Sistemi lineari e matrici

Sistemi lineari e matrici

N-ple di numeri reali

Sia n un numero intero positivo. Si dice n-pla di numeri reali ogni sequenza ordinata costituita da n numeri reali. Fissato un intero positivo n, l’insieme di tutte le n-ple di numeri reali si indica con un simbolo specifico. A differenza dagli insiemi, si deve tener conto dell’ordine ed è permessa la ripetizione degli elementi.

Fissato un intero positivo n, una n-pla si può definire come una funzione f: 1, 2, …, n → R. Indicando con f(1) il valore che la funzione f fa corrispondere a 1, il valore f(2) che la funzione fa corrispondere a 2, eccetera, la funzione f è individuata dalla sequenza ordinata (f₁, f₂, …, f_n).

Operazioni tra n-ple

• Somma tra n-ple
• Prodotto di una n-pla per uno scalare

Proprietà delle operazioni:

• Associativa
• Commutativa
• Esistenza del neutro
• Esistenza dell’opposto

Il fatto che rispetto a queste operazioni soddisfi le seguenti proprietà si esprime in linguaggio algebrico dicendo che la coppia (Rⁿ; +) costituisce un gruppo commutativo.

Il prodotto di uno scalare per una n-pla soddisfa le seguenti proprietà:

• hF + kF = (h+k)F
• h(kF) = (hk)F
• h(F + G) = hF + hG
• 1F = F

Il fatto che Rⁿ costituisca un gruppo commutativo rispetto alla somma e soddisfi le proprietà precedenti rispetto al prodotto per uno scalare si esprime in linguaggio algebrico dicendo che esso costituisce uno spazio vettoriale sul campo ℝ.

Combinazione lineare di n-ple

Assegnate t n-ple f₁, f₂, …, f_t e lo stesso numero di scalari h₁, h₂, …, h_t, una combinazione lineare è la seguente:

• ∑_i=1^t h_iF_i

Prodotto scalare canonico

Siano date due n-ple, F = (f₁, f₂, …, f_n) e G = (g₁, g₂, …, g_n). Il prodotto scalare canonico è per definizione:

• ∑_k=1ⁿ f_kg_k

Se il loro prodotto scalare è nullo, due n-ple si dicono ortogonali.

Sistemi lineari

Equazioni lineari

Un’equazione lineare nelle incognite x₁, x₂, …, x_n è un’equazione nella forma:

• a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b

Dove a₁, a₂, …, a_n sono detti coefficienti e b è il termine noto.

Una soluzione dell’equazione lineare è una n-pla ordinata di numeri reali che sostituiti alle x rendono l’uguaglianza vera. Risolvere un’equazione lineare significa determinarne tutte le soluzioni. Se un’equazione non ammette soluzioni, si dice impossibile.

Operazioni sulle equazioni lineari

• Moltiplicare tutti i coefficienti ed il termine noto per uno scalare
• Sommare due equazioni
• Scrivere un’equazione che è combinazione lineare delle altre

Soluzioni di un sistema lineare

Una soluzione di un sistema lineare è una n-pla ordinata che sia soluzione di ciascuna equazione del sistema. Se esso non ammette soluzioni, viene detto impossibile o non consistente. Se un sistema ammette più soluzioni, in realtà esso ne ammette infinite.

Sistemi equivalenti

Due sistemi si dicono equivalenti se ogni soluzione del primo è anche soluzione del secondo.

Operazioni elementari su un sistema lineare

Le seguenti operazioni dette operazioni elementari trasformano un sistema dato in un sistema equivalente:

• Scambiare due equazioni
• Sostituire un’equazione con la stessa moltiplicata per uno scalare non nullo
• Sostituire un’equazione con la stessa sommata ad un’altra equazione moltiplicata per uno scalare
• Cancellare o aggiungere un’equazione che sia combinazione lineare delle altre

Matrici

Pivot

Fissata una matrice A, si dice pivot della riga il suo elemento non nullo con indice di colonna più piccolo.

Matrice a scala

Una matrice A si dice a scala per righe se:

• Tutte le eventuali righe nulle sono raggruppate in fondo alla matrice.
• Per ogni indice i, se la riga i-esima non è nulla, detto il suo pivot, tutti gli elementi sotto ad a_ij nella stessa colonna e nelle colonne precedenti sono nulli.

In modo perfettamente analogo si definisce la matrice a scala per colonne:

• Tutte le eventuali colonne nulle sono raggruppate sulla destra della matrice.
• Per ogni indice j, se la colonna j-esima non è nulla, detto il suo pivot, tutti gli elementi a destra di a_ij nella stessa riga e nelle righe precedenti sono nulli.

Matrice trasposta

Data una matrice A, si può costruire un’altra matrice che abbia ordinatamente come righe le colonne di A e di conseguenza come colonne di A le righe di A. Tale matrice trasposta si indica col simbolo A^T.

Proprietà della trasposizione:

• Per ogni matrice A, (A^T)^T = A.
• La trasposta di una matrice a scala per righe è a scala per colonne e viceversa.

Matrice simmetrica, antisimmetrica

Una matrice si dice simmetrica se A = A^T. È ovvio che una matrice simmetrica deve essere quadrata.

Una matrice si dice antisimmetrica se A = -A^T. Una matrice antisimmetrica deve essere quadrata.

Matrice triangolare

Una matrice si dice triangolare superiore se tutti i suoi elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli, ossia a_ij = 0 se i > j.