Serie Storiche Economiche Teoria + Pratica

DOMANDE D’ESAME DI SERIE STORICHE ECONOMICHE

a cura della Prof. Biancamaria Zavanella

1. SERIE STORICA E PROCESSO STOCASTICO, DEFINIZIONI E RELAZIONI:

Una serie storica è una collezione di numeri reali, che costituisce una parte finita di una realizzazione di un processo

stocastico.

Un processo stocastico {(,)}, dati uno spazio parametrico e uno spazio di probabilità, è definito come una funzione

∈

finita, a valori reali e misurabile in Ω.

Il processo stocastico {(,)}, può essere interpretato in modo duplice:

• , , .

Fissato l’argomento si ottiene una funzione reale della variabile che dipende dal parametro Il processo

().

stocastico viene quindi visto come una famiglia di realizzazioni

• , .

Fissato l’argomento t, si ottiene una funzione della variabile che dipende dal parametro Il processo

stocastico viene quindi visto come una famiglia di variabili casuali.

I processi stocastici possono essere: discreti a parametro discreto, continui a paramentro continuo, discreti a

parametro continuo o continui a parametro discreto (i più usati da noi).

2. PROPRIETÀ DEI PROCESSI STOCASTICI UTILIZZATI NELL’ANALISI DELLE SERIE STORICHE E LORO RUOLO NELLE FASI

DI IDENTIFICAZIONE, STIMA E PREVISIONE:

Stazionarietà:

Il processo stocastico è detto stazionario in senso stretto se tutte le funzioni di distribuzione n-dimensionali, con

finito qualsiasi, rimangono inalterate qualora l’intero insieme di punti , ,..., , sia traslato lungo l’asse dei tempi.

1 2

Essendo un’ipotesi molto restrittiva e difficilmente verificabile, formuliamo la stazionarietà del second’ordine:

Il processo stocastico è detto stazionario del secondo ordine se le funzioni media, varianza e covarianza non

,

dipendono da mentre la covarianza dipende soltanto dalla distanza tra i due tempi di volta in volta considerati.

La stazionarietà serve per poter applicare il teorema di Wold, dare luogo al processo lineare generale, permette

l’esistenza della ergodicità e serve ad identificare il modello e influenzare la previsione.

Invertibilità: (),

L’invertibilità è vista come la possibilità di esprimere la v.c. in funzione delle v.c. passate e con l’aggiunta di una

v.c. W.N., che garantisca la casualità del modello.

L’invertibilità serve a ricostruire la corrispondenza biunivoca tra distribuzione del processo e autocorrelazioni ed è

essenziale per l’utilizzo dei processi stocastici a fini previsivi.

Ergodicità:

Nell’analisi delle serie storiche, ci si trova nella condizione di conoscere una sola realizzazione per ogni t, ossia l’unica

rilevazione che è possibile ottenere su quella particolare variabile nell’istante t.

Nel caso di processi stocastici stazionari, il teorema ergodico permette, di sostituire il calcolo degli stimatori usuali con

l’applicazione di stimatori temporali.

Ad esempio, per la funzione media si ha:

[ ∀,

Dato il processo stocastico { }, con ] = la sequenza è detta ergodica se e solo se:

()

La condizione che garantisce l’ergodicità per media, varianza e autocovarianza di un p.s. stazionario è: → 0

⟹ ()

La convergenza a zero dell’autocorrelazione all’aumentare dell’orizzonte temporale (() → 0 se → ∞, → 0)

permette di affermare che il lasso temporale a disposizione è sufficiente per stimare il modello.

3. PROCESSO WHITE NOISE E PROCESSO LINEARE GENERALE:

Il processo White Noise:

Il più semplice processo stocastico è il processo white noise {}, esso è costituito da una sequenza di variabili casuali:

con media nulla, con varianza finita e costante, fra loro incorrelate e e con funzione di distribuzione di probabilità

∀.

identica

Il processo lineare generale:

La componente , a valor medio nullo, è detta puramente non deterministica, in quanto essa è generata

,

esclusivamente dal processo WN e dalla successione dei pesi pertanto, nota una realizzazione di , non è possibile

determinare univocamente , ossia la varianza dell’errore di previsione è non nulla.

Il processo lineare generale è caratterizzato da:

[] [] ()

= 0 = = .

Le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione dipendono solo dall’intervallo temporale

() .

Per la verifica della stazionarietà è necessario dimostrare che è finita per ogni

La condizione che garantisce la stazionarietà del processo lineare generale è:

4. IL TEOREMA DI WOLD: ,

Ogni processo stocastico stazionario , di valor medio può sempre univocamente decomporsi come:

[ ∀ ,

= + , ] = 0 dove:

,

La componente , di valor medio è detta deterministica, perché genera realizzazioni deterministiche ottenute

come combinazione lineare di onde periodiche elementari. La natura deterministica del processo ne consente la

()

previsione senza errore. le realizzazioni di sono funzioni matematiche del tempo e quindi, perfettamente

prevedibili.

La componente , a valor medio nullo, è detta puramente non deterministica, in quanto essa è generata

esclusivamente dal processo WN e dalla successione dei pesi , pertanto, nota una realizzazione di , non è possibile

determinare univocamente , ossia la varianza dell’errore di previsione è non nulla. Il processo è chiamato

processo lineare generale.

5. FUNZIONI DI AUTOCORRELAZIONE E DI AUTOCORRELAZIONE PARZIALE, LORO USO NELLA FASE DI

IDENTIFICAZIONE:

La funzione di autocorrelazione globale: ()

La funzione di autocorrelazione è definita come il coefficiente di correlazione lineare tra e : =

−

()

( ( (0) ( (), () ∀

Poichè ) = ) = e , ) = il tutto viene semplificato in: =

− − (0)

Le proprietà della funzione di autocorrelazione sono:

(0)

(0) (0)

1. = 1 quando = (0)

() (−) ∀

2. = ∀

3. |()| ≤ 1

La funzione di autocorrelazione è una misura della struttura interna del processo stazionario, per questo assume una

particolare rilevanza nell’ambito della stima della sua parametrizzazione statistica a partire dalla serie storica.

La funzione di autorrelazione parziale:

e

Oltre all’autocorrelazione tra e si può voler studiare la correlazione tra dopo aver rimosso la

+ +

dipendenza lineare tra queste ultime variabili e le loro intermedie. L’autocorrelazione parziale tra e è:

+

̂ ̂

dove: e sono e stimati: modelli di regressione ai m.q. di e

t t+k + +

()

Il calcolo di eseguito tramite la correlazione dei residui richiede alcuni passaggi formalmente complessi. Un modo

più semplice lo considera come coefficiente dell’ultima variabile inserita nel modello:

Consideriamo il modello di regressione, dove di un processo stazionario con media zero viene messa in relazione

+

con le variabili ritardate fino a compresa. Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione di regressione per

+

e facciamo il valore atteso. Dividiamo per la varianza a destra e a sinistra dell’uguale.

+−

Generiamo per = 1,2,...,, un sistema di equazioni che risolveremo con la regola di Cramer (con i determinanti).

La fase di identificazione del modello è condotta sulla funzione di autocorrelazione e autocorrelazione parziale.

Studiando i correlogrammi opportunatamente trasformati e differenziati, si tratta di un processo:

AR(p) se ACF decresce esponenzialmente all’aumentare dei ritardi, PACF si arresta dopo p ritardi

MA(q) se ACF si arresta dopo q ritardi, PACF decresce esponenzialmente all’aumentare dei ritardi

ARMA(p,q) se sia ACF che PACF decrescono esponenzialmente

6. GENESI DEI PROCESSI AR E MA A PARTIRE DAL PROCESSO LINEARE GENERALE: (∞).

Il processo lineare costituisce la rappresentazione a media mobile di ordine infinito e si indica con

Se il processo è invertibile, può essere scritto in funzione del suo passato, tramite la rappresentazione autoregressiva

(∞).

di ordine infinito

L’operatore ritardo trasforma una sequenza in un'altra sequenza che abbia gli stessi valori sfalsati di un periodo e

viene utilizzato per riscrivere le equazioni di regressione in forma compatta.

La rappresentazione autoregressiva è importante a fini previsivi. Infatti un processo non invertibile, non essendo

esprimibile in funzione del suo passato, non potrà essere proiettato verso il futuro.

Non tutti i processi stazionari sono invertibili e non tutti i processi invertibili sono stazionari.

La condizione di invertibilità per un processo sempre stazionario, richiede che le radici dell’equazione della

componente a media mobile siano in valore assoluto maggiori di uno (|| > 1).

La condizione che garantisce la stazionarietà per un processo invertibile richiede che le radici dell’equazione della

componente autoregressiva siano in valore assoluto maggiori di uno (|| > 1).

: ⋯

Processo autoregressivo di ordine = + + + +

−1 −2 −

1 2

: ⋯

Processo a media mobile di ordine = − – − −

−1 −2 −

1 2

Gli ordini e dei processi, indicano il ritardo massimo a cui facciamo risalire la dipendenza di dalla sua

storia/disturbi passati. Al fine di costruire modelli utilizzabili nella pratica, ci si limita ad inserire un numero finito di

parametri. Maggiore è il numero dei parametri nel modello, minore è l’efficienza nella stima dei parametri stessi.

Pertanto, nella costruzione di modelli per serie storiche reali è necessario seguire il criterio di parsimoniosità che

consiste nello scegliere, a parità di condizioni, il modello più semplice, ossia il modello che contiene meno parametri.

7. DUALITÀ TRA I PROCESSI AR E MA:

Dato un processo stocastico stazionario e invertibile AR(p), tramite l’inversione del polinomio ritardo, è possibile

riscriverlo come un processo MA(∞).

Dato un processo stocastico stazionario e invertibile MA(p), tramite l’inversione del polinomio ritardo, è possibile

riscriverlo come un processo AR(∞).

Questa relazione duale tra i processi AR e MA si ritrova anche nelle rispettive funzioni di autocorrelazione e di

autocorrelazione parziale. Infatti, il processo AR è caratterizzato da una funzione di autocorrelazione che decresce

esponenzialmente verso lo zero e da una funzione di autocorrelazione parziale che si annulla improvvisamente, dopo

il ritardo che corrisponde all’ordine del processo, mentre un processo MA presenta una funzione di autocorrelazione

che si annulla dopo il ritardo corrispondente all’ordine del processo, mentre la sua funzione di autocorrelazione

parziale decresce verso lo zero.

8. COSTRUIRE I MOMENTI DEI VARI PROCESSI:

Il processo autoregressivo:

Un processo autoregressivo può essere rappresentato attraverso un modello che definisce in funzione della sua

⋯

storia passata: = + + + +

−1 −2 −

1 2 (),

L'equazione rappresenta un processo dove è il ritardo massimo a cui si fa risalire la dipendenza di dalla sua

storia passata.

Formalizzazione del processo AR(1): = +

−1

1

( ) = 0 In quanto WN e processo lineare generale hanno media 0

( ) = ( ) , ( ) = ( ) = = 0 , ( ) = 2

Ricordando che:

= + = +

E che: dove: ed è possibile continuare infinite volte

1 −1 −1 1 −2 −1

2

( ) = ( ) = (0) = ( ) =

−1 12

1− →

(1) = ( ) = [( + ) ] = ( ) + ( ) = (0) () = (0)

−12

-1 1 −1 −1 1 −1 1 1

1

() (0) 1

() = = =

(0) (0)

=

11 1

= 0 ∀ > 1

Ricordiamo infatti dalla teoria c