Simmetrie particolari del campo magnetico

Simmetrie particolari del campo magnetico

Analizziamo più a fondo il campo magnetico prodotto da un filo percorso da una determinata corrente. Si abbia una situazione del genere: il punto di formazione del triangolo a distanza dal filo, intercetta l’infinitesimo di lunghezza diretto verso l’alto tramite il vettore. Si ha dalle precedenti formule l’infinitesimo del campo magnetico prodotto da un filo percorso da corrente, da una lunghezza a distanza dal punto di applicazione:

Dati l’angolo e θ, si ha che la distanza è:

\[ D = \Delta r \sin(\pi - \theta) = \Delta r \sin \theta \]

Dato che \((\pi - \theta) = -\Delta r\), allora la relazione fra la lunghezza considerata e la distanza è:

\[ l = \Delta r \cos \cos(\theta) \]

e l’infinitesimo di lunghezza è quindi:

\[ l = -D \cot \theta \]

dl = 2sin x

Il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale nella formula sopra è quindi:

dl \(\Delta r \sin(\pi - \theta) = dl \Delta r \sin \theta\)

La formula finale dell’infinitesimo del vettore campo magnetico è:

\[ I \mu_0 \ast D4 \pi 2 \ast \sin \theta 2\sin \theta \ast \sin \theta d\theta 2D \]

E semplificando e andando a integrare per ottenere il campo magnetico è:

\[ \pi I \mu \int \mu 0 0 = B \sin \theta d\theta = 4 \pi D 2 \pi D0 \]

Il segno dell’integrale, considerando dal basso verso l’alto la direzione di \(\Delta r\), va visto con attenzione.

Teorema della circuitazione di Ampère

Per la circuitazione lungo una circonferenza chiusa (attorno ad un filo di lunghezza infinita), vale il teorema della circuitazione di Ampère (quarta legge di Maxwell). Ma la linea chiusa può anche essere non regolare, quindi la formula diventa:

\[ \mu I dl r \oint \int B \cdot dl = 2 \pi \]

Ma si ha che, suddividendo la linea chiusa in tanti piccoli infinitesimi di lunghezza, si vengono a formare dei piccoli triangoli, in modo che:

dl = θ

con distanza dal filo e infinitesimo di lunghezza della circonferenza, assunto come linea dritta. In questo modo l’integrale sopra diventa:

\[ \mu I \int 0 d\theta = \mu I0 2 \pi \]

Contributo al campo magnetico

Si veda ora come dei fili non inclusi nella linea chiusa su cui viene calcolata la circuitazione del campo magnetico, non diano contributo al campo magnetico. Si ha una situazione di questo tipo: γ α α.

Se si percorre la linea dai punti in cui si formano g...