Tecniche costruttuive - sezione Aurea - Analisi

La sezione aurea

Introduzione

In questo lavoro analizzeremo la rappresentazione della sezione aurea nelle varie aree di applicazione, dalla matematica alle varie forme di arte. Come vedremo, persino la natura, in situazioni anche molto diverse, sembra utilizzare i numeri della successione di Fibonacci, che si succedono nel rapporto aureo.

Il lavoro è articolato nelle seguenti sezioni:

• La sezione aurea e la geometria
• Aritmetica
• Botanica e zoologia
• Architettura antica e rinascimentale
• Scultura
• Pittura

Geometria

Definizione geometrica

Ripartizione di un segmento in due parti, che stanno tra loro come la maggiore (a) sta al segmento intero (1); utilizzando i simboli si ha: 1:a=a:b.

Se AB è il segmento dato, si conduca la perpendicolare ad AB nell’estremo B e si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti infine su AB il segmento AE congruente ad AC. Proveremo che AE è il segmento cercato, cioè che sussiste la proporzione: AB : AE = AE : EB.

Infatti, per il teorema della secante e della tangente (se da un punto si conducono ad una circonferenza una secante e una tangente, il segmento determinato dalla circonferenza sulla tangente è medioproporzionale fra i segmenti determinati sulla secante e aventi un estremo in quel punto) si ha: AD : AB = AB : AC. Da cui scomponendo si ottiene: (AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC.

Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad AE si ha pure: AD – AB = AD – CD = AC = AE AB – AC = AB – AE = EB.

Perciò l’ultima proporzione diventa: AE : AB = EB : AE. Da cui invertendo: AB : AE = AE : EB.

Rettangolo aureo

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:AB=EB:AE.

Triangoli

Triangolo con angoli di misura: 72°, 72°, 36°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti, il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che: AC:BC=BD:DC e dunque: AC:AD=AD:DC.

Triangolo con angolo di misura: 36°, 36°, 108°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti, il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

Pentagono e triangoli in esso contenuti

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Spirale aurea

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

Aritmetica

Presentazione di Fibonacci e della sua sequenza

Biografia di Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa.

In seguito, Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche.

In tutta la sua produzione l’opera più importante è il Liber abaci, comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare, la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti.

La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo, tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste un’intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il Fibonacci Quarterly, periodico matematico dedicato interamente all’aritmetica connessa alla sequenza di Fibonacci.

La serie di Fibonacci

Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due numeri precedenti (0,1,1,2,3,5,8,13,21…). Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza prendendo come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza di Lucas. Quest’ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. Johannes Kepler notò poi che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo.

La serie di Fibonacci come successione ricorrente

Consideriamo la seguente successione numerica u1, u2, ..., un in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni n maggiore di 2, u_n = u_n-1 + u_n-2.

Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, s’incontrano di frequente in matematica e sono chiamate successioni ricorrenti. In aggiunta alla condizione (2), per determinare i termini di una successione ricorrente è indispensabile conoscerne i primi due; procedendo in tal modo è possibile raggiungere termini di indice arbitrariamente grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci descritta in precedenza è proprio un esempio di successione ricorrente in cui u₁ = u₂ = 1 ed i suoi termini, aventi una notevole gamma di proprietà e applicazioni, sono detti numeri di Fibonacci.

Applicazione dei numeri di Fibonacci alla matematica e alle altre aree

I numeri di Fibonacci hanno una innumerevole gamma di applicazioni, soprattutto in matematica ma anche in altre aree, quali la biologia, l'architettura, l'economia e l'informatica. Ci concentreremo ora soprattutto sulla matematica, quindi sull'economia e sull'informatica.

Matematica

I numeri di Fibonacci triangolo di Pascal (Binomio di Newton)

Ci accingiamo a determinare una relazione fra i numeri di Fibonacci ed altri numeri, non meno notevoli, i cosiddetti coefficienti binomiali. Determineremo ora alcune delle leggi che mettono in relazione questi numeri fra loro. Disponiamo i coefficienti binomiali nel seguente schema triangolare, il cosiddetto triangolo di Pascal:

Cioè 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le diagonali ascendenti del triangolo di Pascal. Esempi di tali diagonali sono appunto le linee passanti per i numeri 1, 4, 3 e 1, 5, 6, 1. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo numero 1.

Somma di numeri di Fibonacci

Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G... Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma (A+B+C+1 = E).

Esempi:

• 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.

• 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 1 = 233

In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza. Inoltre, se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza.

Esempi:

• 3² + 5² = 34

In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata in un altro numero di Fibonacci.