Serie Storiche - appunti generali

Serie Storiche - Processo Stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z(t,ω) con t ∈ T e ω ∈ Ω (spazio campionario)

Indice che indica il tempo

• t fissato → t ↦ Z(t,ω) è una variabile casuale
• ω fissato → ω ↦ Z(t,ω) è una traiettoria o realizzazione

→ Serie storiche: singola realizzazione d'un processo stocastico

Processo Stocastico

• Traiettorie (serie storiche)
• Sezioni delle traiettorie (v.c)
• Successione ordinata di v.c

→ Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità → Riproducibile ed estensibile i risultati da una generica realizzazione al processo
2. Stazionarietà → Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi

Stazionarietà

{Z_t1,Z_t2,...,Z_tm} → Insieme di v.c dal processo stocastico Z(t,ω): t=0,±1,±2,...

• Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1,...,Z_tm) = F(Z_t1+k,...,Z_tm+k) ∀ k ∈ ℕ (1)

• Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scritta sopra vale ∀ m ↔ troppo forte come condizione possibile da verificare

Serie Storiche - Processo Stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo:

Indice che indica il tempo

• t fisso → Z_t(t,ω) è una variabile casuale
• ω fisso → Z_ω(t,ω) è una traiettoria o realizzazione

Serie storiche: singola realizzazione di un processo stocastico

Processo stocastico

• Traiettorie (serie storiche)
• Sezioni delle traiettorie (v.c)
• Successione ordinata di v.c.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità → riproducibilità ed estensione ai piuati da una generica realizzazione del processo
2. Stazionarietà → invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2, ..., Z_tm} → insieme di v.c. dal processo stocastico Z_t(ω,t): t=0,±1,±2,...

Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, ..., Z_tm) = F(Z_tk+h, ..., Z_tk+h+m-1) ∀ k ∈ ℕ    (1)

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scritta sopra vale ∀ t/m → troppo forte come condizione possibile da verificare.

• Funzione media:

  M_t = E[Z_t]

• Funzione varianza:

  σ²_t = E[Z_t - M_t]²

• Funzione di autocovarianza:

  γ(t₁, t₂) = E[(Z_t1 - M_t1)(Z_t2 - M_t2)]

  covarianza fra due serie storiche

• Funzione di autocorrelazione:

  ρ(t₁, t₂) = γ(t₁, t₂) / (σ_t1σ_t2)

  correlazione fra due serie storiche

Stazionario in senso debole: se tutti i suoi momenti congiunti (stazionarità in congiunta) fino all'ordine m e j è sono invarianti rispetto a t₀

Stazionario del secondo ordine se la media e cov. costanti.

OSS: la stazionarità in senso stretto implica la stazionarità in senso debole se i momenti fino all'ordine 2 sono finiti

Nel P.S

1. M_t = M
2. E[Z_t²] < ∞, σ² = O²
3. ∀t

1. Dal b) siccome la stazionarietà in senso stretto implica
   • γ(t₁, t₂) = γ(t₁ + k, t₂ + k) = γ_k
   • ρ(t₁, t₂) = ρ(t₁ + k, t₂ + k) = ρ_k

   Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autcov e autocor. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

OSS: un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta è normale

Stazionarità forte ≡ stazionarità debole

Le funzioni di autocovarianza e autocorrelazione

γ_k = cov (z_t, z_t+k) = E(z_t− μ) (z_t+k − μ)

ρ_k = γ_k / γ₀   dove   γ₀ = Var(z_t) = Var(z_t+k)

• Le due funzioni soddisfano queste propr