Simmetrie particolari del campo magnetico

SIMMETRIE PARTICOLARI DEL CAMPO MAGNETICO

Analizziamo più a fondo il campo magnetico prodotto da un filo percorso da

una determinata corrente. Si abbia una situazione del genere:

Il punto di formazione del triangolo a distanza dal filo, intercetta

D

l’infinitesimo di lunghezza diretto verso l’alto tramite il vettore . Si ha

dl Δr

dalle precedenti formule l’infinitesimo del campo magnetico prodotto da un filo

percorso da corrente , da una lunghezza a distanza dal punto di

I dl Δ r

applicazione è:

⃗

I μ ⃗

d l × Δ r

⃗ 0

=

d B 3

4 π | |

Δ r −θ

Dati l’angolo e , si ha che la distanza , e

θ π D= Δ r sin(π−θ)= Δ r sinθ

dato che , allora la relazione fra la lunghezza

(π−θ)=−Δr

l=Δ r cos cos(θ)

considerata e la distanza è , e l’infinitesimo di lunghezza è quindi

l=−D cotθ

D

dl= 2

sin x

Il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale nella formula sopra è

quindi . La formula finale dell’infinitesimo del vettore

dl Δ r sin( π−θ)=dl Δr sin θ

campo magnetico è: I μ

0 ∗D

4 π 2

∗sin θ

2

sin θ ∗sin θ dθ

2

D

E semplificando e andando a integrare per ottenere il campo magnetico è:

π

I μ I μ

∫

⃗ 0 0

=

B sin θ dθ=

4 πD 2 πD

0

Il segno dell’integrale, considerando dal basso verso l’alto la direzione di ,

Δr

va visto con attenzione.

Per la circuitazione lungo una circonferenza chiusa (attorno ad un filo di

lunghezza infinita), vale il teorema della circuitazione di Ampère (quarta legge

di Maxwell). Ma la linea chiusa può anche essere non regolare, quindi la

formula diventa: μ I dlr

∮ ∫

⃗

⃗ 0

B ∙ d l= 2 π

Ma si ha che, suddividendo la linea chiusa in tanti piccoli infinitesimi di

dl =θ

lunghezza, si vengono a formare dei piccoli triangoli, in modo che , con

r

distanza dal filo e infinitesimo di lunghezza della circonferenza,

r dl

assunto come linea dritta. In questo modo l’integrale sopra diventa:

μ I ∫

0 dθ=μ I

0

2 π

Si veda ora come dei fili non inclusi nella linea chiusa su cui viene calcolata la

circuitazione del campo magnetico, non diano contributo al campo magnetico.

Si ha una situazione di questo tipo:

γ α α

Se si percorre la linea dai punti in cui si formano gli angoli a , si

2 1 2

γ

va in un verso, ma se si percorre la linea nello stesso verso, gli angoli

1

cambiano verso, quindi cambia il segno dei contributi che di conseguenza

sommati danno 0:

❑ ❑

∫ ∫

Bdl=− Bdl

γ γ

1 2

Per quel che riguarda situazioni reali, come per il campo elettrico all’interno di

una sfera (anziché considerarla come puntiforme), anche per il campo

magnetico può capitare di avere un filo con una sezione cilindrica e calcolarne

il campo magnetico interno al posto di calcolare quello prodotto dal filo

all’esterno. Si ha una situazione del genere:

Vi è una densità di corrente all’interno del cilindro e viene considerata una

J

circonferenza interna ad esso come riferimento. Viene assunto il vettore campo

magnetico come tangente alla circonferenza per rispettare le simmetrie della

situazione. Quindi si scriva la situazione più generale del teorema della

circuitazione di Ampère:

∮ ∯

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

=μ

B ∙ d l J ∙ d S

0

Adesso si scompongano i due integrali per ricavare la formula: nel primo si

assume il vettore campo magnetico come uniforme su tutta la piccola

circonferenza interna e tangente a essa, quindi va fuori all’integrale e

B

l’integrale dei piccoli infinitesimi diventa la circonferenza , quindi il

dl 2 πr

risultato è . Per il secondo integrale viene assunto come uniforme

B 2 πr J

(oltre che parallelo alla superficie della circonferenza, essendo diretta verso

l’alto, quindi va fuori all’integrale e l’integrale in diventa la superficie

J dS

2

della piccola circonferenza, quindi il risultato è , mettendo ad

μ Jπ r

0

uguaglianza: μ Jr μ Jr

⃗ ^

2 0 0

=

B 2 πr=μ Jπ r → B= → B t

0 2 2

Che è il risultato del campo magnetico prodotto all’interno di un cilindro

caratterizzato da una densità di corrente .

J

Per quel che riguarda il campo magnetico esterno invece, dato che nella

seconda equazione l’integrale considerato è solo quello dove vi è , la

J

μ I

⃗ ^

0

quantità , quindi il risultato sarebbe proprio .

2 =

B t

=I

Jπ R 2 π

Tuttavia, può anche capitare che il vettore non sia uniforme e abbia una

J

| |

=kr

dipendenza funzionale da del tipo , si può avere quindi:

r J

2 π R

∫ ∫ ∫ (r )dr

JdS= dθ J

0 0

Però questo è un esempio fatto per calcolare la corrente, qualora si dovesse

calcolare in un punto interno l’integrale, esso sarebbe fino a . In tal caso il

r

campo magnetico dipenderebbe dalla dipendenza funzionale di J.