Serie numeriche, il resto di una serie e il criterio di Cauchy

Analisi 2

Appunti

Serie Numeriche

• Resto di una serie
• Criterio generale di convergenza di Cauchy

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Serie Numeriche

• Resto di una serie
• Criterio generale di convergenza di Cauchy

Resto di una serie

DEFINIZIONE

Data la serie

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = ⁺∑_n=1a_n,

il resto di ordine k, o resto k-esimo, è la serie che si ottiene da quella data sopprimendo i primi k termini:

a_k+1 + a_k+2 + a_k+3 + ... = ⁺∑_n=k+1a_n.

Esempio

Consideriamo la serie:

1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² + ... = ⁺∑_n=11/n² + 1.

Se sopprimiamo i primi 8 termini, otteniamo la serie:

1/9² + 1/10² + 1/11² + ... = ⁺∑_n=91/n² + 1,

che è il resto ottavo o di ordine otto.

Criterio generale di convergenza

TEOREMA

Criterio generale di convergenza o di Cauchy

La serie ⁺∑_n=1a_n è convergente se e solo se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0, esiste un n̅ ∈ ℕ tale che, per ogni n > n̅ e qualunque sia k ∈ ℕ, si ha:

|r_n,k| < ε, cioè |a_n+1 + a_n+2 + ... + a_n+k| < ε.

Condizione necessaria di convergenza

Se una serie è convergente, il suo termine generale a_n tende a 0 per n → +∞:

lim_n→+∞a_n = 0.