Cinematica dei Sistemi Vincolati

Cinematica dei sistemi vincolati

Vincoli olonomi nella cinematica del punto

Tralasciando in questo momento vincoli fissi, possiamo considerare dei vincoli che limitano la posizione di P in modo dipendente dal tempo in un prefissato intervallo. Questi vincoli si dicono mobili. Avremo così:

• Vincolo semplice (superficie) mobile: ρ(x, y, z, t) = 0   t ∈ [t₀, t₁]
• Vincolo doppio (curva) mobile: {ρ₁(x, y, z, t) = 0, ρ₂(x, y, z, t) = 0}   t ∈ [t₀, t₁]
• Vincolo triplo mobile: {ρ₁(x, y, z, t) = 0, ρ₂(x, y, z, t) = 0, ρ₃(x, y, z, t) = 0}   t ∈ [t₀, t₁]

Per i vincoli mobili devono valere le stesse condizioni dei vincoli fissi, ma queste devono valere in ogni istante. ρ_t ≠ 0 ∧ |∇ρ| ≠ 0   ∀ t ∈ [t₀, t₁]

Vincoli olonomi nella cinematica del punto

Togliendo in questo momento vincoli fissi, possiamo considerare dei vincoli che limitano la posizione di P in modo dipendente dal tempo in un prefissato intervallo: questi vincoli si dicono mobili. Avremo così:

1. Vincolo semplice (superficie) mobile: ρ(x, y, z, t) = 0   t ∈ [t₀, t₁]
2. Vincolo doppio (curva) mobile: {f₁(x, y, z, t) = 0, f₂(x, y, z, t) = 0}   t ∈ [t₀, t₁]
3. Vincolo triplo mobile: {f₁(x, y, z, t) = 0, f₂(x, y, z, t) = 0, f₃(x, y, z, t) = 0}   t ∈ [t₀, t₁]

Per i vincoli mobili devono valere le stesse condizioni dei vincoli fissi ma queste devono valere in ogni istante: ρ ∉ ℂ ≠ 0 ∀ t ∈ [t₀, t₁]

Le equazioni che esprimono la corrispondenza biunivoca tra le coordinate di P e le coordinate lagrangiane (con riferimento alla terra nella quale sono scritte le equazioni vincolari) saranno dipendenti in modo esplicito dal tempo:

• P = P(q₁, q₂, t) vincolo Mobile semplice (2 gdl)
• P = P(q, t) vincolo Mobile doppio (1 gdl)
• P = P(t) vincolo Mobile Triplo (0 gdl)

Da notare che il vincolo mobile triplo conduce alla determinazione del moto del punto P.

Nota sui vincoli

I vincoli finora considerati sono detti otonimi; parola di derivazione greca dal significato etimologico di "legge intera". Il termine "intero" è qui usato nel senso contrapposto a "differenziale" e sta dunque a rappresentare il fatto che le derivate temporali delle coordinate x, y, z non compaiano nelle equazioni vincolari. [V. OLONOMI solo sulla posizione]

Nel caso in cui compaiano nella forma differenziale nella funzione vincolare, i vincoli saranno detti: ANOLONOMI.

Esempi di vincoli mobili

Esempio: Vincolo semplice mobile

Ascensore: P(x, y, z, t): Z - Jt = 0 (J > 0, cost.). Il piano π in due istanti t₁, t₂, per cui si ha C(t₁), e C(t₂) è come se fosse il piano di un ascensore. Come coordinate lagrangiane possiamo avere entrambe le coordinate cartesiane x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, quindi le corrispondono direttamente tre parametri lagrangiani e parametri normali. Peut ossere scritta come P: P(q₁, q₂, t) : X = x, y = y, Z = Jt.

Esempio: Vincolo doppio mobile

Assunta come coordinata l'ascissa s ∈ ℝ, si scrive: Z = 0, y cos(wt) - x sen(wt) = 0 (w > 0, cost.) per cui P: P(q, t) : x = S cos(wt), y = S sen(wt), Z = 0.

Velocità possibili di un punto soggetto a vincoli olonomi

La presenza di limitazioni sulle posizioni di _P comporta delle limitazioni sulle traiettorie che il punto _P può compiere e così pure sulle velocità e le accelerazioni (vettoriali) che ad esso possono essere attribuite. Lo studio di tali limitazioni richiede ulteriori ipotesi di regolarità sulle funzioni che compaiono nelle equazioni vincolari. Assumeremo nel seguito che esse abbiano derivate seconde continue.

Def: Diciamo traiettorie possibili, velocità possibili e accelerazioni possibili del punto _P le traiettorie, le velocità, le accelerazioni in un qualunque moto che il punto _P può compiere compatibilmente con i vincoli ad esso imposti. Le limitazioni derivanti alla velocità dalla presenza di vincoli possono essere ottenute come segue.

Supponiamo che:

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

siano un moto compatibile con i vincoli (quindi ci dà la traiettoria possibile) esaminiamo i seguenti casi:

1. Vincolo semplice fisso

1) Vincolo semplice fisso

Consideriamo l'equazione vincolare f(x, y, z)=0. Derivando rispetto al tempo t risulta d/dt f(x, y, z)=0 ⇒ ∇f · = 0. Due vettori hanno prodotto scalare nullo se entrambi diversi da zero, e se perpendicolari tra loro. La relazione sopra scritta è condizione necessaria affinché sia una velocità possibile. La sua interpretazione geometrica è la tangenza di al vincolo c. Quindi, se vogliamo identificare una traiettoria possibile basta definire il prodotto scalare ∇f · = 0.

2) Vincolo doppio fisso

Questo vincolo determina e prescrive l'unica traiettoria possibile; è ovvio quindi che anche in questo caso le velocità possibili saranno tutte e sole quelle tangenti a c. La sua deduzione analitica la si ha, analogamente [∇f₁, = 0; ∇f₂, = 0], anche essa caratteristica affinché sia una velocità possibile.

Vincolo semplice mobile

Tenendo sempre presente:

• x = x(c(t))
• y = y(c(t))
• z = z(c(t))

Derivando rispetto al tempo di f(x, y, z, t) = 0, si ha: df/dt = ∇f · J + ∂f/∂t = 0. Come nei casi precedenti, l'avverabilità di questa equazione arricchisce la caratterizzazione delle velocità possibili. Il fatto che f sia un vincolo mobile è evidenziato dal fatto che esiste la derivata parziale rispetto al tempo ∂f/∂t. Tale derivata fa sì che c(t) sia funzione del tempo, e quindi il vincolo stesso sia dotato di velocità non nulla. Questo implica che in generale la velocità J di P se c(t) non sia tangente, ma sia dotata contemporaneamente di una componente tangenziale e di una normale a c(t):

J = J_t + J_n ; risulterà ∇f · (J_t + J_n) = ∂f/∂t = ∇f · J_n (in quanto ∇f · J_t = 0). Risolvendo questa equazione (vettorica) rispetto a J_n otteniamo:

J_n = - (∂f/∂t)/(|∇f|²) · ∇f

Rappresentazione lagrangiana del moto di un punto

Volendo ricavare le velocità possibili attraverso i parametri lagrangiani, consideriamo dapprima le funzioni:

• q₁ = q₁(t)
• q₂ = q₂(t)

Vincolo semplice q = q(t) vincolo doppio confinato insieme alle derivate prime e seconde, in connessione con:

• P = P(q₁, q₂); P = P(q)

Descrivono il moto di un punto P soggetto a un vincolo doppio (fisso o mobile). Ne deduciamo l'espressione lagrangiana delle velocità:

1) Vincoli fissi

P = P(q₁, q₂); J = [∂P/∂q₁ ∂P/∂q₂][q^̇₁ q^̇₂ ]; P = P(q); q^̇ = ∂P/∂q [ q^̇ ] Vincolo semplice Vincolo doppio.

2) Vincoli mobili

P = P(q₁, q₂, t); J = [∂P/∂q₁ ∂P/∂q₂ ∂P/∂t][q^̇₁ q^̇₂ 1]; P = P(q, t); J = [∂P/∂q ∂P/∂t][q^̇ 1] Vincolo semplice Vincolo doppio.

Queste relazioni rappresentano tutte le velocità possibili in ciascun istante e in ciascuna posizione di P compatibile con i vincoli (quindi sulle traiettorie possibili). Fissiamo ora l'attenzione sui vincoli mobili. Se considerassimo i vincoli mobili come fissi ad un generico istante t = t₀, avremmo C(t₀) tanto da considerarlo come fisso. In questo caso nelle velocità possibili relative a C(t₀) perderemmo il termine ∂f/∂t e quindi avremo:

∇f = ∇f_t + ∇f_n; (q₁, q₂) ∈ ℝ²; ∂q₁; ∂q₂ &∇f = ∂f_n + ∇f⊥; q ∈ ℝ ∂q

Formalmente tali relazioni sono identiche a quelle che caratterizzano le velocità possibili dei vincoli fissi. Avremo quindi ∇f: Velocità Virtuale. Il termine ∂f alla fine quindi, non rappresenta altro che ∂t la velocità del punto P per effetto dell'appartenenza di P a C(t), che possiede una velocità non nulla. Tale velocità sono proprio ∂f e quindi possiamo definire ∇f: Velocità di Trascinamento ∂t.

Per cui la velocità possibile per un vincolo mobile sarà: [∇f = ∇f_⊥ + ∇f]. Ritornando all'esempio dell'ascensore: f(x, y, z, t) = 0 ↔ Z - Jt = 0; ∇f_⊥ = x_⊥i + x_⊥j; ∇f = x_⊥ quindi la velocità possibile sarà: ∇f = ∇f_⊥ + ∇f = x_⊥i + x_⊥j + x_⊥

Cinematica di un sistema di punti in presenza di vincoli

Tutto ciò che abbiamo visto per il singolo punto possiamo estenderlo ad un sistema di punti soggetto a f vincoli che candivideremo olonomi (ovvero assunti da forme differenziali e quindi solo vincoli sulla posizione). Quindi: consideriamo un sistema di punti S(P₁, P₂, ..., P_n) soggetto a vincoli olonomi (per semplice dialettica) f_s(x₁, y₁, z₁, ..., x_n, y_n, z_n, t) = 0   j = 1, 2, ..., m ≤ 3n (l-simo vincolo m numero di vincoli sul sistema). Tali vincoli devono rispettare le condizioni:

• P_i ∈ C(t) ≠ 0   i = 1, ..., m ∀ t ∈ [t₀, t₁]
• ∇f_s ≠ 0   s = 1, ..., m ∂f_s continua in [t₀, t₁] ∂t

Per cui possiamo definire P_i = P_i(q₁, q₂, ..., q_ℓ, t)   i = 1, ..., m. Per un sistema di punti così definito è utile definire una grandezza vettoriale V, che sarebbe un vettore di velocità globale del sistema, le cui componenti sono le componenti della velocità di ogni singolo punto istante per istante. Tale grandezza la chiamiamo Atto di Moto.

Def. Atto di Moto

Dato un sistema {P₁, P₂, ..., P_m} ∀ t ∈ [t₀, t₁] ∃ V = {V_x1, V_y1, V_z1, ..., V_xm, V_ym, V_zm} dove un generico V_i indica la velocità del punto P_i all'istante considerato. V è definito istante per istante come la configurazione di un sistema. Così come per il singolo punto abbiamo definito una velocità possibile (compatibile con i vincoli), allo stesso modo, per un sistema di punti possiamo definire un Atto di moto possibile.

Def. Atto di Moto Possibile

Ogni atto di moto V di un sistema {P₁, P₂, P₃, P_m} che, in una determinata configurazione e a un dato istante, risulti compatibile con i vincoli imposti al sistema. Per cui risultano, analogamente come per la velocità e traiettorie possibili per un punto vincolato, le seguenti relazioni:

• ∇f₃ · V = 0 Vincoli Fissi
• ∇f₃ · V + ∂f₃/∂t = 0 Vincoli Mobili (j=1, ..., m)