Sismologia e pericolosità sismica

N.B.:

• la velocità di fase è controllata dalle caratteristiche del mezzo;

• la velocità di gruppo dipende sia dalle caratteristiche del mezzo che dalla variazione della velocità di

fase con la frequenza. ′ ′′,

Consideriamo due onde armoniche che hanno la stessa ampiezza e frequenze e numeri d’onda e

′ ′

⁄ ⁄

= ′ ′ ′ = ′′ ′′

velocità di fase di poco differenti ( e ).

Queste due onde si combinano dando uno spostamento totale:

′ ′

(, ) = cos( − ′) + cos( ′ − ′′)

′ ′′ ′

′ ′′, + = = −

Definiamo, ora, come la media di e tale che e come la media di e

′ ′ ′′

′ + = = − .

tale che

Sostituendo questi valori nell’equazione precedente e ricordando che:

2 cos cos = cos( + ) + cos( − )

si ottiene: (, ) = 2 cos( − ) cos( − )

che rappresenta l’interferenza tra due armoniche iniziali.

In natura, però, un terremoto genera onde superficiali in uno spettro continuo di frequenze, piuttosto che

due sole frequenze come nell’esempio precedente. Per cui, lo spostamento totale delle onde superficiali sarà

dato dalla sommatoria di tutte le componenti armoniche.

Consideriamo, quindi, la somma di un continuo di termini armonici con ampiezza uniforme su una banda di

∆

frequenza finita centrata su una frequenza media :

0

∆

+

0 2

= ∫ cos[ − ()]

∆

−

0 2

Ora: ∆, ()

1. per piccoli valori di può essere sviluppato in serie di Taylor; ;

2. bisogna calcolare l’integrale trascurando i termini di ordine superiore a

2 sin cos = sin( + ) − sin( − );

3. sapendo che ⁄ ⁄ )|

= (∆ 2

)[ − ( ]

4. ponendo

0

si ottiene: sin )]

= ∆ cos[ − (

0 0

dove: )]

cos[ − (

- è la funzione armonica con frequenza centrale ;

0 0 0

sin 0.

- è detta funzione SINC ed è caratterizzata da un lobo centrale e da lobi laterali che tendono a

L’ultima curva rappresenta il prodotto delle due funzioni precedenti ed è ciò che si osserva su di un

sismogramma.

L’equazione precedente, quindi, rappresenta il pacchetto di onde superficiali in cui l’energia dell’inviluppo

viaggerà con una velocità (velocità di gruppo) diversa da quella delle singole armoniche del pacchetto

(velocità di fase). () ()

La velocità di fase e la velocità di gruppo sono date da:

() = ()

()

() = ()

Le due relazioni precedenti sono dette curve di dispersione della velocità di fase e gruppo rispettivamente

e sono unite dalla relazione: 1 1 1

= +

() () () ()

Dato un sismogramma, la velocità di fase e di gruppo possono essere definite come:

() = () ()

+ − ± 2

0

[ ]

() = () ()

[ + − ]

0 () ()

dove:

- è la distanza sorgente-ricevitore;

- è la differenza tra il tempo-origine e l’inizio del segnale analizzato;

0

- e sono rispettivamente la fase del segnale registrato nel ricevitore e la fase iniziale apparente

della sorgente;

- è la frequenza radiale;

- è un numero intero determinato empiricamente che rappresenta il numero di cicli relativo allo

spettro di fase.

In tutti gli aspetti della geofisica risulta spesso utile rappresentare le funzioni nel dominio del tempo in

funzioni equivalenti nel dominio della frequenza. (),

Ciò è possibile utilizzando la trasformata di Fourier, la quale asserisce che data una funzione arbitraria

esiste un set di termini armonici tali che: +∞

1

() = ∫ ()

2 −∞

+∞ − ()

|()|

() = ∫ () =

{ −∞

dove:

- è la frequenza angolare;

()

- è detta “spettro di ampiezza”, ossia l’ampiezza di ogni componente armonica;

()

- è detto “spettro di fase” e corrisponde allo sfasamento.

Il teorema asserisce, quindi, che una serie temporale di movimenti del terreno (anche un evento impulsivo)

può essere espresso come la somma di funzioni armoniche monocromatiche.

Di particolare importanza è la quantità: 2

|()|

() ≈ ()

detto “spettro di potenza” o, più correttamente, “spettro di energia” di ed è proporzionale alla potenza

.

media portata dal segnale alla frequenza

Tutto ciò è strettamente applicabile a funzioni definite continuamente in un intervallo infinito. Nei casi reali,

)

invece, le misure sono discrete (in numero e di estensione limitata.

Quindi, i rilievi geofisici sono caratterizzati da alcune specifiche che dipendono sia dai limiti connessi al

processo di misura, sia ad esigenze di tipo scientifico e/o economico:

1. estensione ();

2. densità di misure.

Le ultime possono essere equispaziate o meno, nel primo caso di parla di passo di campionamento ().

I parametri e caratterizzano il tipo di informazione che si può estrarre da una campagna di misure e

devono quindi essere oggetto di un’attenta progettazione.

Il numero di misure lungo un profilo è legato alla massima lunghezza d’onda risolvibile, detta

= .

fondamentale: 1 = 2.

Il passo di campionamento P è legato alla minima lunghezza d’onda risolvibile, detta di Nyquist:

In termini di frequenze si ha, invece: → ⁄

= 1 ;

- frequenza di campionamento

→ ⁄

= 1 ;

- frequenza fondamentale 1

→ ⁄

= 1 2

- frequenza di Nyquist .

Un sismogramma può essere considerato come l’output di una serie di filtri (propagazione, attenuazione,

registrazione su uno strumento). Ognuno di questi filtri distorce il segnale in entrata tramite una funzione di

trasferimento.

La connessione matematica tra l’input, la funzione di trasferimento e l’output è nota come convoluzione,

un’operazione matematica che definisce il cambiamento di forma subito da un segnale che passa attraverso

un filtro: +∞ ′ ′ ′

( )( )

∗ )() = ∫ ( −

−∞

() () () (),

Se e sono le trasformate di Fourier di e la trasformata di Fourier della convoluzione è

uguale al prodotto delle trasformate:

+∞ 1

−

(

∫ ∗ )() = ( ∗ )() = () ∙ ()

2

−∞

Dal momento che la funzione di trasferimento (risposta del geofono) è nota, per ottenere la risposta del

mezzo attraversato bisogna:

1. eseguire la trasformata di Fourier del segnale ottenuto;

2. dividere il risultato per la risposta del geofono;

3. eseguire l’anti-trasformata.

Un’utile operazione nell’ambito dell’analisi di Fourier è la correlazione. Vi sono due tipi di correlazione:

1. la cross-correlazione fornisce una misura qualitativa della similarità tra due funzioni (due segnali

′

provenienti da due geofoni) quando una delle due viene traslata di una distanza rispetto all’altra:

+∞

′ ′

) )′

( = ⨂ = ∫ ()( +

−∞

= ,

2. nel caso in cui si parla di cross-correlazione di un segnale con sé stesso o di auto-correlazione:

+∞ ′ )′

(′) = ∫ ()( +

−∞

Il rapporto tra la cross-correlazione e l’auto correlazione definisce la coerenza. .

N.B.: nel caso di un segnale rumoroso la correlazione è utile per determinare il periodo

Uno degli scopi principali della sismologia è la localizzazione dei terremoti che prevede la determinazione

delle coordinate ipocentrali e del tempo di origine del terremoto.

Per stimare accuratamente l’ipocentro di un terremoto ed il suo tempo d’origine è necessario conoscere i

tempi di arrivo delle varie fasi sismiche alle diverse stazioni di misura.

Per ottenere una stima “grezza” di questi parametri è possibile utilizzare anche una sola stazione. In questo

caso la distanza della sorgente sismica dal ricevitore è ottenuta dalla differenza tra gli arrivi delle onde P ed

S: ( − )

= − 1

√3

La formula precedente è valida per un solido poissoniano, mentre per la maggior parte degli eventi crostali

la relazione si riduce a: = ( − ) × 8

Questo metodo, però, non è accurato. Quando si dispone di diverse stazioni si può localizzare accuratamente

la sorgente.

Il tempo di origine del terremoto () può essere determinato con una semplice tecnica grafica nota come

Diagramma di Wadati: sull’asse delle si plotta la

( − ),

differenza mentre sull’asse delle si plottano

i tempi di arrivo delle onde-P in secondi.

( − ) → 0

Siccome man mano che ci si avvicina

all’ipocentro, l’intercetta della linea di tendenza con

l’asse darà un’approssimazione del tempo di origine.

,

Una volta stimato la distanza ipocentrale dall’i-

esima stazione si ricava tramite la relazione:

= ( − )

L’epicentro si troverà su di una semi-sfera avente raggio

centrata sull’i-esima stazione.

Nel caso semplice di tre stazioni si procede come segue: