Sistemi di corpi rigidi e plv

Lo schema di corpo rigido si presta solo a rappresentare

parti solide di macchine o strutture. Per mettere in relazione moti e posizioni di equilibrio di diversi organi di macchina o di una struttura e' necessario introdurre schemi meccanici piû complessi soggetti a vincoli esterni.

Per un sistema S si osservano solamente i vincoli che limitano direttamente le configurazioni C di S e indifferentemente i suoi stati di moto. Le restrizioni a cui sono soggette le configurazioni si esprimono imponendo a funzioni φ١, φ٢,... delle coordinate degli elementi di S di essere =٠ o ≥٠.

Nel primo caso si hanno vincoli olonomi; nel secondo anolonomi.

Un vincolo olonomo si dice dipendente dal tempo se si muove rispetto ad un riferimento fisso o se si deforma con legge assegnata. Sia la configurazione se il vincolo tratta con velocita' ṥ ad essa tangente.

• Vincoli olonomi indipendenti dal tempo: le restrizioni imposte alle configurazioni del sistema possono esprimere imponendo alle funzioni φ١, φ٢,... delle sole coordinate degli elementi di S di essere =٠ oppure ≥٠.
• Vincoli olonomi dipendenti dal tempo: nelle funzioni λ١, λ٢ compare anche il tempo.

Le restrizioni, o vincoli, impongono direttamente alle configurazioni limitazioni indipendentemente

Tali limitazioni sono espresse da relazioni che si ottengono derivando rispetto a t le condizioni del tipo: Φ₁=0, Φ₂=0...

oppure ψ₁≥0 ψ₂≥0... imposte dal vincolo alla configurazione.

Si dice che le velocità, p_i, gli atti di moto e gli spostamenti sono possibili se compatibili con le limitazioni imposte dal vincolo.

Consideriamo un elemento E soggetto ad un vincolo dipendente dal tempo e sia V la config del vincolo all’ist. t.

E all’ist t occupa il punto P compatibile con le restrizioni imposte dal vincolo. Si chiamano velocità virtuali V relative a t e P le velocità che E può assumere in P compatibilmente con le limitazioni indiret.te imposte dalla config del vincolo all’ist. t.

Se il vincolo è bilateral allora le velocità virtuali sono tutte tangenti in P a V : V ∙ N =0.

Se il vincolo è unilaterale le velocità virtuali di E in P all’ist devono formare un angolo non ottuso con N orientata al vincolo all’elemento: V ∙ N ≥0.

Se il vincolo è bilaterale le vel virtuali sono invertibili mentre nel caso di vincolo unilaterale vi sono velocità non invertibili.

La velocità nulla risulta virtuale Χ t e t vincolo. Non si deve parlare di velocità virtuale (singolare) perchè si tratta di un insieme di n^o velocià.

Moltiplicando V per δ t si ottiene lo spostamento virtuale δ δ P.

ELEMENTO

Se E è sottoposto ad un vincolo bilaterale ∀P compatibile ed il vincolo accettato da E in t e qualunque sia la velocità effettiva di E , la reazione Ř che il vincolo può esplicare su E sono ց al vincolo in P mentre gli spostamenti virtuali sono ‖ al vincolo quindi si ha ɼ^v = ^{Ŝ ζ̇}⁄_δŜ•Ρ = ∀ ζ̇ e ∀ Ρ.

Quando la relazione ɼL^v = 0 è soddisfatta ∀ spost virtuale relativo a Ρ e a t di un elemento E' sottoposto a un vincolo bilateriale. Se il vincolo è unilatarel la reazione Ř che il vincolo può esplicare su E sono ⊥ al vincolo in P mentre gli spost virtuai devono formare un angolo non ottuso con Ř quindi:

_ζ̇ɼ^v = ^{Ŝ ζ̇}⁄_δŜ•Ρ≥0.

Quando la relazione ɼL^v ≥0 è soddisfatta ∀ spost virtude relativo a Ρ e t di un elemento E' sotto ad un vincolo unilaterale.

CORPO RIGIDO

Se il corpo è vincolato ad uno modo sferico qualunque sia la posizione e l'atto di moto effettivo del corpo deve essere:

• M^H =0 e gli spostamenti virtuali sono tutte e sole le rotazioni virtuali ^ρηw_V⊥t con Δlle per se. Quindi ponendo

nelle si ha ɼL^v = ∀ spost. rigido virtuale.

Allo stesso risultato si giunge se il corpo è vincolato ad un carrello, ad un colitare cilindrico o ad una guida cilindrica. Finora ho considerato vincoli bilateriali ora consideriamo vincoli unparte unilaterali.

- Se c'è una configurazione ordinaria o di confine per SP in corrispondenza ad una assegnata sollecitazione attiva, se si introducono ulteriori vincoli con i quali essa è compatibile, essa è ancora configurazione di SP.

- Se c'è configurazione ordinaria o di confine per SP in corrispondenza ad una assegnata sollecitazione attiva e quando si utilizzano ulteriori vincoli che essa è ancora sollecitazione di SP.

Se la sollecitazione attiva è conservativa, di potenziale U, il posto virtuale del sistema si ha δL_a = δU. Le configurazioni di equilibrio ordinario sono quelle per le quali δU = 0. Il posto virtuale mentre quelle di confine sono tale che il posto virtuale δU = 0.

Se la sollecitazione è costituita soltanto dai pesi, il potenziale dipende solo della quota h. E quindi dal principio del buon virtuale si ha:

PRINCIPIO DI TORRICELLI

Per un sistema SP se la sollecitazione attiva si riduce al peso sono di SP tutte e sole le configurazioni nelle quali si non subisce dissossamente in corrispondenza ad deesso sport virtuale.