vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Esercizi sulle serie di Fourier
1. Sia data la funzione
f(x) = x
x ∈ [-4,4]
- Disegnare il prolungamento.
- Scrivere la serie di Fourier di f.
- Studiare la convergenza puntuale e uniforme.
- Calcolare le somme della serie.
Svolgimento
-
Prolungamento (periodica di periodo 8)
La funzione è modulata, ponendo f(-x) = -f(x).
Si estende per periodicità.
La funzione è periodica di periodo T=8 ed è dispari, quindi
-
am = 0. I coefficienti bm sono stati calcolati da:
bm = 8/T ∫-44 f(x)sen mπx/T dx = 4/T ∫-44 f(x)sen mπx/T dx
= 4/8 x sen mπx dx
= 1/2 [ - x cos mπ/T x ]
= -8/mπ (-1)m
La serie di Fourier di f è
∑n=1∞ bm sen mπx/4
f(x) = {
x se x ∈ (-4,4)
0 se x = ±4
La convergenza è uniforme in ogni intervallo [a,b] contenuto in (-4,4).
(2o esercizi serie Fourier)
page 2
- Delle convergenze puntuale per x = 2
bm sin(2m) = cos π/m = 2/m
da cui ∑m=0∞ ... sin mπ = π-π/4
□
- Sia data la funzione
f(x)=|x+1| , x ∈ [-π,π]
A) Disegnare il proseguimento per periodicità
diagram
Notiamo che la funzione è continua e pari.
B) Costruzione serie di Fourier di f.
am = 0 essendo pari, la serie risulta del tipo
a0 + ∑m=0∞ am cos mx.
Determiniamo i coeff.:
a0 = 1/2π ∫-ππ f(x) dx = 2/π ∫0π |x+| dx = 2/π ∫0π x dx = π.
am = 1/π ∫0π f(x) cos mx dx = 2/π ∫0π x cos mx dx = = [π x] π cos mx|0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
