Simmetrie di Lie

Introduzione: Simmetrie o Lie

Molte menti matematiche sono state alla ricerca di "macerata" Quinn cui risolvere equazioni tramite trasformazioni matematiche tra cui Lagrange, Hamilton, Cartan, Ferrari, Ruppin, ABL e Galois che hanno indicato quelle equazioni che si possono risolvere metragogia e alcune oralità Gorky come si ricordano, l'investiamo o il modo di trovate radici alesbriali.

Quanti Lie si ordonna è possibile nuove equazioni generalizzate e le conosceremo?!

Sì, non ci accorgiamo di ordinare e a dividere pertienza per cui bisogna il sistema lassuppar che modo che modo il continuo vertere.

Una simmetria è qualcosa che lascia non l'oggetto corte esperienze realizzarione verga.

Le cose bisogna che un Lapo invente simmetrie il raccolto 3 oci.

Ma queste solo simmetrie discrete.

Def:

Un gruppo continuo ad un parboneo di trasformazioni puntuali (dipendono dalla osservada)

(x,t) ⟹ (x',t)

Il gruppo cioè:

• Chiude rispetto composizione T(ba) = T(aob)
• Trasformazione identica t(o): φ = φ(t,x(o), x = φ(t,x,o)
• è inversa (-o), I ∃ φ(t,x-o), x = ψ(+1, -a)
• Il continuo cioè dato: α∈ℝ
• {ℰ=N|₀(t,x,α)} ⟹ ψN∘ℰ∘

Def:

Sia f(t,x) funzione e F(t)|x) = 0 equazione in t e x.

F è idea e inviarnte ⟺ F(t,x) = F(t,x') dove la funzione per

Anuliamo f(x) e componere Winn ⟹ una traiettorio

Fα si e inviarnte ⟺ Fα (t', x') = 0

Rienda con punti sossommi t (t,x).

Def:

Detta una segreria (x,t) = (x', t') generato lo svilupp attempting che Lagrange, sepisito al pneumatico o nell’invino di o+a, ovvero dall’identità

• x = φ(t,x,a), ∂α0|α=0 a+o((a²)⁽)², x+∂ₜ|N(t,x,a) a+o(a²)
• ℰ = N|(t,x,a): ∂ᵃψ|α=o a+o(a²)= t |⟹ ∂ₜ|N(t,x,a) a+o(a²)

Dove M(t,x) = ∂ₜ|N∘ω=0, ⊠|ₗ(t,x) = : ∂∂ᵗφ|ₗ∘=0

ξ = ε + η(t, x)∂_α λ = x + m(t, x) ∙ α

Alla Tras. Infinitesima Associo il seguente operatore differenziale lineare (operatore di Lie)

Γ = η(t, x)∂_ε + m(t,x)∂_x

Teorema 1 (Pro. di Lie)

Allora una qualunque equazione del tipo x=^a/_b = 1 ²p(1)

x = 1²p(H) è una qualunque S insolubria

(SE p(H) = 2H ²

A cosa segue una proprietà per un eq di grado I? A riuscire a risolverla usando il fattore integratore (Es 7) per quell'equazione ttto con una notazione (Ex 8)

Equazione differenziale ordinare a ordine 2

EqF=x ^. + ß(H, x.) EQ₁ = 0 terreno conti

t² β¹ + xη¹ + 2k ɳ¹ + 3 ß_x x = 0

così trovo le mie incognite ɳ e M untiche

Esercizio 7

x_t = tx_o + x_o²

veloc. comm.

A = 0_x

1. ^dt/_x = ^dx/_x
2. ^dt/_x = ^dx/_x²

Da (2) se ^dx/_x

se ^dx/_x

per I₂

I₂ =

Da (1) se ^dt/_x

sist

→ I

se → ½

se →

sist

→ I₂ = ƒ(x)

→

→^−½/_x

se = I₁ + I₂

Torna invar.

^{tx_o + x_o2}/_x =

=0+

→

^{tx_o + x_o2}/_x2+tx

OSS

Di classific. le altre di dimensione 2

sempre la classificazione di Sophus

A cosa serve la classificazione?

• Riconoscere l'equazione
• Identificazione cost
• Ad esprimere

Esempio 8

A cosa serve

Ricordare una somewhere tua trans.

^{x + x2} /_t² =

Il pic

Trasformano

t

→

→

→ I

e → -

→ Is → lin. con res.

lm t

→B + C

Sostit.

→ lm t

=

x = ^{2t3 + C}/_{t(t³ + C)}

INTERAZIONE IN 2D. CASO DEL TRAZIO CON 8 STRINGHE

Un equazione di questo tipo è vincolabile e poi terna una soluzione in questo modo.

1) Prendere un'algebra intrinseca arbitraria...A esempio, ......Algebra arbitraria intrinseca.

2) Devo trovare le coordinate canoniche...Risolvendo gli elementi di equazioni a derivate parziali con i crone:...Core

3) Ora devo determinare l'equazione ...Nel nostro esempio ...

4) Ora conosciuto ......

055 vediamo la modificazione a questa ed ora generica di ordine:

\( \dot{x} = F(t, x_1, x_2) \) \( \Rightarrow \) \( \cases{ x_2=x_2 \\ \frac{dx_1}{dt} = \frac{dx_2}{ dx_2}=F(t, x_1,x_2) }\)

\( \Rightarrow \frac{ \partial Q}{ \partial x_1} + x_2 \frac{ \partial \gamma}{ \partial y_1} - f \frac{ \partial \gamma}{ \partial t} = 0 \) equivalente a dimmi il termine.

\( a_0= \frac{ \partial }{ \partial t}, q_1= \frac{ \partial}{ \partial x_1}, q_2= \frac{ \partial F}{ \partial x_2}, f'( \log \mu) + 9q_1 + a_2 \times 0 \) come \( a_j=x_2, a_2= F(t, x_1, x_2) \)

\( \Rightarrow F(\log \mu) = \big[D_F(t, x_1, x_2) \big] \Rightarrow F(t, x_1, x_2, t) \Rightarrow \text{per } x_1, q_2 \right) \Rightarrow D_{\times(F_2, X_2)} \)

\( \Rightarrow M=e^{\big[ \frac{\partial}{\partial t} \big]} \)

Esempi:

• \( \dot{x} = F(t, x) \)
• \( \frac{d}{dt}( \log \mu) = 0 \Rightarrow M= {\scriptsize \cos \theta } \)
• \( \dot{x} = S(x) + q(t) \)
• \( f(\log \mu) + S(q) = M=e^{- \frac{z^2}{ n}!} \)
• \( t=x^2 - F(t= x) \)
• \( \frac{d}{dt}( \frac{d}{dx}( \log \mu)) + x^x = 0 \Rightarrow M=e^{x \frac{x \times x}{n}} = e^{s^2} \)

La lagrangiana di un bd€d o idfdrd è l'integrale del funzionale il cui esiste. Per il principio di Hooliquon il [...] stessa.

Per un svizzone q (a. 01x) ho infinite lagrangiane poiche ho infinite lagrangiane in acuni quadratiche l'essa una funzione o unga

\( f(t_0, t_1) \) → ℝ un funzionale arial

\( X(t) = \int_{t_0}^{t_1} y(t , x; x) dt \) (cp) con L possibilità

Per il pampariginal (° Holopy) molto asemina di sistemasc

Caratterizzo una lagrangiana x = (’essere il funzionale’(ⁿ)

É l’essner; é oro della fora” o\( \bar{q}(t) = \big( \frac{d}{dx} é_1 \big) - 0 \) K=1…N

Dissoziandolia monnasere controlledaore variata voa tute lespecchiate oialura la unica che minitor ) \(\int_{t_0}^{t_1} x,y \big[ \frac{d}{dx} \big] dt \)

$$ s< X(t) = una (kind sat (\ \times ) o X(t) = x,t \)

Craft unico una gener) parte viczino troposser

$$ oo ( \times ) X(t) (H) + E_2(R,K(t) = osa X{e} ( \times ) $$ E-E[2 Rotanda

Con πX(t) = x, 0 x(}1.x \big[ \frac{d}{dx} \big]_2 \) _{R(t) = \big(\frac{d}{dx} \big\\/} EER intants da x una

∆ = | f(t,x₁,x₂) |

..........| f(t,x₁,x₂) | con almeno 2 soluzioni..........m₁ ϕ₁(x) ...........................|...................m₂ ϕ₂(x) ...........................|.........

Se ho 2 soluzioni ho

POSSO SOLVERE, BASTA CAMBIARE LA CONFIGURAZIONE DEL MESSERO

OSSERVAZIONI

• Per un'equazione del 1° grado ho bisogno di 1 soluzione
• Per un'equazione di II grado ho al massimo 8 soluzioni di uku e 5 soluzioni di Noether

Il moltiplicatore di Lagrange è la concentrazione di flessibile, integrale At accennato con un esempio:(Questa era l'idea di [NCD]).

duₖ = -u²ₖ √

duₖ + uₖ + Qdx = 0

∆ = | 1 | ......................................= u² => M₁ = ¹/_u²

Ora vediamo di equilibrare come forma una gemmare.

Pdx + Qdϋ = m' u² dx = 0

Il fattore integrale èM₁ = ¹/_u²¹ = ¹/_u² = M₁

M₂ = ...........

Verificato che con M₁ e M₂ la forma diffs sia deforma• Pγidm + Qμμ + diffs = 0 = ¹/_u̇²̇ di + dx = 0