Sistemi vettori piani, cinematica del punto, Meccanica razionale

Sistemi di vettori piani

Una sera si dice piana quando le rette di applicazione dei vettori che la compongono e i loro punti di applicazione appartengono ad uno stesso piano, che si dice piano del sistema.

Sistemi di vettori paralleli

Una sera si dice parallelo quando le rette d’azione di tutti i vettori sono tutte parallele. Prediamo risultante.

Sistemi di vettori piani

Una cosa si dice piana quando le rette di applicazione dei vettori che la compongono e i loro punti di applicazione appaiono su uno stesso piano, che si dice piano del sistema.

Sia un polo O sul piano di un triangolo QAS. Vs è un vettore sempre obliquo alla 2^° parte trigonale sia Vs, che se Aq, l'iscrizione del poltroncione di opere e monete potere speciale di ogni polo e due per applicare il risultato.

Dunque si ha: Mo = Vs |QA| 1 |R| NB! Scegliendo un polo esterno al piano del soa il nuovo momento potare non sono più sottraguia del piano per rimuovere sopra obliogante al residence meno il triangolo inclinato è nullo. In ogni caso scegliendo il polo sull'asse centrale il momento è nullo.

Una cosa si se parallela quando le rette d'origine di tutti i vettori sono tutte parallele. PrediamoUnica paralle e generalmente enim e insieme posto tutt'ovare un cosa francini lavorante nullo.

Il risultante R è parallelo e tutti i vettori applicati e il suo unico al manuale potere di ogucciualo e obligante da ogni altra remo. Dunque il risultto polo la traggoogime deglige e obligante il risultato R. Ma = R perché Ma 1R Ma = 0 perché QPD Il nuovo potere nulls su applicati il polo sull'asse centrale del ise; istrrave e risultatici del solo setrottore spogoghavivi segoro che polo dell'istretta

Dunque si generla ottu Ma = N + QA ∧ R me se il triangolo invertiale è nulli Ma più MA = Σi mi = 1 _QA ∧ ūQA ∧ R = ∑_α=1ⁿ QP_α ∧ r_α faccio il determinante.

y₁ z₁ x_α z_α x_k i −j k ∑ x x_k y_{2α=1 ↔ α = 1, 2 → 0 0 0} si ottiene:

1 ( ) - ( ) = -------- v_α ^v_α∧(1) - ( )∧( )y_R - ∑ (y_k v_k) + k (0)--------y_R - ∑ (y_v ) - ( ) -- yR - ∑_α=1^mx_k - RX - ∑x → ∑x_k Esercizio I: parametriche dell'asse centrale di un suo paralleli-- v_α - RP_k -- k → (m) Si ottiene QC = 1 ∑_k=1^R QC_kV_k

Proprietà

• Realizza c non dipende dal polo Q
• Ruotando R divido gli angoli orientato θ → è una casica QC⁽e⁾ = QCQC = ₁/_R³ ∑_α=1ⁿ Q_RαV_Rα(3) Moltiplicando tutti i vettori per uno stesso numero λ ≠ 0 → C non cambia

QC = ₁/_λ³R³ ∑_α=1ⁿ Q_RαV_RαλR³ = λ³R³= ₁/_R³ ∑_α=1ⁿ Q_RαV_Rα

(4) Il centro appartiene all'asse centrale del ∑ C = {x_c = ₁/_R ∑_α=1ⁿ s_αV_i y_c = ₁/_R ∑_α=1ⁿ s_αV_i z_c = ₁/_R ∑_α=1ⁿ s_αV_i Applicazioni

Prendiamo un ∑ fatto di due soli vettori che formano una coppia con R ≠ 0 e cerchiamo il centro.∑ = {(P₁, V₁), (P₂, V₂) }V₁ ≠ V₂ t.c. → R = V₁ + V₂ ≠ 0P₁ → → P₂ V₂OV₁ Il centro risulta essere QC = ₁/_R ∑ v_ixq_pi QC = _{V1QP1 + V2QP2}/_{V1 + V2} VQ e sS₁ = Q = P₁ → P₁ = V₂/_{V1 + V2} P₁ P₂ = V₂/_{V1 + V2} P₁ P₂ = λ P₁ P₂ con 0 ≤ λ ≤ 1 P_c ∈ (P₁ P₂) Se Q = P₂ → P_c = V₁/_{V1 + V2} QP₁ - V₁/_{V1 + V2} P₂ = γ P₁ P₂ con 0 ≤ γ ≤ 1 P_c ∈ (P₁ P₂) qorda

Caso vettori coincidenti (R ≠ 0)

V₁ = V₂ = |V₁| In questo caso il centro è interno all'intervallo P₁ P₂ x_c = k_c|v̅₁|/ (|v̅₁| + |v̅₂|) chiamando d₁ = |x_c| e d₂ = |x_c| obbiamo x₁ = -d₁ e k₂ = d₂ &xdot; vole d₁ = V₂/V₁ P_c Perciò in questo caso il centro è collocato tra punti P₁ P₂ e divide da loro in modo reversibile proporzionale al rapporto tra i moduli dei vettori.

Caso vettori orientativi

1. Disegno i vettori applicati paralleli
2. Aggiungo una linea di chiusura
3. Traccio il "risultante"
4. Congiungo le rette dei risultanti ottenute P
5. Traccio la retta per P parallela a R=V₁+V₂, ottenendo C dell'intersezione con a₁₂

Caso vettori discordanti (R ≠ 0)

v₁ = |v₁| v₂ = -|v₂| sin a x_C = x₂ |v₂| /|v₁|-|v₂| perciò il centro si trova sulla proiezione del segmento congiungente i punti di apprensione con un'estremità clicca parte del vettore con modulo maggiore P₂C= ^V₁/_V1-V2 P₂P₁ stesso procedimento dell'altro caso.

Cinematica del punto

Vediamo come si caratterizza il moto di un punto nello spazio S. Il punto è la più semplice schematizzazione cui un corpo posso di trattare elenco.

Presa il sistema di assi cartesiano ortogonale possiamo considerare il punto del vettore posizione OP.

1. OP(t) = OP(t)
2. Positiva definire la velocità (dopo)
3. Proiettando sugli assi
• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

t ∈ [t₀, t₁] t ∈ ℝ Espressa la velocità del punto P otteniamo la velocità del vettore posizione e l'accelerazione (derivata di velocità) {v(t) = Ḣ(t) = ′()}{Xs = ẋ(t)Ys = ẏ(t)Zs = ż(t)} { + (t) = (t) = (t)}{_Δ() = (t) + (t) = ′′()}{ = ̈(t)d = (t)′d₂ = ż(t)′} { = (t) = (t)d₂ = ż(t)′t} Proiettando sulla terna cartesiana {(t) = (t) ̂ + (t) ̂ + (t) ̂}{(t) = ̈(t) ̂ + ̈(t) ̂ + ̈(t) ̂} In conclusione(t) = (t)v(t) = (t)d{ (t) = ₂ (t) d²t d ^d₂ TRAETTORIA sono tre funzioni:

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

Rappresentato il proseguimento di una curva utilizzata per attrarre TRAETTORIA del moto e descritta l'altezza del punto occupato nello spazio dal P durante il moto secondo la propria legge oscura. È sufficiente introdurre un'altra la caratterizzazione della curva che si può utilizzare sull'asse curvo lineare della traiettoria. L'asse continua è la. Dunque otteniamo una caratterizzazione in ℙ: (x) cattire funzioni geometriche relative alla traiettoria ^{indipendente dall'evoluzione}(cose come ^{relativata fermulata}) Inutile la legge che regola la parametrizzazione è d ad s _{e utilizitiva cu} (t); creante esatte lega otteniuto del notio.[Aggiungere dromeni alla correscure ermetra infatti sono informazioni relative geometrica della traiettoria ottenere soluzioni di mode quali ilive vecuri presente alla P. Erda distrivuzione vuita per separose le proprène regrosions cruci struttura di del particolare>deli Dunque dato P=P(s) proiettato su una terna ortogonale {K = X(s) y = y(s) z = z(s)}

Possiamo cercare esistenza in funzione di sdP/ds = lim (P(s+h)-P(s)) / h_→0 che è la derivata dei una funzione vettoriale N.B. Per il calcolo delle derivate bisogna vedere definizione e coordinata della funzione Per funzioni scalarli Rⁿ→R derivata di F : Rⁿ→R scalare Per funzioni vettoriali R→Rⁿ derivata delle singole componenti dP/ds = (dx/ds, dy/ds, dz/ds)= (lim x(s+h)-x(s), lim y(s+h)-y(s), z(s+h)-z(s))/h_h→0 Quindi dP/ds esiste ⇔ esistono tutte le derivate delle componenti Se esiste anche una sola derivata delle tre allora dP/ds non esiste lim [P(s+h) - P(s) ] / h → t P perché è un versoree la tangente della traiettoria nel punto P attraverso →_{.versoredirection del circuito} Dunque dP/ds ha direzzione tangente → f(s) è un versore orientato nel verso delle crescienti

Osservazione Rⁿ Sia U ‖ un vettore dipendente da un parametro u∈R (tempo, ma possono controllare derivata rispetto a tale parametro. Sia U= vU(u) vU(u) derivato rispetto a u Se U ha lunghezza costante allora dcU/du ⊥d_⇒udirection Dicasi: U(u) costante (lunghezza costante) significa che viU(u) U non dipende dalla u, Again il quadrato sara costante e multiplicate che è quindi anche il prodotto vettoriale U(u)² = U(U) = cost, indipendente da u. essendo costante la sua derivata sarà nulla, entrambi_{(u)w̅(u) = 0} cioè _{d(u)w̅ = 0} perciò d(w̅(w))_du ⟹ l ∙ w̅(u) ∀u Ritornando alla tangenic t(_s) = dP(_s) ma |t(_s)| = 1 perché versore Applichiamo l'osservazione R con l'accelerato di trovare il pensato riuscita u(t(_s) ∙ 1 ∙ E(_s) = λ ∙ 1 = 1 e quindi _{d(t(s))ds = λ ∙ E(s)} Curvonia r(_s) la cruore scuroiza alla tangenic ruoretta corer lo sterto della suore f Poiche che _{d(t(s))ds = C(s)ū(s)ū(s)} Facendo inducilod(t(_s))_ds = C(_s)ū(_s)ū(_s)1 ⟹ C(_s) ⟹ d(t(_s))_ds|^d2P(_s))ds² Tempo che retrossa: Vogliare esprilama veletecia e acceleramento retiniore rispetto a tSn. P = P(_s) funzione vostra cte ferisce la transetoria t(t)Per retorre t lo strato del punti no bysargando anche alla legge estorso pero.))Dunque no tratto ts P (luggi f con legge orimia da sercordata = P = P; _s che fare capre sa ansio provicerei solia teniscear -- (p OP(^H) e della legge eties = sm _s(sDunque OP = OP(₍)(_H)rappeaccearia della convetto ovare lo negre dela sorta v(_s) = dOP (_H) d(P (_H))_ds | dX(_H)_dt