Singolarità

Singolarità

Una funzione f è detta singolarità nel punto z₀ se B_r(z₀) è un'intersezione con A che non è vuota per ogni f olomorfa in A. Il punto z₀ è isolato se f(z) = f₁(z)f₂(z) è una singolarità isolata con zero isolato di f₂.

Classificazione delle singolarità

Primo caso - Singolarità eliminabile

Il punto z₀ si dice eliminabile se esiste il limite lim_{z → z0} f(z) = λ ∈ ℂ e f̃(z) = {f(z)∈A}.

Esempio: f con z ≠ 0 e z = 0, f(z) = sin(z-2)/(z-2).

Secondo caso - Singolarità di tipo polo

Il punto z₀ si dice polo di ordine n se esiste il limite lim_{z → z0} (z-z₀)ⁿf(z) = λ ∈ ℂ.

Esempio: 1/(z-2)³ con z₀ = 0.

Singolarità definizione

Una funzione f: A ⊆ ℂ → ℂ con a in A isolato è una singolarità nel punto z₀ se B_r(z₀) ⊆ A-{z₀} e f(z) = f₁(z) / f₂(z) è una singolarità isolata con zero isolato di f₂.

Primo caso - Singolarità eliminabile

z₀ si dice eliminabile se esiste il limite lim_{z → z0} f(z) = λ ∈ ℂ, e f̃ (z) = { f(z) se x =/= z₀ => f̃ è analitica}.

Esempio: f con z = 0, lim_{z → z0} f(z), z = 0, lim_(z->2) (sin(z-2) / (z-2)), x + z, z = 2.

Secondo caso - Singolarità di tipo polo

Il punto z = z₀ si dice polo di ordine n se esiste il limite lim_{z → z0} (z-z₀)ⁿf(z) λ ∈ ℂ.

Esempio: z₀ = 0, 1/(z-2)³, f(z) -> 1, lim_z->2 (1/(z - π)) -> 1, z = 0, z = π, zero = π, z = kπ, lim_z->π 1/sin²(z-π)-sin(z-π) -> -1 => pari: K pari viene 1 dispari -1.