Settore MAT/07 Meccanica Razionale
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Autore degli appunti: Filippo Ribes
Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dalla Professoressa Cecilia Vernia e del suo libro: “Meccanica Razionale per l’Ingegneria”. Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF, ig: fil_ribes.
Geometria delle masse
Massa
- M = s=1N ms
- M = massa di un sistema discreto
- M = ⨜c ρ(P) dc
- M = massa di un sistema continuo
ρ(P) densità di massa
Baricentro
G - O = 1s=1N ms(As-O) / s=1N ms
G - O = ⨜c ρ(P) (P-O) dz / ⨜c ρ(P) dc
- Baricentro di un sistema discreto
- Baricentro di un sistema continuo
Osservazioni:
- Se il sist. di punti è delimitato da una superficie convessa, G è interno alla superficie;
- Se il corpo è convesso, G è interno al corpo;
- Se il sistema materiale ha un piano di simmetria geometrico-materiale ⇒ il baricentro sta su tale piano.
Momento d'inerzia
I = s=1n ms rs2
I = ⨜c ρ(P) r2 dz
- Momento d'inerzia per un sistema discreto
- Momento d'inerzia per un sistema continuo
Teorema di Huyghens
Nota il momento d'inerzia Ia di un sistema materiale di massa M rispetto alla propria baricentro, il momento d'inerzia I rispetto ad un qualunque asse parallelo a distanza d:
I = Ia + M d2
Dimostrazione
Siano Oxyz e Gx'y'z' due sistemi di riferimento con G nell'asse z', rispetto al quale In è il momento d'inerzia Ia e Oxyz asse rispetto al quale si vuole calcolare il momento di inerzia I, con il versore comune il Sy supponiamo che Oy = Gy', quindi:
xs = x's; ys = y's + d; zs = z's, per cui:
I = s=1n msrs2 = s=1n ms(x's2 + ys2) = s=1n ms[(x's)2+(y's+d)2] = i= = s s + M d2 = Teorema di Huyghens inverso:
Teorema di Huyghens inverso
Riferendoci alla figura a lato, vogliamo determinare il momento d'inerzia In' conoscendo IG, ma non il , possiamo però ricorrere il teorema di Huyghens non può essere usato quindi si usa il teorema di Huyghens inverso per determinare IG e successivamente In':
Teorema dei coseni direttori
I = An + Bn + Cn - 21 p - 2B cos - 2C1 p dove:
- A = s s (y2 s + z2 s)
- B = s s (x2 s + z2 s)
- C = s s (x2 s + y2 s)
- A' = s
- B' = s
- C' = s
Con: A, B, C momenti d'inerzia del sist. Rispetto agli assi Os A', B', , momenti di derivazione, , coseni direttori (coseni degli angoli che n forma con il sist. di rif.)
Matrice (o tensore) d'inerzia
Matrice simmetrica
Ellissoide d'inerzia
Si chiama ellissoide d'inerzia d’un corpo rigido rel di al punto OI l'ellissoide rispettano alle terne OI xs ys saldo
Teorema
Il momento d'inerzia - Il corpo rigido rel a una qualunque retta passante per OI vale:
In'
Dimostrazione
Scriviamo e l'eq. della retta a sistema con quella dell'ellissoide:
A xL2 + ... = 1x⁄α + yL⁄β = zL⁄γ
A xL2 + ... = 1 y1 = β⁄α xL
zL = γ/α xL
Sostituiamo nell'eq. dell'ellissoide i valori di yL e zL appena trovati e otteniamo:
A xL2 + B β⁄α
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