Meccanica Razionale - Introduzione alla meccanica e alla cinematica di punti e sistemi

Settore: MAT/07

MECCANICA RAZIONALE

Teoria

UNIMORE Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo RibesNOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dalla Professoressa Cecilia Vernia e del suo libro: “Meccanica Razionale per l’Ingegneria”.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:ig: NoteWave_RFig: fil_ribes

Teorema:

C.N.S. perché l'asse O_x2 sia principale d'inerzia e che su

• a₂₂ = 0 ;
• a₂₁ = 0 ;
• a₂₃ = 0 .

• C.N.S. perché l'asse O_y2 sia principale d'inerzia e che su
• a₁₁ = 0 ;
• a₁₃ = 0 ;
• a₁₂ = 0 .

• C.N.S. perché l'asse O_z2 sia principale d'inerzia e che su
• a₃₁ = 0 ;
• a₃₂ = 0 ;
• a₃₃ = 0 .

Quindi, se due assi sono principali d'inerzia → anche

il terzo lo è.

Un retta perpendicolare in O₂ ad un piano disimmetria geometrica materiale è principale d'inerzia.

Teorema:

Momenti i momenti di deriva A_cx, B_cy, C_cz di un sistemamateriale rispetto ad una Terna O_xyz, gli analoghimomenti A_o, B_o, C_o rispetto ad una Terna parallela Ox₂y₂z₂sono dato dalle relazioni:

A_o = A_gcx + M_yxc_x ; B_o = B_gcy + M_xyc_c ; C_o = C_gcz + M_ycy_c

Formule fondamentali della cinematica

Vogliamo determinare la velocità di un punto qualunque in un corpo rigido V, nota la velocità angolare ed una velocità di un punto V di V. Come figura a lato, si ha:

P - O_i = x_i + y_i + z_i

con x_i, y_i, z_i c.t. per registratore di E. Derivando rispetto al osservatore Oxyz si ha:

d/dt = , d/dt = , d/dt =

derivando: d(P - O_i)/dt = d(x_i + y_i + z_i)/dt = x_i + y_i + z_i = × (x_i + y_i + z_i) = × (P - O_i)

ossia:

dP/dt = dO_i/dt + × (P - O_i)

— formula fondamentale della cinematica rigida.

Il vettore velocità angolare gode delle seguenti proprietà:

• è unico (non dipende dal punto O_i);
• dipende, in generale, dal tempo t;
• ha le dimensioni dell'inverso del tempo.

Stati cinematici di un corpo rigido

Gli stati cinematici di un corpo rigido sono i campi vettoriali della velocità dei suoi punti. Si possono distinguere 4 stati cinematici elementari:

1. Stato cinematica nullo: ∀P ∈ V, (P) =
2. Stato cinematico traslatorio: ∀P ∈ V, (P) = e P(P) = P_P
3. Stato cinematico rotatorio: ∀P ∈ V, (P) = × (P - O_i)
4. Stato cinematico elicoidale: ∀P ∈ V, (P) = u + × (P - O_i), u ||

Riferendosi alla formula fondamentale della cinematica rigida, tali stati possono anche essere scritti come segue:

1. Se dO_i/dt = P_P = ( = ) → dP/dt = , ∀P ∈ V → Stato cinematico nullo.
2. dO_i/dt = u, = ( ∋ ) → dP/dt = u, ∀P ∈ V → Stato cinematico traslatorio.
3. dO_i/dt = → dP/dt = × (P - O_i), ∀P ∈ V → Stato cinematico rotatorio.

Profili coniugati

... sono due curve ... una fissa e l'altra ...

Teorema

La normale comune ai due profili coniugati ...

Quindi, il centro di rotazione istantanea, me è un moto rigido piano.

... il punto di due profili coniugati

Esempi di moto rigido piano

1. Asse scorrevole in guida orizzontale (glifo)
   • ... A: può scorrere sull'asse...
   • B: può scorrere sull'asse delle y

   ... perpendicolare a y...

   Il quadrilatero ABCD... in un angolo retto.

   Per quanto riguarda C.... (come letto' 3)

2. Ruota di un treno che rotola senza strisciare

La ruota intera... che la conterrà. Dalla

... e che la ruota... che la rotola

... la velocità di trascino

... in un sistema fisso

... il pavimento...

Forze attive

Una forza (P, F) si dice attiva se il suo vettore F è noto in funzione di x,y,q, ... , ṙ,q ... , t, ovvero in funzione della posizione della velocità e del tempo.

Possono essere dovute a corpi o sistemi esterni al sistema di riferimento. Le forze attive dovute a corpi esterni possono essere interne o esterne. Le forze attive sono note.

Reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono forze incognite che rappresentano i vincoli.

Postulate le reazioni vincolari in un sistema meccanico comunque vincolato, il sistema può essere in equilibrio e senza alterare lo stato dei quesiti di moto, sopprimendo vincoli e sostituendoli con opportune forze, dette reazioni vincolari.

• Vincolo liscio (o senza attrito): lo si ha se l'azione del vincolo è rappresentato da un'unica reazione ortogonale (P, t) alla direzione di uno spostamento totalmente proibito e verso opposto;
• Vincolo scabro (con attrito): lo si ha se il vincolo non è liscio;

Relazioni caratteristiche di un sistema di forze

Dato un sistema di forze (A_s, F_s), s=1, ..., N, agenti sul sistema meccanico, definiamo due vettori seguenti:

• ΣF_s: somma dei vettori delle forze ⇒ vettori risultanti (o risultante);
• S'₀(O) = Σ_s=1^N (F_s × (O-A_s))

La relazione che c'è tra S'₂(O) e S'₂(O₁) è la seguente:

S'₂(O₁) = S'₂(O) + Ē × (O₁ - O)

Dim:

S'₂(O₁) = Σ_s=1^N F_s × (O₁ - A_s) = Σ_s=1^N F_s × (O₁ - O + (O - A_s)) =

= Σ_s=1^N F_s × (O - A_s) + Σ_s=1^N F_s × (O₁ - O) =

= S'₂(O) + (Σ_s=1^N F_s) × (O₁ - O) = S'₂(O) + Ē × (O₁ - O)

Teorema:

C.N.S. afferma che il momento risultante di un sistema di forze sia indipendente dal polo ⬌ che Ē = 0 ⬌ C.N.S. afferma che S'₂(O) = S'₂(O₁), ∀ O, O₁ se e solo se Ē = 0

Invatiante:

Si chiama invariante del sc.t. di forze (A_s, F_s), s =1, ..., N, la grandezza scalare:

I = Ē · S'₂(O) invariante

I non dipende dal polo rispetto al quale è calcolato il momento risultante. Dimostriamolo