Serie di Fourier

J J

Se la funzione è di periodo si ha

= 2

=

J

• Per calcolare si moltiplicano ambo i membri per e si integra

sin

J

A

= + () + ()

J J J

B

=0 =0 = 0 ≠

=

Þ

= + + =

J J

Se la funzione è di periodo si ha

= 2

=

J

Data una funzione si definisce sviluppo di Fourier la serie trigonometrica

() −

s

2

A

2 2

*

= + cos + sin

s , ,

2

,BK

Definizioni ®

Sia si dice continua a tratti se è continua tranne al più in un numero finito di

, ,

§ punti e ha finito il limite destro e sinistro

, … ,

K j i

lim = ( )

j

x

®

k k w J

lim = ( )

j

y

®

k k w

si dice regolare a tratti se è continua a tratti, derivabile in tranne in un numero finito

,

§ di punti e è limitata

′

è regolare a tratti in se è regolare a tratti in ogni intervallo

,

§

DISUGUAGLIANZA DI BESSEL

®

Sia una funzione periodica di periodo limitata ed integrabile. Se è la somma parziale

: 2,

s

n-esima della serie di Fourier di si ha

,

iI I I I

1 1 2 1

T T T

() ( − ) = − +

s s s

JI JI JI JI

s

I *T

1 ,T ,T

T

= − + ( + )

2

JI ,BK

ed inoltre s I

*T

1

,T ,T T

() + ( + ) ≤

2 JI

,BK

Dimostrazione

Si può osservare che l’espressione è conseguenza della Infatti, poiché l’integrale a primo

() (1).

membro della è non negativo, risulta

(1) ∀ ∈ s

I *T

1 ,T ,T

T

≥ + ( + )

2

JI ,BK

®

da cui passando al limite per segue l’espressione poiché la serie è a termini positivi e

∞, (2),

dunque regolare. 3

Dimostriamo la () s

I I

1 1 *

= () + ( cos + sin =

s , ,

2

JI JI ,BK

s

I I

1

*

= () + () ( cos + sin ) =

, ,

2

JI JI ,BK

s I I

*T

, ,

= + cos + sin =

2

JI JI

,BK s

*T

,T ,T

= + ( + )

2 ,BK

Þ = + ( + )

J B T

s

I I

1 1 *

sT

= + ( cos + sin =

, ,

2

JI JI ,BK T

s s

I *T

1

= + ( cos + sin ) + cos + sin =

* , , , ,

4

JI ,BK ,BK T

s s

I I I

*T

1 1

*

= + ( cos + sin ) + cos + sin =

, , , ,

4

JI JI JI

,BK ,BK

(essendo il secondo integrale uguale a zero)

s s s

I I I

*T

1 1 2

,T ,T

T T

= 2 + + + cos sin

, €

4

JI JI JI

,BK ,BK ,,€BK

s s

I I

2 2

+ cos cos + sin sin

, € , €

JI JI

,,€BK (,•€) ,,€BK ,•€

(poiché gli ultimi 3 termini sono nulli)

s s s

*T *T

1 1

,T ,T ,T ,T

= + + = ( + )

2 2

,BK ,BK ,BK

Þ = + ( + )

J B

Quindi, in conclusione 4

iI I I I

1 1 2 1

T T T

( − ) = − + =

s s s

JI JI JI JI

s s

I *T *T

1

,T ,T ,T ,T

T

= − 2 + ( + ) + + + =

2 2

JI ,BK ,BK

= − + ( + )

J B

Conseguenze

1. s

I I *T

1 1 ,T ,T

T T

( − ) = − + +

s

2

JI JI ,BK

Se converge uniformemente a

s

Þ UGUAGLIANZA DI PARSEVAL s I

*T

1

,T ,T T

+ + =

2 JI

,BK

2. s I

*T

1

,T ,T T

+ + ≤

2 JI

,BK

somma infinita

convergente ® ®

Þ

e sono termini di una serie convergente (implica)

∞

, , ® ®

∞

• Se è integrabile

I

cos = 0

®

A JI

I

sin = 0

®

A JI

Dimostriamo le uguaglianze precedentemente definite

(= 0) 5

TEOREMA DI CONVERGENZA PUNTUALE

Sia una funzione periodica di periodo regolare a tratti su Per ogni la serie di Fourier

2, . ∈

di converge a

1 i J

[ + ]

2

cioè alla media fra il limite destro e il limite sinistro di in In particolare la serie di Fourier di

.

converge a nei punti in cui è continua.

()

Consideriamo i seguenti lemmi, che saranno importanti nel corso della dimostrazione

‰

‡ˆs (si )k

K s

1. + = Š

,BK ‰

T T‡ˆs ( k)

Š

‰ ‰

‡ˆs si ‹ ‡ˆs si ‹

* I

K K K

Š Š

2. = =

‰ ‰

JI *

I I T

T ‡ˆs ‹ T ‡ˆs ‹

Š Š

Infatti 1

sin + *

* *

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 = + cos + ⋯ + cos = + sin +. . . + sin = =

1

2 2 2 2

2 sin JI

JI JI

2

Dimostrazione

Indichiamo con la somma parziale n-esima della serie trigonometrica di Fourier. Si ha

s s

*

() = + +

s , ,

2 ,BK

Considerando i valori di , , e sostituendo si ottiene

* , ,

s

I I I

1 1 1

= + + =

2

JI JI JI

,BK s

I

1 1

= () + + () =

2

JI ,BK s

I

1 1

= () + ( − )

2

JI ,BK

®

Si effettua un cambiamento di variabili = − = +

s

IJk

1 1

= ( + ) + ()

2

JIJk ,BK

6

Sfruttando il lemma 1.

+

() = +

J

Sfruttando il lemma 2. i J

+

− =

s 2

1 1

+ +

* I

1 1

2 2

= + + +

2 2

JI *

2 2

1 1

+ +

* I

1 1

2 2

J i

− − =

2 2

JI *

2 2

I *

i J

1 + − 1 1 + − 1

= sin + + sin +

2 2

2 2

* JI

2 2

Poniamo ora i

+ − ( ) 0 < ≤

2 2

= 0 = 0

J

+ − ( ) − ≤ < 0

2 2

Essendo regolare a tratti, si ha che

′( + ) i

lim = lim = ′( )

x x

® ®

‹ * ‹ * 2

′( + ) J

lim = lim = ′( )

y y

® ®

‹ * ‹ * 2

i J

dove e indicano rispettivamente la derivata destra e sinistra della funzione in Da

′( ) ′( ) .

ciò si deduca che è continua a tratti in e quindi integrabile e limitata. Dalle condizioni

– ,

sopra definite si ottiene poi I

i J

+ 1 1

&minus