Sistemi lineari e matrici

Proprietà della trasposizione

Per ogni matrice A, A^T è la trasposta di A.

La trasposta di una matrice a scala per righe è a scala per colonne e viceversa.

Una matrice si dice simmetrica se A = A^T. È ovvio che una matrice simmetrica deve essere quadrata.

Una matrice si dice antisimmetrica se A = -A^T. Una matrice antisimmetrica deve essere quadrata.

Una matrice si dice triangolare superiore se tutti i suoi elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli, se per i > j a_ij = 0.

Una matrice si dice triangolare inferiore se tutti i suoi elementi al di sopra della diagonale principale sono tutti nulli, se per i < j a_ij = 0.

Una matrice quadrata a scala per righe è triangolare superiore, ma il viceversa è falso.

Una matrice diagonale è una matrice contemporaneamente triangolare superiore ed inferiore, in pratica tutti gli elementi non nulli sono sulla diagonale principale.

IDENTICA

Una particolare matrice diagonale è quella che ha gli elementi della diagonale principale tutti uguali a uno.

OPERAZIONI TRA MATRICI

Prodotto di una matrice per uno scalare, moltiplicando ogni suo elemento per uno scalare;

Somma di due matrici dello stesso ordine.

Proprietà della somma tra matrici:

• Associativa;
• Commutativa;
• Esistenza dell'elemento neutro;
• Esistenza dell'opposto.

Il fatto che la somma soddisfi le 4 proprietà precedenti si esprime dicendo che essa costituisce un gruppo commutativo.

Proprietà del prodotto per uno scalare:

A matrice, h,k numeri reali:

(h+k)A = hA + kA

(hk)A = h(kA)

A e B due matrici dello stesso tipo, h scalare:

h(A + B) = hA + hB

1A = A

Il fatto che l'insieme delle matrici rispetto all'operazione di somma costituisca un gruppo commutativo e che soddisfi le tre proprietà precedenti rispetto al prodotto per uno scalare si esprime in linguaggio algebrico dicendo che esso

costituisce uno spazio vettoriale sul campo ℝ.

PRODOTTO DI MATRICI m×n n×t

Sia A una matrice di tipo m×n e B una matrice di tipo n×t, tale che le colonne di A siano tante quante le righe di B.

Si dice allora che A è moltiplicabile a destra per B, e B è moltiplicabile a sinistra per A.

A × B = n×t

Il prodotto righe per colonne definisce una matrice C di tipo m×t, il cui generico elemento è:

C_ij = ∑ⁿ_k=1 a_ik b_kj

Proprietà del prodotto:

• Associativa;
• Esiste l'elemento neutro, la matrice identità;
• Proprietà distributiva rispetto alla somma.

Il prodotto tra matrici non è commutativo, anzi se A è moltiplicabile a destra per B non è detto che sia moltiplicabile per B anche a sinistra. I due prodotti sono entrambi possibili se A è di tipo m×n e B è di tipo n×m, ma anche in questo caso il risultato in generale è diverso.

Fissato un intero positivo n, due matrici quadrate di ordine n si

Possono sempre moltiplicare tra loro, ed il prodotto è ancora una matrice quadrata dello stesso ordine. Inoltre la matrice è contemporaneamente l'elemento neutro a destra e a sinistra rispetto al prodotto. In linguaggio algebrico equivale a dire che per ogni intero positivo n, l'insieme delle matrici quadrate di ordine n, rispetto all'operazione di prodotto, è un monoide non commutativo. La somma di due matrici quadrate di ordine n, è ancora una matrice dello stesso tipo, e l'elemento neutro rispetto alla somma è la matrice nulla quadrata di ordine n. In linguaggio algebrico, questo fatto si esprime dicendo che, per ogni intero positivo n, l'insieme delle matrici quadrate di ordine n, rispetto alle operazioni di somma e prodotto, è un anello non commutativo con unità.

METODO DI GAUSS

MATRICE ELEMENTARE I

Si dice matrice elementare (per righe) di ordine n ogni matrice ottenuta da applicare una qualunque operazione

elementare per righe.

Sia A una matrice di tipo m × n. Sia E la matrice elementare di ordine m; il prodotto E × A è la matrice ottenuta applicando ad A l'operazione elementare per righe corrispondente ad E.

INVERSA DI UNA OPERAZIONE ELEMENTARE −1

Se E è una matrice elementare, la sua inversa è per definizione la matrice E corrispondente all'operazione inversa di quella che corrisponde ad E.

Si noti che l'inversa di una matrice elementare è ancora una matrice elementare dello stesso tipo.

Vale inoltre la seguente proprietà:

−1 −1 = I = E × E × E

MATRICI EQUIVALENTI PER RIGHE

Due matrici si dicono equivalenti per righe se si possono ottenere l'una dall'altra applicando una sequenza finita di operazioni elementari, in simboli:

A ∼ B

L'equivalenza per righe è una relazione di equivalenza:

A ∼ A (riflessiva)

A ∼ B ⇒ B ∼ A (simmetrica)

A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C (transitiva)

Se una

matrice A è equivalente per righe a una matrice B con una riga nulla, allora nella matrice A esiste una riga che è combinazione lineare delle altre.

ALGORITMO DI GAUSS

Con un numero finito di operazioni elementari è possibile trasformare una qualunque matrice in una matrice a scala equivalente per righe.

Ogni matrice è equivalente per righe ad una matrice a scala per righe dello stesso tipo.

1. PASSO

1. Se la matrice è costituita da una sola riga l'algoritmo termina;
2. Individuare la colonna non nulla con indice più basso ed il suo pivot;
3. Se non esistono colonne non nulle l'algoritmo termina in quanto la matrice è nulla;
4. Se il pivot è nella riga i-esima, scambiare la prima riga con la i-esima;
5. Rendere nulli tutti gli elementi della colonna che contiene il pivot della prima riga, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima;

2. PASSO

Ripetere il passo 1 sulla matrice ottenuta schermandone però la prima riga.

3.

PASSO

Ripetere il passo 2 sulla matrice schermata fino ad esaurimento delle righe.

Data una matrice ci sono più matrici a scala equivalenti per righe alla matrice A, ma la matrice che si trova tramite il metodo di gauss è unica.

A e B sono due matrici a scala per righe, tale che A e B hanno lo stesso numero di righe non nulle.

RANGO

Sia S una matrice a scala per righe.

Definiamo rango di S il numero r(S), di righe non nulle di S.

Se A è una matrice qualunque, definiamo il rango di A come il rango di una qualunque matrice a scala che sia equivalente per righe ad A.

Se S e T sono entrambe matrici a scala equivalenti per righe ad A, allora, per le osservazioni precedenti e quindi r(S) = r(T).

PROPRIETA' DEL RANGO

Osserviamo esplicitamente che se A è una matrice di tipo m x n, allora r(A) ≤ m.

Sia A una matrice di tipo m x n e rango p; allora esistono esattamente m-p righe di A che sono combinazione lineare delle restanti p.

coppia di interi la matrice nulla di tipo ha rango zero em× nn) viceversa.Sia A una matrice moltiplicabile a destra per B; allora sia ha:( (r A × B)≤ r A)DIMOSTRAZIONEPrendiamo due matrici A e B, con A moltiplicabile a destra per B.Supponiamo che la matrice A sia a scala; in questo caso il rango di A è il numero delle sue righe non nulle.A × BDato che il numero di righe di è uguale a quello di A, se la matrice A non ha( (righe nulle, si ha .r A × B)≤ r A)Se A ha righe nulle, si osservi che ogni riga nulla di A da luogo ad una riga nulla nelA × Bprodotto, dunque ha almeno tante righe nulle quante ne ha A, per cui ancora( ( .r A × B)≤ r A)Sia ora A una matrice generica; sia S una matrice a scala equivalente per righe ad A; E , E , … , Eesisterà dunque un numero finito di operazioni elementari , tali che1 2 tA=E × E , … , E × S−1t t 1Avremmo alloraA=E × E , … , E^× S ^× B^-1t t 1A ^×B S ^× BDi conseguenza è equivalente per righe a , per cui( )=r (r A ^× B S ^× B) ( )=r (r S A)Ora, S è una matrice a scala, e , dunque abbiamo:( )=r ( ) (S)=r (A )r A ^× B S ^× B ≤ r ( (In definitiva abbiamo provato il risultato r A ^× B)≤ r A)Sia A una matrice, e sia M una sottomatrice, allora:( )≤ (r M r A)IL METODO DI GAUSS-JORDANMATRICE A SCALA RIDOTTA PER RIGHEUna matrice A si dice a scala ridotta (per righe) se soddisfa le condizioni seguenti:La matrice A è a scala; In ogni riga non nulla di A, il pivot è uguale a 1; Se una colonna di A contiene il pivot di una riga, tutti gli altri suoi elementi sono nulli.Ogni matrice è equivalente per righe ad una ed una sola matrice a scala ridotta dello stessotipo.Due matrici a scala ridotta sono equivalenti se e solo se sono uguali.ALGORITMO DI GAUSS-JORDAN1. PASSOa. Se la matrice è nulla, l'algoritmo termina;b.Se la matrice è costituita da una sola riga;detto a il suo pivot moltiplicare la riga per 1/a e andare al passo 4; Se la matrice è costituita da una sola riga;detto a il suo pivot moltiplicare la riga per 1/a e andare al passo 4; c. Individuare la colonna non nulla con indice più basso, ed il suo pivot; c. Individuare la colonna non nulla con indice più basso, ed il suo pivot; d. Se il pivot è nella riga i-esima, moltiplicare la riga i-esima per il reciproco del pivot, e scambiare la prima riga con la i-esima; d. Se il pivot è nella riga i-esima, moltiplicare la riga i-esima per il reciproco del pivot, e scambiare la prima riga con la i-esima; e. Rendere tutti tutti gli altri elementi della colonna che contiene il pivot della prima riga, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima. e. Rendere tutti tutti gli altri elementi della colonna che contiene il pivot della prima riga, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima. 2. PASSO 2. PASSO Ripetere il passo 1 sulla matrice ottenuta schermandone però la prima riga Ripetere il passo 1 sulla matrice ottenuta schermandone però la prima riga 3. PASSO 3. PASSO Ripetere il passo 2 sulla matrice schermata fino ad esaurimento delle righe. Ripetere il passo 2 sulla matrice schermata fino ad esaurimento delle righe. 4. PASSO 4. PASSO Ripetere per tutte le righe non nulle, a partire dall'ultima l'operazione seguente: se il pivot della riga è nella colonna j-esima, rendere nulli tutti gli elementi di questa colonna che stanno al di sopra del pivot, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima. Ripetere per tutte le righe non nulle, a partire dall'ultima l'operazione seguente: se il pivot della riga è nella colonna j-esima, rendere nulli tutti gli elementi di questa colonna che stanno al di sopra del pivot, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima. RISOLUZIONE DEI SISTEMI RISOLUZIONE DEI SISTEMIema ammette soluzioni se e solo se il termine noto b è uguale a 0.