Sistemi Processi Organizzativi: Appunti delle Lezioni

Appunti delle lezioni di sistemi e processi organizzativi

Teoria dei sistemi e teoria dell'informazione

Sistema. Porzione di realtà che è stata “isolata” da un osservatore; il modo più semplice di rappresentarlo è quello della “scatola nera” in cui non si può conoscere nulla all’interno e che quindi può essere descritta solo attraverso variabili di ingresso (sollecitazioni ricevute dal sistema) e variabili d’uscita (comportamento del sistema).

Esempio: la funzione di produzione di un’impresa y=F(x), dove 'x' è la quantità di materie prime utilizzate e 'y' la quantità di beni prodotti.

Rappresentazione migliorata. In realtà solo sistemi banali si rappresentano in questo modo; in generale infatti, un sistema ha delle dinamiche al suo interno che fanno sì che per uno stesso stimolo il suo comportamento possa essere differente. Vengono allora introdotte delle variabili di stato.

Rappresentazione matematica. Indichiamo con:

• x = vettore delle variabili d’ingresso
• y = vettore delle variabili d’uscita
• s = vettore delle variabili di stato

Avremo:

Nel tempo continuo: uscita in funzione di 'x' e 's' → {y(t) = f(s(t), x(t))}

Nel tempo discreto: y = f(s, x)_t

Evoluzione dello stato del sistema → {s(t) = g(s(t), x(t))}

Nel tempo discreto: s = f(s, x)_t+1

Se il sistema si può rappresentare in modo lineare (equazioni di primo grado con un certo numero di incognite) avremo:

Nel tempo continuo: {y(t) = f₁(s(t)) + f₂(x(t))}

Nel tempo discreto: y = f₁(s) + f₂(x)_t

Se le funzioni stesse che lo descrivono sono lineari avremo:

Nel tempo continuo: {y(t) = As(t) + Bx(t)}

Nel tempo discreto: y = As + Bx_t

Esempio: nella funzione di produzione, le variabili di stato di un’azienda sono macchinari, attività finanziarie, forza lavoro, ecc... in una parola sono le risorse dell’azienda.

Flussi e livelli. Le variabili di ingresso e di uscita sono flussi, quelle di stato sono livelli. Le variabili di flusso sono l’integrale delle variabili di livello, mentre le variabili di livello sono le derivate delle variabili di flusso:

• >0, il flusso è positivo, entra qualcosa, il livello aumenta
• s = ds/dt = 0, il flusso è fermo, non entra e non esce nulla, il livello è costante
• <0, il flusso è negativo, esce qualcosa, il livello diminuisce

A cosa serve tutto ciò

Quando andremo a parlare di modelli ad agenti, andremo appunto a trattare sistemi di cui non sappiamo come scrivere le equazioni perché troppo complesse; invece di scrivere le equazioni, scriveremo le relazioni che regolano gli elementi del sistema, li faremo interagire tra loro e vedremo cosa succede.

Sistemi, sottosistemi e Laplace

Un sistema può anche essere composto da due o più sottosistemi in serie, in parallelo, in retroazione (positiva o negativa che sia); per maneggiare le funzioni che rappresentano questi sistemi complessi si usa trasferirle nel dominio della trasformata di Laplace (s), un dominio più semplice in cui le derivate diventano moltiplicazioni e gli integrali diventano divisioni. In questo dominio un sistema è completamente rappresentato dalla propria funzione di trasferimento: h(s) = y(s)/x(s) dove y(s) → traferimento di y(t) e x(s) → trasferimento x(t).

Stabilità di un sistema

Spesso ci interessa sapere se un sistema avrà una dinamica esplosiva oppure se il suo comportamento permane all’interno di certi limiti. In particolare ci interessa vedere come si comporta se viene “lasciato a se stesso” (x(t)=0) a partire da diverse condizioni iniziali.

Def: Dato un punto di equilibrio X* (ovvero, se in assenza di sollecitazioni il sistema si trova in X*, allora permane in X*), questo punto di equilibrio è:

• Stabile se esiste un intorno di X* di raggio ‘r’ tale che, se ad un tempo iniziale t₀ il sistema si trova in uno stato ‘X’ all’interno di questo intorno, nella sua evoluzione successiva rimane comunque all’interno di un intorno di raggio R.
• Stabile uniforme se è stabile e se la scelta di ‘r’ non dipende da un particolare stato di t₀.
• Stabile asintotico se è stabile e se nel tempo tende a ritornare nel punto X*.
• Stabile asintotico uniforme se è entrambi.
• Stabile asintotico uniforme globale se X* è l’unico punto di equilibrio del sistema.

Per capire ciò si pensi a un paesaggio di montagne e vallate in cui faccio cadere una pallina in un punto ‘A’ casuale.

Funzione di Lyapunov

Serve a stabilire se un punto di equilibrio è stabile. Il teorema di Lyapunov ci dice che se riusciamo ad individuare una funzione a forma di conca tale che lo stato del sistema si muove lungo di essa scendendo verso il punto più basso allora quello è un punto di equilibrio stabile. Nota: se non si trova, non è detto che non sia stabile.

Attrattori

Un attrattore è un insieme di punti o di stati verso cui evolve un sistema dinamico dopo un certo intervallo di tempo; può essere un punto, una curva, una linea spezzata che unisce due stati distinti ecc... Ne vediamo principalmente tre:

• Punto di equilibrio stabile visto sopra.
• Ciclo limite: percorso chiuso verso il quale tendono tutti gli stati ad esso sufficientemente vicini; una volta entrato nel ciclo limite, il sistema ripete infinitamente una serie di stati. Un esempio di ciclo limite può essere un’oscillatore, un pendolo o un motore a scoppio.
• Attrattore strano: attrattore non stabile localmente. Diversamente dai due precedenti le traiettorie che passano per due punti infinitamente vicini nello spazio di stato possono divergere esponenzialmente, per poi tendere ad avvicinarsi nel lungo periodo.

Esponenti di Lyapunov

Per verificare la stabilità di attrattori che non siano un punto non possiamo utilizzare la funzione di Lyapunov, ma bensì calcolare gli esponenti delle soluzioni delle equazioni differenziali che descrivono la dinamica dello stato del sistema.

1) Nel tempo continuo:

• Se il sistema ha gli esponenti tutti negativi e diversi l’uno dall’altro, allora esiste un punto di equilibrio stabile.
• Se il sistema ha gli esponenti tutti non negativi dei quali almeno due sono nulli e immaginari complessi coniugati, allora esiste almeno un ciclo limite.
• Se il sistema ha almeno un esponente positivo o >1, allora è instabile.

2) Nel tempo discreto:

• Se il sistema ha gli esponenti tutti diversi l’uno dall’altro e tutti in modulo <1, allora esiste un punto di equilibrio stabile.
• Se il sistema ha esponenti tutti diversi l’uno dall’altro, tutti <=1 in modulo e almeno due di loro hanno modulo =1 e fasi opposte, allora esiste almeno un ciclo limite.
• Se il sistema ha almeno un esponente >1 il cui modulo è >1 allora il sistema è instabile.

Teoria dell'informazione

Viene utilizzata per valutare la quantità d’informazione che può essere trasmessa attraverso infrastrutture di telecomunicazione. Siano dati:

Ipotesi

Il destinatario conosce:

• L’alfabeto utilizzato dalla sorgente.
• La lunghezza del messaggio (ad esempio che sta per arrivare una parola di 5 lettere).
• In base alla sua esperienza, la probabilità che ciascun carattere dell’alfabeto ha di essere emesso (ad esempio nella lingua italiana la ‘A’ ha una probabilità molto più alta della ‘Q’).
• Sempre in base alla sua esperienza, il destinatario sa assegnare al prossimo carattere in arrivo delle probabilità condizionate ai caratteri precedentemente ricevuti (ad esempio dopo la sequenza “PE” potremmo assegnare una probabilità elevata a ‘R’).

Informazione

È ciò che non conosciamo. Si ha maggiore informazione quando si riduce maggiormente l’incertezza, e questo si ottiene ricevendo un carattere poco probabile. Ad esempio:

• Un carattere poco frequente deve contenere una grossa informazione, ciò significa che I(a_i) deve essere l’inverso di P(b_i).
• Se l’emissione di ogni carattere non dipende dall’emissione degli altri allora l’informazione di un messaggio è data dalla somma delle informazioni dei singoli caratteri; se P(a_i, a_j) = P(a_i) P(a_j) (eventi indipendenti, da CPS) allora I(a_i, a_j) = I(a_i) + I(a_j).

Definizione matematica dell'informazione

Dalle due considerazioni sopra avremo che I(a_i) = k log₁ p(a_i)

Di solito si usa il logaritmo in base due, da cui → I(a_i) = lg₂(1/p(a_i)). L’unità di misura dell’informazione con il logaritmo in base 2 è il bit.

Entropia

Considerato l’alfabeto A={a₁, a₂,…,a_n} utilizzato dalla sorgente, si definisce entropia la quantità media di informazione dei messaggi emessi.

In formula:

H = -∑(p(ai) lg2(p(ai)))

• ∑ è la sommatoria per tutti i caratteri dell’alfabeto
• p(a_i) è la probabilità di ogni singolo carattere
• lg₂(p(a_i)) è la quantità di informazione di ogni singolo carattere

Questa quantità è massima quando tutti i caratteri hanno la stessa probabilità di essere emessi; questo perché, se così fosse, mediamente un messaggio conterrà sempre un’alta quantità di informazione, perché mediamente l’incertezza sarà sempre ridotta di molto e quindi più caos.

Perché abbiamo introdotto questi concetti? Perché alcune grandezze derivate dall’entropia sono utili negli scambi di informazione di un sistema ad agenti. Per poter però utilizzare la teoria dell’informazione in quel contesto dobbiamo considerare la possibilità che un rumore possa agire sul canale di comunicazione e distorcere il messaggio ricevuto.

Supponiamo che il destinatario riceva ‘b_j’. Di conseguenza introduciamo un nuovo concetto.

Informazione mutua

I(a_i|b_j) = log (p(a_i, b_j))/(p(a_i) p(b_j)). Sostituendo abbiamo I(a_i;b_j) = lg₂ (p(a_i, b_j))/(p(a_i) p(b_j))

Informazione media mutua

I(A, B) = ∑∑  p(ai, bj) I(ai; bj)
           i  j

Elementi di teoria della cognizione

Le categorie mentali

La razionalità degli uomini è limitata: una diretta conseguenza è che gli oggetti percepiti nel mondo vengono classificati dalla cognizione umana in categorie mentali. Esse hanno due caratteristiche:

• Si formano per accrescimento attraverso l’osservazione diretta, questo perché il cervello umano non può ragionare come ragiona deduttivamente un calcolatore (se un oggetto ha determinate caratteristiche allora è un/una), ma deve essere in grado di misurarsi con le novità.

Esempio: un bambino che osserva per la prima volta una sedia potrà creare la categoria mentale “sedia”; osservando poi altre sedie arricchirà questa categoria. Da notare che, per definire una nuova categoria, non è stato necessario definire cosa fosse una sedia, ma è bastato utilizzare analogie e similitudini.

Esempio: la categoria “gioco” può essere rappresentata tramite concetti che non hanno elementi in comune a tutta la categoria. Essa può essere rappresentata con dei cerchi che si intersecano a due a due.

• I loro confini sono sfumati, non ben definiti; ad esempio le categorie delle razze dei cani sfumano l’una nell’altra in un’infinita serie di bastardini.

Gli insiemi sfumati ci permettono di definire una logica sfumata (fuzzy logic) la quale contiene l’algebra di Boole come caso particolare. Le operazioni sono le seguenti:

• OR. Prende in considerazione l’unione di più insiemi, ad esempio o A, o B, o A U B.
• AND. Prende in considerazione l’intersezione di più insiemi, ad esempio A ∩ B.
• NOT. Prende in considerazione il complemento di un insieme, ad esempio NOT A consiste nel prendere tutto ciò che non abbia le caratteristiche di A.

Le mappe cognitive

Le categorie mentali sono immerse in una rete di relazioni con altre categorie mentali e con il mondo esterno; queste relazioni generano il significato che ciascuna categoria ha rispetto alle altre.

Esempio: perché distinguiamo le “sedie” dalle “poltrone”? Perché noi associamo alla poltrona un significato differente dalla semplice sedia. Solitamente, infatti, una poltrona serve a distinguere chi è più in alto in una certa gerarchia.

Fra le relazioni la più importante è la relazione causale (A influisce su B).

Mappa cognitiva. È un insieme di relazioni causali e di categorie mentali che evolvono nel tempo; trovano grande applicazione nell’economia le mappe cognitive aziendali, uno strumento utile per conoscere e analizzare le strategie perseguite da un’azienda. In questo contesto, tuttavia, un problema frequente in cui si incappa durante l’analisi dei testi e delle interviste aziendali è che, seppur venga declamato l’esatto contrario nella realtà dei fatti un decisore ha deciso di non decidere: vuoi per la troppa confusione, vuoi per la mancanza di alternative accettabili... in queste circostanze il decisore può trovare ottimale rimandare qualsiasi decisione a tempi migliori. In casi del genere una mappa cognitiva presenta relazioni causali multiple verso conseguenze molto diverse tra loro.

La matematica del ragionamento incerto

Abbiamo chiuso il capitolo sulla teoria della cognizione lasciando in sospeso il discorso delle decisioni in condizioni di incertezza; in questo capitolo vediamo dei modelli utili per capire il comportamento degli agenti economici in tali condizioni.

Il modello dell’utilità soggettiva attesa

Questo modello si basa sulla massimizzazione dell’utilità soggettiva attesa del decisore; egli è in grado di concepire una distribuzione di probabilità soggettiva sull’insieme delle conseguenze possibili, e ognuna di esse ha per quel decisore una certa utilità.

Ipotesi

Il decisore conosce e sa generare tutte le possibili conseguenze delle proprie azioni.

Modello

Il decisore si trova di fronte a una serie di possibili azioni {A₁, A₂,…, A_n} fra cui scegliere; ad ognuna di esse corrispondono un certo numero di conseguenze (C₁, C₂,…, C_n); ogni conseguenza ha una certa utilità per il decisore e una certa probabilità di verificarsi.

Si definisce utilità soggettiva attesa dell’azione A₁ la quantità:

u(A1) = ∑ p(Ci,1)u(Ci,1)

Il decisore, secondo il modello, sceglie l’azione A_i che massimizza tale quantità.

Condizioni per la massimizzazione

L’utilità soggettiva attesa viene massimizzata quando sono soddisfatte quattro condizioni:

• Transitività. Se preferisco la pasta alla carne e la carne al pesce, allora devo anche preferire la pasta al pesce (non banale).
• Cosa certa. Se il verificarsi o meno di un evento non influisce sulle preferenze del decisore (il tempo atmosferico sul mercato azionario per esempio) allora quell’evento è ininfluente e può essere ignorato.
• Le preferenze non devono dipendere dalla probabilità di essere raggiunte (la volpe e l’uva).
• Preferenze rivelate. Le preferenze non devono dipendere dal fatto che siano osservabili o meno dall’esterno (magari le cambiamo per paura di giudizi altrui).

In realtà questo modello non rispecchia affatto il comportamento delle persone, piuttosto specifica come si dovrebbero comportare. Questo perché il modello non tiene conto dei seguenti fattori, identificati come violazioni comuni del modello:

• Effetti d’inquadramento. Il modello non tiene conto del modo in cui un problema viene presentato al decisore: questo fattore è invece molto rilevante, perché suggerisce le categorie mentali in cui inquadrare il problema.
• Preferenze non lineari. Le preferenze del decisore non dipendono in modo lineare dalla probabilità, come invece il modello richiede; ad esempio una variazione tra 0.99 e 1 viene percepita in modo assai più forte di una variazione tra 0.43 e 0.44.
• Numerosità del campione. Le dimensioni dei campioni su cui sono state fatte le ipotesi di probabilità possono influire sulle preferenze del decisore.
• Amore per il rischio. Le persone preferiscono una piccola probabilità di vincere un premio elevato piuttosto che ricevere il valore atteso. Inoltre preferiscono rischiare perdite enormi pur di avere una chance di evitare un danno certo.
• Asimmetria tra guadagni e perdite.

Conclusione. Il modello dell’utilità soggettiva attesa...

Sergio Malavolti