo da considerare in n parti e per ciascuno di queste calcoliamo l’area del

rettangolino. f(b)

y f(a)

a b

2

1

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 INTEGRALI

Si calcola la larghezza di ciascuna − Pertanto ogni area di ogni singolo rettangolo

=

parte di questo intervallino, come: sarà:

= ∗

Calcolando il limite per n che tende a zero, cioè dunque

Da cui si ottiene l’area totale riducendo gli intervallini degli n rettangoli sempre più

sottesa alla curva: piccoli, si generalizza introducendo il simbolo di integrale

= ෍ ∗

= න = න

f(b)

y f(a)

a b

2

1

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

INTEGRALE

Sia f(x) una funzione reale di variabili reale definita in un intervallo [a,b]. L’area sottesa alla

curva sarà pari alla differenza della primitiva calcolata tra l’estremo superiore e l’estremo

inferiore.

− = න () = න

()

Si consideri la derivata della funzione ′

=

= ()

Si definisce primitiva della funzione quella funzione la cui derivata è uguale

= () = ()

alla funzione stessa () Da