Appunti di Sistemi Dinamici

SISTEMI

APPUNTI CORSO

SISTEMI DINAMICI A TEMPO CONTINUO

Un sistema dinamico dipende dal tempo ed evolve nel tempo. Invece un sistema dinamico non risponde istantaneamente agli ingressi applicati. Un sistema si dice statico se non dipende dal tempo e se la sua risposta agli ingressi è istantanea.

SISTEMA SERBATOIO CILINDRICO

J = ingresso del sistema = portata di acqua in ingresso al serbatoio [_litri/_sec]

h = altezza di acqua nel serbatoio [_dm]

A = area di base del serbatoio [_dm²]

Nota la portata in ingresso al serbatoio, vogliamo conoscere l’altezza di acqua istante per istante. Supponiamo che il volume di acqua nel serbatoio che chiamiamo V = A h, [_litri] = [_dm²] [_dm]

Derivando e inturambi i membri otteniamo:

d/dt V = A d/dt h

Le grandezze dinamiche (che variano nel tempo) sono V e h, mentre la base A è fissa.

F - βv = mṽ

F = mṽ + βv

RAPPRESENTAZIONE IMPLICITA

se integro la rappresentazione implicita ottengo la rappresentazione esplicita.

∫₀^t F(τ)dτ = m ∫₀^t ṽ(τ)dτ + β ∫₀^t v(τ)dτ =

= m(v(t) - m v(0)) + β ∫₀^t v(τ)dτ

F = mṽ + βv ; σ(ms + β) = F ; σ = ¹/_{ms + β} F

f.d.t.

_F

¹/_{ms + β}

v

Il sistema carrello è un sistema lineare del primo ordine. In generale la forma delle f.d.t. dei sistemi lineari del primo ordine è del tipo:

^A/_{as + b} .

L'ordine di un sistema coincide con il grado della s.

Un sistema ha tante condizioni iniziali quante è l'ordine dell'equazione che lo descrive.

Sistemi Elettrici

Si dice anche che a regime le derivate si annullano. Infatti:

e(t) = R i(t) + L d/dt i(t)

Annullando le derivate otteniamo il valore di regime:

e(t) = R i(t) + L . 0 = R i(t) ⇒ i(t) = e(t)/R

SISTEMI ELETTRICI

Abbiamo visto che i sistemi meccanici (carrello in movimento) sono retti dalle leggi di Newton F = m a.

I sistemi elettrici invece sono regolati delle leggi di Ohm e delle leggi LKC ed LKT.

Un circuito può essere visto come un sistema e in generale può essere composto da tre sottosistemi: RESISTORE, INDUTTORE e CONDENSATORE.

RESISTORE

Il resistore è un componente elettrico il cui legame costitutivo è dato dalla funzione V = R i ⇒ i = 1/R V

V ↔ 1/R ↔ i

CONDENSATORE

Il condensatore è capacitore il cui legame costitutivo è dato dalla funzione i = C d/dt V ⇒ i = Cs V

Vt = 1/Cs i

V ↔ sC ↔ i

Rappresentazione di stato.

È possibile rappresentare un sistema utilizzando delle variabili di stato. Esse rendono conto di quanta della storia passata del sistema è necessario conoscere per poter calcolare l’uscita. Per un sistema di ordine n sono necessarie n variabili di stato. Come scegliere le variabili di stato?

Nei modelli dei circuiti elettrici si possono scegliere come variabili di stato le tensioni ai morsetti dei condensatori e le correnti degli induttori perché tali grandezze descrivono bene gli accumuli di energia all’interno del sistema. Invece nei sistemi dei modelli meccanici può convenire scegliere come variabili di stato posizioni e velocità dei vari elementi, perché legate ad accumuli di energia potenziale e cinetica o di quantità di moto.

È opportuno dire che la scelta delle variabili di stato di un sistema non è unica.

Scriviamo la rappresentazione con stato del sistema massa-molla. Essendo un sistema di secondo ordine abbiamo bisogno di due variabili che chiamiamo X₁ e X₂ e poiché abbiamo a che fare con un sistema dinamico una variabile la riferiamo alla posizione ed una alla velocità.

Per ogni variabile definita bisogna calcolarne le sue derivate perciò ci calcoleremo le variabili Ẋ₁ e Ẋ₂

Il prodotto di due matrici si può fare se la matrice che premoltiplica ha un numero di colonne uguale al numero di righe della matrice che postmoltiplica. La moltiplicazione è associativa e distributiva ma non commutativa.

A•B ≠ B•A

A[2x2] x B[3x3] Non si può fare!

A[3_x5] x B[5_x5] = C[3_x5]

A[2_x2] x B[2_x2] = C[2_x2]

• C₁₁ = a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁
• C₁₂ = riga 1 x colonna 2 = a₁₁⋅b₁₂ + a₁₂⋅b₂₂
• C₂₁ = riga 2 di A x colonna 1 di B = a₂₁⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₂₁
• C₂₂ = a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂

MODELLO - DISCO CHE RUOTA INTORNO AL PROPRIO ASSE

Cerchiamo di scrivere le equazioni che regolano il movimento di un disco attorno al proprio asse. Il movimento rotatorio è impresso da una forza esterna u. Il disco ruotando descrive un angolo θ che varia nel tempo. La sua velocità angolare sarà dunque dθ/dt, mentre la sua accelerazione angolare sarà d²θ/dt².

Le forze agenti sul disco sono la forza u, l'attrito viscoso (l'esempio del tratto dell'aria) e la forza di richiamo elastico dell'asse, k. Sia k che β si oppongono ad u. Possiamo scrivere dunque:

Iθ¨ = u - βθ - kθ˙

Notiamo che l'equazione è simile a quella del carrello. Come sempre β è proporzionale alla posizione, mentre k alla velocità.

N.B. I è noto ed è costante

x₁ = θ e x₂ = θ˙

• x₁˙ = x₂
• Ix₂˙ = u - βx₂ - kx₁
• y = x₁

{x₁˙ = x₂

{x₂˙ = (1/I) u - (β/I) x₂ - (k/I) x₁

y = x₁

Sistema non lineare. Il vettore x, cioè il vettore dello stato, dipende dal tempo

ẋ(t)        x₁(t)                                x₂(t)

In generale il vettore ẋ è uguale a:

ẋ = f(x, u)

cioè è funzione dello stato e degli ingressi, cioè

ẋ₁ = f₁(x₁, x₂, u) ẋ₂ = f₂(x₁, x₂, u)

In generale l’uscita del sistema è

y = g(x, u)

cioè è funzione dello stato e degli ingressi.

y = g(x₁, x₂, u)

Ha senso linearizzare un sistema intorno ad un punto di equilibrio.

Punto/i di equilibrio

Per i sistemi soggetti ad ingressi costanti sono di particolare importanza quei movimenti dello stato

Esercizio

Data la seguente relazione i/o

\(\dot{y} + \ln(y+1) + \sin(y) = u\)

scriverla in forma di stato, calcolare il punti di equilibrio per \(\bar{u}=1\) e \(\bar{y} < \pi\) linearizzare il sistema intorno al p.d.e. calcolato

\(x_1 \triangleq y\) \(x_2 \triangleq \dot{y}\)

• \(\dot{x}_1 = x_2\)
• \(\dot{x}_2 = \bar{u} - \ln(x_2 + 1) - \sin(x_1)\)

Per calcolare il punto di equilibrio annullo le derivate e impongo un ingresso costante \(\bar{u} = 1\)

• \(\dot{x}_1 = x_2 = 0\)
• \(1 - \ln(1) - \sin(\bar{x}_1) = 0\);
• \(\sin(\bar{x}_1) = 1\); \(\bar{x}_1 = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\)

\(\bar{y} = \bar{x}_1 = \frac{\pi}{2} < \pi\)

\(\begin{vmatrix}\bar{x}_1 \\ \bar{x}_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\pi/2 \\ 0\end{vmatrix}\)

• \(\dot{f}_1 = x_2\)
• \(\dot{f}_2 = u - \ln(x_2 + 1) - \sin(x_1)\)