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Consideriamo la seguente successione numerica

u , u …, u (1)

1 2 n

in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni n maggiore di 2,

u = u + u (2)

n n-1 n-2

Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini

successioni ricorrenti.In

precedenti, s’incontrano di frequente in matematica e sono chiamate aggiunta

alla condizione (2), per determinare i termini di una successione ricorrente è indispensabile

conoscerne i primi due; procedendo in tal modo è possibile raggiungere termini di indice

arbitrariamente grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci descritta in precedenza è proprio un

esempio di successione ricorrente in cui u = u = 1 ed i suoi termini, aventi una notevole gamma di

1 2

proprietà e applicazioni, sono detti numeri di Fibonacci.

Applicazione dei numeri di Fibonacci alla matermatica e alle altre aree:

I numeri di Fibonacci hanno una innumerevole gamma di applicazione, soprattutto in matematica ma

anche in altre aree, quali la biologia, l'architettura, l'economia e l'informatica. Ci concentreremo ora

soprattutto sulla matematica, quindi sull'economia e sull'informatica.

MATEMATICA

I numeri di Fibonacci triangolo di Pascal (Binomio di Newton)

Ci accingiamo a determinare una relazione fra i numeri di Fibonacci ed altri numeri, non meno

notevoli, i cosiddetti coefficienti binomiali. Determineremo ora alcune delle leggi che mettono in

relazione questi numeri fra loro. Disponiamo i coefficienti binomiali nel seguente schema triangolare, il

cosiddetto triangolo di Pascal: 0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

cioè 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 diagonali

le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le

ascendenti del triangolo di Pascal. Esempi di tali diagonali sono appunto le linee passanti per i numeri

1, 4, 3 e 1, 5, 6, 1. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente

è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono

formate dal solo numero 1.

Somma di numeri di Fibonacci

Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...Se si sommano due o più numeri consecutivi di

tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di

Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma

( A+B+C+1 = E )

Esempi:

1+1+2+3+5+1 = 13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il

settimo numero della sequenza.

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233

In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è

ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.

Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i

quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma

delle posizioni dei due termini di partenza.

Esempi:

3 +5 =34

2 2

In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la

somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.

8 +13 = 233

2 2

In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati

ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.

Massimo comun divisore dei numeri di Fibonacci

Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina il

massimo comun divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Dividiamo a per b

ottenendo per quoziente q e per resto r. Ovviamente:

a = bq + r e 0<r<b

Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci:

6765 = 610 x 11 + 65

610 = 55 x 11 + 5

55 = 5 x 11

Il fatto che il massimo comun divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero di

Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza.

ECONOMIA:

I numeri di Fibonacci e la borsa di Milano

Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di

Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia

della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con

la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le

onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile

precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.

INFORMATICA:

I numeri di Fibonacci nel processore Pentium

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è

un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel

processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi

ZOOLOGIA

La riproduzione dei conigli

In condizioni ideali una coppia di conigli è in grado di riprodursi già da un mese dopo la nascita.

La femmina è in grado di generare una seconda coppia di conigli già un

mese dopo l’accoppiamento con il maschio.

Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto.

Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai.

Come si vede dal grafico all’inizio dell’esperimento abbiamo

1 coppia di conigli. Dopo un mese rimaniamo sempre con 1

coppia di conigli. Dopo 2 mesi la femmina ha generato

un’altra coppia di conigli, quindi nel recinto ne abbiamo 2. Al

terzo mese la prima coppia ne ha generata un’altra, mentre la

seconda non è stata in grado di procreare, quindi nel recinto

ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro mese le prime

due coppie generano altre due coppie mentre la terza non

procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi

via di mese in mese.

sequenza di Fibonacci.

Bisogna innanzitutto dire che in uno sciame non tutte le api sono uguali: ci sono innanzitutto le api

(femmine) e i fuchi (maschi).

Le femmine sono tutte generate dall’unione dell’ape regina con un fuco e si dividono in operaie e

regine.

Le api regine sono api operaie nutrite con pappa reale ma, diversamente dalle operaie, sono in grado

di produrre uova.

I maschi nascono dalle uova dell ape regina.

Quindi possiamo dire che le femmine hanno 2 genitori: l’ape regina e un fuco, mentre i fuchi hanno un

solo genitore: l’ape regina.

Prendiamo in esame l’albero genealogico di un fuco. 1 fuco ha 1 genitore che ha sua volta ha 2

genitori che a loro volta hanno 3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via.

Le spirali delle conchiglie

In natura diversi tipi di conchiglie (ad esempio quella del Nautilus) hanno una forma a spirale fatta

secondo i numeri di Fibonacci. BOTANICA

La sequenza di Fibonacci in Botanica

La sequenza di Fibonacci si trova in molte piante e fiori. Ne è un esempio l’Achillea ptarmica.

La crescita di questa pianta segue questo schema

qui sopra disegnato.

Ogni ramo impiega un mese prima di potersi

biforcare.

Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo

ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via.

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso sono messi secondo uno schema preciso formato da spirali il cui

numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci.

I pistilli sono disposti secondo questi schemi in modo da essere

uniformemente sparsi su tutta la corolla e non troppo ammassati al

centro.

Nell'immagine a destra abbiamo due esempi.

1° esempio:

Partendo dalla foglia n° 1 in senso orario alla 2 e

successivamente alla 3 compiamo un giro, dalla 3 alla 5

passando per la 4 un secondo giro e infine arrivando

alla foglia n° 6 compiamo in tutto 3 giri. Sempre nel

primo esempio girando in senso antiorario compiamo 3

giri.

2° esempio:

Se giriamo in senso orario compiamo 5 giri: dalla

foglia 1 alla 2 compiamo il primo giro; dalla foglia 3

alla 4 il secondo giorno, con la 5 il terzo, dalla 6 alla 7 il

quarto giro, dall

a 8 alla 1 il quinto giro.

Sempre nel secondo esempio girando in senso

antiorario compiamo 3 giri.

ARCHITETTURA ANTICA

I resti degli antichi templi classici evocano ancora un senso di equilibrio, armonia e perfezione, che ci

incanta con il ritmo delle loro proporzioni. E' il risultato di un'organica concezione estetica che ispirò

ogni espressione artistica della popolazione ellenica.

Purtroppo, nonostante la quantità notevole di opere pervenuteci, molte delle quali anche in ottime

condizioni, conosciamo molto poco della teoria estetica che si trova alla loro base, a causa della

mancanza di una chiara testimonianza grafica o letteraria, e di una spesso superficiale e incompleta

De Architectura

lettura del di Vitruvio, l'unico trattato di architettura pervenutoci dagli antichi.

E’ necessario allargare l’analisi al panorama culturale che si era venuto a creare in Grecia per

comprendere più chiaramente la nascita del concetto di ‘proporzione’ (in greco ¢nalog…a): esso

nacque nel contesto della dottrina matematica, introdotta in Grecia da Pitagora di Samo quando, agli

albori della filosofia occidentale, la visione mitologica incontrava l’interpretazione razionale nella

ricerca del principio unico e universale (¢rcÁ) all’origine del tutto

La civiltà greca classica tentò di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici inerenti

all’universo; in ogni campo di studio ogni individuo aveva un posto unico nella gerarchia di tutti gli

individui. I rapporti gerarchici fra gli individui rispecchiavano i principi matematici, e in particolare la

proporzione divina.

Dallo studio delle leggi numeriche che regolavano l’armonia musicale la scuola pitagorica scoprì

alcuni principi morfologici di carattere generale, che divennero presto i principi compositivi di ogni

tipo di arte, sopra tutte quella che si occupava della costruzione degli edifici sacri. E’ quanto ci

suggerisce l’analisi proporzionale di opere come il Partenone di Ictino (nel campo dell’architettura), o il

Diadumeno di Policleto (che va ad inserirsi nell’ambito della scultura), correlate da una comune

matematica.

intenzione estetica, di natura

Mediante l'analisi della tecnica progettuale e del significato estetico dell’edificio sacro, e mediante la

lettura del trattato di Vitruvio in chiave per così dire ‘pitagorica’, siamo in grado di trovare chiare

indicazioni sulla teoria delle proporzioni che caratterizzò l' architettura greca fino al periodo

ellenistico.

Gli antichi architetti dovevano realizzare la Summetr…a ("accordo delle misure") mediante il ripetersi

di certi rapporti proporzionali privilegiati, che avrebbero prodotto e caratterizzato l'effetto di EÙritm…a

("armonia") tra le lunghezze , le superfici e i volumi dell' edificio, sia nella sua interezza sia nelle sue

tracciati regolatori,

singole parti. Le tecnica compositiva era quella dei delle raffinate costruzioni

quadrato,

geometriche che partivano da una forma iniziale, il per individuare, con semplici proiezioni e

ribaltamenti, tutte le linee principali dell’edificio, nella pianta e negli alzati.

Il fine era sempre quello di conferire agli edifici l'idea di equilibrio e perfezione, di raggiungere

l’Armonia universale, intesa come "unificazione della molteplicità frammista e messa in concordanza

Fr.B

del discordante" (Filolao, 10 DK), ossia come perfetto equilibrio tra l’opposizione dei principi.

E proprio in questo contesto viene a collocarsi il grande uso da parte degli antichi della sezione aurea

nei templi e, più in generale, nell' architettura.

Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di determinare la sezione aurea di un

segmento (v. geometria).

Timeo

Nel Platone sostiene che i tre termini di una proporzione divina - il più grande (la linea intera),

quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - sono "tutti di

necessità gli stessi, e, poichè sono gli stessi, non sono che uno".

In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo, di tutto

l’insieme.

Gli architetti e gli artisti greci facevano grande uso dei rettangoli aurei (v. geometria). Se da un

rettangolo aureo si taglia poi un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi

rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi: ad

esempio il Partenone, sull’Acropoli di Atene.

La piramide di Cheope

Il rapporto base/altezza della Grande Piramide di Cheope serve come modello Qualcuno sostiene che

in realtà la Grande Piramide fu costruita per soddisfare un ideale di mezzo phi (0,809017) che,

moltiplicato per la lunghezza della base, dà l'altezza dello spigolo. La Grande Piramide si discosta

dello 0,15 per cento da questo ideale. Una piramide ideale che si servisse tanto del rapporto di pi-

greco quanto di quello di phi è matematicamente impossibile.Costanti fisse nel rapporto tra le varie

misure della piramide di Cheope sono due numeri molto singolari :

Pi greco=3,141592654 Phi (o sezione aurea)=1,618033989

Qualsiasi saranno le dimensioni l'importante è rispettare le proporzioni:

r = h / (Fx F) (F= Phi)

(h - r)/r =F

(h - r) = (h/F)

h1(altezza del triangolo) = (L x F) / 2

S = radice quadrata ( (L/2)x(3,617) )ricordando che 3,617=1+(Fx F)

L= radice quadrata ( (4x (SxS))/3,617 ) = (p x h) / 2

Perimetro di base = 2 x p x h

h = Perimetro di base / (2 x p)

p = 4 / radice quadrata (F)

F = h1 / (L/2)

Il partenone di Atene

Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla cima di un colle che domina la città di Atene.

Oggi per la maggior parte in rovina, il Partenone era un tempio dedicato alla dea Atena, protettrice

della città, e fu costruito attorno al 440/430 a.C.

La pianta del Partenone mostra che il tempio fu costruito su un rettangolo radice quadrata di 5, ossia

che la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza.

La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata costruita su un rettangolo aureo, in

modo che la larghezza e l'altezza stiano nel rapporto: F:1

Il tempio di Atena a Paestum

Le proprozioni di questo tempio, costruito tra il 510 e il 500 a.C.,sono molto probabilmente ispirate alla

dottrina pitagorea, che in questo periodo andava diffondendosi con grande successo nell’Italia

meridionale.

Le misure degli elementi della trabeazione, per esempio, furono determinate dall'armonica

proporzione (che si basava appunto sulla sezione aurea e che fu una delle tre principali proporzioni

scoperte dalla scuola pitagorea, insieme alla proporzione aritmetica e a quella geometrica), che può

essere graficamente ottenuta partendo dal quadrato ABCD.

GLI EGIZIANI

La stele del re Get Ars sine Scientia nihil est: l’arte senza la Scienza è nulla. La celebre

frase fu pronunciata nel 1399 dal Maestro Giovanni Mignot, architetto

parigino, chiamato a Milano per valutare l’opera della fabbrica del

Duomo. Si accese una disputa con le maestranze locali sulle

proporzioni da dare ai contrafforti in rapporto al tipo di pietra usata, e

nel corso della disputa il Maestro Mignot pronunciò questa celebre

frase, in cui «arte» significa tecnica e «scienza» indica la geometria.

Mignot non intendeva certo affermare nulla di nuovo, si limitava a

ribadire una sapienza custodita da secoli che già eccheggiava

nell’unico frammento dello scultore Policleto che la storia ci ha

restituito: «l’arte si ottiene con molti numeri e badando ai minimi

dettagli».


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in architettura (ciclo unico)
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecniche costruttive e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Ingegneria e Architettura Prof.

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