Serie Storiche - appunti generali

Serie Storiche - Processo Stocastico

Def: Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate da tempo; {Z(t,ω)} con ω ∈ Ω (spazio campionario) e E = famiglia di indici

Indice che indica il tempo:

• t fisso: ζ= ^ t Z (t,ω) è una variabile casuale
• ω fisso: γ ω = ^ Z (t,ω) è una traiettoria o realizzazione

Serie Storiche: Singola realizzazione di un processo stocastico

Processo Stocastico: Traiettorie (serie storiche)

Sezioni dove traiettorie (v.c.) successione ordinata di v.c.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

1. Ergodicità ➔ riproduzione ed estensione i risultati da una generica realizzazione al processo
2. Stazionarietà ➔ invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2, ..., Z_tm} ➔ insieme di v.c dal processo stocastico Z (t,ω); t: t=0, ± t1, ± t2...

• Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F (Z_t1, ..., Z_tm) = F (Z_t1+k, ..., Z_tm+k) ∀ k ∈ N ⁽¹⁾

• Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scritta sopra vale ∀ m ➔ troppo forte come condizione; possibile da verificare

● Funzione media :

M_t = E [Z_t]

● Funzione varianza:

O_t² = E [Z_t - M_t] ²

● Funzione di autocovarianza :

γ (t₁, t₂) = E [Z_t1 - M_t1] [Z_t2 - M_t2]

Covarianza fra due serie storiche

● Funzione di autocorrelazione :

ρ (t₁, t₂) = γ (t₁, t₂) / √^O_t12 √^O_t22

Correlazione fra due serie storiche

● Stazionario in senso debole :

Se tutti i suoi momenti congiunti (stazionarità in congiunti) fino all’ordine m ≤ sono invarianti rispetto a t₀

● Stazionario del secondo ordine se ha media e cov. costanti.

Oss : La stazionarietà in senso stretto implica la stazionarietà in senso debole se i momenti fino all’ordine 2 sono finiti

Nel P.S

1. M_b = M
2. E [Z_t²] < ∞ , O_t² = O²
3. ∀ t

b) Siccome la stazionarietà in senso stretto implica (1) :

γ (t₁, t₂) = γ (t₁ + k, t₂ + k) = ∀k

ρ (t₁, t₂) = ρ (t₁ + k, t₂ + k) = ρ_k

Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autocon e autocor. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

Oss : Un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta é normale ⇒ stazionarietà forte = stazionarietà debole

Funzione di Autocorrelazione Campionaria

• Per un processo gaussiano stazionario e per T grande la distribuzione approssima ad una N, dove
• Per i processi in cui per k > m, approx. di Barlett
• E si ottiene il seguente S.E.
• L'approssimazione di Barlett si usa a testare l'ipotesi che le autocorrelazioni siano nulle
• Per testare un processo white noise:

⚠️ I software plottano le linee per I.C.; se l'istogramma esce vuol dire che è significativamente non nulla

Funzione di Autocorrelazione Parziale

• Si trova tramite metodo di Durbin (no determinanti) supponendo un processo sottostante white noise: quindi metodo di verifica uguale

AR(2)

AR(2): [1 - ϕ₁ B - ϕ₂ B²] Z_t = a_t

Z_t = ϕ₁ Z_t-1 + ϕ₂ Z_t-2 + a_t

Invertibilità

AR(2) risulta sempre invertibili, è stazionario se:

• |ϕ₂ + ϕ₁| < 1
• |ϕ₂ - ϕ₁| < 1
• |ϕ₂| < 1
• |d₂| < 1

Momenti

E[Z_t] = 0

Var: γ₀ = ϕ₁ γ₁ + ϕ₂ γ₂ + σ²_a

Autocov: γ_k = ϕ₁ γ_k-2 + ϕ₂ γ_k-2

Autocorr: ρ_k = ϕ₁ ρ_k-1 + ϕ₂ ρ_k-2

- k = 1

ρ₁ = ϕ₁ + ϕ₂ ρ₁ ⇒ ρ₁ = ϕ₁ / (1 - ϕ₂)

- k = 2

ρ₂ = ϕ₁ ρ₁ + ϕ₂ ⇒ ρ₂ = (ϕ₁² + ϕ₂ - ϕ₂²) / (1 - ϕ₂)

Oss.

1) Autocorrelazione decresce in maniera esponenziale per radici reali e in maniera sinusoide per radici complesse

2) Autocor. parziale si annulla dopo il 2° lag.

• RAPPRESENTAZIONE DI UN MODELLO MA IN ARMA(1,1):

Z_t= Ψ(B)a_t ⇨ dove Ψ(B) = (1-Θ₁B)/(1-ΦB)a_t

• DA CUI NE RICAVO:

Ψ_s = Φ₁^s-1(Φ₁ - Θ₁)

• AUTOCORREZIONE E AUTOCOVARIANZA
• MOLTIPLICO IL MODELLO ARMA PER Z_t-k E CON IL VALORE ATTESO ARRIVIAMO A:

γ_k = Φ₁γ_k-1 + ε[_t-k a_t] - Θ ε[_t-k a_t+1]

• k = 0

γ₀ = Φ₁γ₁ + σ_a² - Θ₁(Φ₁ - Θ₁)σ_a²

• k = 1

γ₁ = Φ₁γ₀ - Θ₁σ_a²

DA CUI γ₀ = ((1+Θ₁² - 2Θ₁Φ₁)σ_a²)/(1-Φ₁²)

γ₁ = ((Φ₁ - Θ₁)(1-Φ₁Θ₁))/(1-Φ₁²))σ_a²

• k ≥ 2

γ_k = Φ₁γ_k-1

ρ_k =

• (Φ₁ - Θ₁)(1-Φ₁Θ₁)/σ_a(1+Θ₁² - 2 Φ₁Θ₁) for k=1
• Φ₁ρ_k-1 for k ≥ 2

• AUTOCORREZIONE PARZIALE
• HA ANDAMENTO SMORZATO, MA NON CALCOLABILE IN QUANTO TROPPO COMPLICATO

Varianza e Autocovarianza Moduli Arima

• Un processo stazionario in media può non essere stazionario in varianza e cov.
• Un processo non stazionario in media è sicuramente non stazionario in varianza.

Caso: IMA(1,1), riferimento t₀ per t > t₀

Z_t = Z_t0 + a_t + (1-θ)a_t-1 + ... + (1-θ)a_t0+1 - θa_t0

Z_t-k = Z_t0 + a_t-k + (1-θ)a_t-k-1 + ... + (1-θ)a_t0+1 - θa_t0

Quindi:

• Var(Z_t) = [1 + (t-t₀-1)(1-θ)²] σ_a²
• Var(Z_t-k) = [1 + (t-t₀-k-1)(1-θ)²] σ_a²
• cov(Z_t-k, Z_t) = [1-θ+(t-t₀-k-1)(1-θ)²] σ_a²
• corr(Z_t-k, Z_t) = [cov(Z_t-k, Z_t)] / [√Var(Z_t-k) √Var(Z_t)]

Osservazioni:

• La varianza del processo Arima dipende da t e Var(Z_t) ≠ Var(Z_t-k) se k ≠ 0
• La Var(Z_t) è illimitata se t → ∞
• cov e corr dipendono da t ≠ non sono invarianti rispetto alla traslazione su t
• Se t₀ ≫ k, corr(Z_t-k, Z_t) ≈ 1

Nel caso in cui la non stazionarietà in varianza e covarianza dipenda solo dalla non stazionarietà in media, possiamo rifarci ad un modello stazionario in covarianza con la diff. appropriata e dunque determinando l'andamento del processo sulla base dei parametri AR e MA φ, θ e dalla varianza del white noise.