Sistema a due particelle e distribuzioni di particelle

Sistemi con 2 particelle

2 particelle non identiche (_{m1, m2; ŝ1, ŝ2}

1) quindi distinguibili:

i.e. l'eq. di Schroedinger dipendente dal tempo

  (&hbar²/2m)₁∇² - ϕ

Continuo a leggere sulla probabilità di trovare la particella 1 in:

dV₁ = dx₁dy₁dz₁ e la particella 2 in:

dV₂ = dx₂dy₂dz₂ al tempo t

separazione delle variabili:

  ψ(x₁, ⊂R₂;t) = ψ(x₁) ψ(x₂) (t)

(t) = exp(-iĤt/ℏ)

→ (R₁, R₂) = (R₁) × (R₂) → particelle non interagenti

→ particelle non interagenti

combinazione delle soluzioni:

→ (R₁, R₂) = (R₁), (R₂) = (R₁) × (R₂)

particella 1 nello stata con energia

comb.

particella 2 con energia E₂

2 particelle identiche (es. 2 elettroni, _ŝ1=ŝ2=1/2

potìenziali identiche _{V1(x1), x2)= V(R2, R1))}

-(o) Particelle quantistiche identiche sono indistinguibili:

Particelle interagenti:

Indistinguibilità: Simmetria di scambio di tutte particelle

operatore di permutazione

P_{o12permuazione}

P[(R₁, R₂), - ψ (R₁, R₁)] = ψ(R₁, R₂)] = ψ(R )

I_oP12

Identitŕ

?

Particelle identiche [{} H, P {*sub} = 0

Simetria di scambio:

le autovalori

Sistemi con 2 particelle

2 particelle con identità (non distinguibili):

m₁ = m₂; s₁ = s₂

H ψ = E ψ ψ dipende dal tempo: Scattering

Continuo a usare il pinch problem diventa ∫_X ^{2 ⁄ ₂} ψ dV = d1

Separazione delle variabili:

ψ = (ic1)

∫(t) = e^-i∠∗(t)

⇒ ψ(R1, R2) = U₁(R1) U₂(R2)

Prodotto di funzioni d'onde di 2 particelle

2 particelle identiche (∈ℝ, 2 elettroni, s1 = s2 = 1/2)

∫0 ps_ozon1 = p_s2 = potenziale coulombiano

^{Le particelle quantistiche} identiche sono indistinguili

• Particelle intercomplesse
• Quantumicamento: non ci sono traiettorie
• Coordinate probabilita che accredentino

INDISTINGUIBILITA: Simmetria scambio tra due particelle

Particelle identiche

ψ _{ψ(R1,t),ψ(R2,t)} = ψ _{ψ(R2,t),ψ(R1,t)} .. idendita

2 casi possibili:

= autovalori +1, - 1

=  caso simmetrico 

=  caso antisimmetrico 

 densità di probabilità comunque simmetrica, non cambia.

Come scrivere una funzione d'onda di N particelle non interagenti Ψ(r₁, σ₁ ......) se non fa caso simmetrico e antisimmetrico?

stat di singola particella = a, b

non è la buona appena non padduppa la simmetria, non la barre e puoi distinguere gli elettroni

elettrone 1 nello stato a, elettrone 2 nello stato b, elettrone 1 nello stato b, elettrone 2 nello stato a

2 particelle, 1 nello stato a e 2 nello stato b ma non so quale è in x₁ e x₂

determinata per normalizzazione

Fermioni

2 fermioni nello stesso stato a o b:

insieme di numero quantici

PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI:

2 fermioni non possono occupare lo stesso stato quantistico (Avere lo stesso insieme di numeri quantici)

Stati di singola particella (Ψ_α(r)) normalizzati

→

Sì, può dimostrare con teoria di campo:

- I bosoni  spin intero (S è intero . 0, 1, 2, etc...) S è seminteto E con prob. 1/2

fermioni  spin semintero (S è semintero: 1/2, 3/2, 5/2, ...) (per(i) oppure E con prob 1/2

(per(H))

protoni sono bosoni elettroni sono fermioni(s = 1/2)

anche protoni e neutrini

Normalizzazione: (Casomaltario)

A = lψ_α

norma dell'autostato di ˆh_α= _αψ_α(r) h_α,tautostato of ˆh_βsoluteor^true

2 particelle 

meccanico: k/∈t

Energetico: E₀terminata

autostato di ilin con energia E_αEn consincerà b

Non può dire che quella è lo stato in a, C²a e 2 probabilità = 1/2 per lo stato a e a

bosoni - A = 2!

fermioni - A = 0

principio di Pauli:

• bosoni: "aggrovigiano"
• fermioni: "si compongono"

Interazione tra particelle identiche quantistiche (interazione)

Se si calcola:

• caso fermioni (particelle distinguibili):

<(x - x₂)²> = <x²> - <x₂> <x₁>² > 2 <x₂> > <x₁> (al valore di aspettazione di singola particella)

simmetrica di scambio per due particelle x=2 simmetria

• bosoni
• fermioni

<(x-x₁)²> = <<(x-x₂)²>

<x>_ab = ∫dx × Ψ_a (x)Ψ_b (x) → valore di aspettazione misto su 2 stati L'integrale di overlap (Sovrapposizione)

questi effetti quantistici: non appaiono solo se le due funzioni si sovrappongono

Se Ψ_a Ψ_b = 0 →

overlap trascurabile

Funzione d'onda stato fondamentale

2 elettroni nell'atomo di Elio

(esempio S5 Secayu)

L=0, m=1, e₁=0, m₁=0 | (z=2)

assumiamo no interazione tra 2 elettroni

Ψ(x₁, x₂) = Ψ_1s(x₁) Ψ_1s(x₂)

Ψ per stato a singola particella

• condizione iniziale
• assumendo non decadde

Per costruire uno stato a 2 elettroni devo tenere conto del principio di Pauli

funzione d'onda

Ψ(x₁, x₂) = é simmetrica

Risoluzione:

1/√2 ( |↑↓⟩ - |↓↑⟩ )

Electrone 1: m_s = +1/2

Electrone 2: m_s = -1/2

Nota sull’autostato di S_z = S_1z + S_2z

Regole di addizione dei momenti angolari

Stato descritto in termini di m_s1, m_s2

1. s=1 stato
2. s=0 stato (*antisimmetrica*)

Simmmetrico: parte spaziale

Combinazione antisimmmetrica: parte temporale

Electrone 1 con spin

• Spin ↑ (m_s = 1/2)
• Spin ↓ (m_s = 1/2)

E movimiento

Nota: autostato

• Autovalore
• Assunzioni

Stato di singoletto

Prima Entangled

½ ( |↑↓⟩ - |↓↑⟩ )

Stat finemente sintoniti (combinazione di più stati)

Misure di S12 → collasso (istantaneo) della funzione d'onda

Dopo la misura, se trovato

S_1z = +½ → stato |↑⟩

prop.

Distribuzioni statistiche

1. N particelle identiche non interagenti.

(_N>>1)

• Sistema: indichiamo il volume, contatore, N costante, energia totale. E è costante.
• E - energia di ogni particella
• _gi degenerazione associata (# stati con energia E_i)

Insieme di numeri quantici.

elettroni con spin 1/2 (se trascuriamo l’interazione spin-orbita)

• degenerazione del livello → _gi=2

→ già calcolato considerando le proprie spaziale e 2 elettroni per ogni orbitale (soddisfando il principio di Pauli)

energie quantizzate

energie non quantizzate

Distribuzione statistica: m_i(E_i)=n_j

Come le N particelle si partizioscono sulle varie energie di singola particella

Vincoli:

∑ _i m_i = N (costante)

∑ _i E_i m_i = E (costante)

MICROSTATO: scelta particolare di come distribuire le N particelle nei vari stati di energia di singola particella

MACROSTATO: scelta solo il numero di occupazione m_i per ogni energia E_i; (_mi)

W({m_i:}) = # di microstati che realizzano il microstato {m_i})

Ipotesi di Boltzmann tutti i microstati che rispettano i vincoli del sistema sono equiprobabili →

le sistema si porta alla distribuzione di equilibrio (termico) e dati

allegg. tecnico da i w({m(z),i_f:}) è massimo

massimizzando dalle fin

perciò si

l'entrapo, compless.nualmente (numero maggiore di microcontati v)

con i vincoli dati)

metodo della distribuzione più probabile

Per m≠>

Le distribuzioni divertente da quella più probabile diventano

molto meno probabili (si vede solo la quotazione più probabile).

Formulza di Boltzmann:

S({m_i,t:}) = _Kb log W({m_i,t:})

entropia associata

ad un macrostrato {m_i:}

← costante di Boltzmann

Trovare (ni) più probabile massimizzando W (Ni mi Ei)

Con vincoli nei 3 casi:

• D (distinguibili)
• B (bosoni)
• F (fermioni)

N = 6 particelle con livelli di energia ed energia totale E = 5ε_o.

(non considero energia di punto zero)

ε_i=(i-1)ε_o i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

g₁ = 1 g₂ = 1 g₃ = 2 g₄ = 1 g₅ = 3 g₆ = 4

→ degenerazioni

Sistema 6 serie e componenti modo rotato

6 diversi possibili macrostati che soddisfano il vincolo dell'energia

1^o passo: calcolo di W (Ni mi Ei)

→ ottenuto da argomenti di calcolo combinatorio

W_B(Ni mi Ei) = N! / ∏_i(ni + gi - 1)

W_F(Ni mi Ei) = ∏_i(mi - ni - 1)

W_E(Ni mi Ei) = ∏_i(8i - 1)

Vr (Ni mi Ei) = [# di modi di distribuire nei livelli di energia, con numeri di occupazione ni (Σimi=Ni)] * [# di modi di distribuire ni oggetti in gi stati]

1 per particelle indistinguibili

→ per fermioni: principio di antisimmetria di Pauli

2^o Problema di massimo vincolato

→ moltiplicatori di Lagrange

Per massimizzare P (W (Ni mi Ei)) → condition Lagrange det countable

ln W (control)

→ Δs = Δp controlla nel giorno del W derivato funzionale

Per massimizzare _{mi} ln [ w/ ( _{l , m ; i} ) ] soggetto al vincolo:

∑ _{i , mo m} ∈ E

tracce {mi} percui

∑ _{n ; m} N _n ) - ε } = 0

formula dei moltiplicatori di Lagrange come entrambe

di Lagrange

(Qui cancellavi margine delle derivate secondarie)

X / Y percui P (x,y) è massima soggetta al vincolo

g(x,y) = C

curve di livello

f ( x , y ) = cost

massimo vincolato → curve di livello ai P e Σ sono

dividendo tra loro

gradienti di f e di g sono ortogonali alle

curve di livello e quindi paralleli tra loro

∇ϕ-λ ( ∇ g )=0

formula di Stirling

per calcol

Alla fine dei calcoli si ottiene:

m _∞ = qc :

esp ( _{x i + β ε i )}

m _∞ = qc

Formula di Lagrange per calcolisti

B

g _∞ =

esp ( _{x i + β ε i ) +1}

E

m _∞ =

esp ( _{x i + β ε i ) -1}

Noonostate le formule di W sono diverse, le distribuzioni di equilibrio sono

Simile

m(E)

g(E)

tendenza a occupare gli stati a minima energia

E = D

m = g ≠ 1 n(E) g(E)

tendenza maggiore a occupare lo stato fondamentale

Boltzmann

In tutti i casi per β(E) > 1

Stesso comportamento ad alte energie

In pratica, quando serve utilizzare la distribuzione quantistica?

quando l'integrale si adatta ≠ 1 (Dim. pratica)

quando

x

dx = g

principio di Heisenberg

equipartizione dell'energia

Confronto / dx conserva.

Esempio 10.2

V

(V adatto dei gas perfetti)

(2)

elettroni di conduzione in argento

1 elettrone di conduzione per atomo

metallo e gas di elettroni liberi (elettroni di conduzione)