Serie Analisi I

Serie geometriche

La serie geometrica è del tipo ∑_m=0^∞ q^m, q < ℝ

S_m = 1 + q + q² + ... + q^m = 〈 − q^m+1〉/(1-q) se q ≠ 1

m + 1       se q = 1

〈 1/(1-q) se |q| < 1 + inf se q > = 1

non esiste se q < = -1

∑_m=0^∞ q^m è convergente (con somma 1/(1-q) se |q| < 1

divergente se q > 1

indeterminata se q < = -1

Esempio

∑_m=0^∞ (^1/2)^m converge (essendo ^1/2 < 1) e la somma è 1/(1-^1/2) = 2

Serie di Mengoli

La serie ∑_m=1^∞ 1/[m(m+1)] è detta serie di Mengoli. Parte da 1, perciò in 0 non è definita

a_m = 1/[m(m+1)] = 1/m - 1/(m+1)

S_m = 1 ^{− 1/₂} + ^{1/₂ − 1/₃} + ^{1/₃ − 1/₄} + ... + ^{1/_m − 1/(m+1)} = 1 - 1/(m+1)

lim_{m → ∞} S_m = lim_{m → ∞} [1 - 1/(m+1)] = 1 ⇒ La serie ∑_m=1^∞ 1/[m(m+1)] converge e la somma è 1.

La serie di Mengoli è il più semplice esempio di serie telescopica.

Serie geometriche

La serie geometrica è del tipo ∑_m=0^∞ q^m, q∈R

S_m = 1 + q + q² + ... + q^m = ^{1 - qm+1}/_{1 - q} se q ≠ 1

↳ somme parziali m +1 se q = 1

lim_{m → +∞} S_m = ¹/_{1 - q} se |q| < 1 +∞ se q ≥ 1 non esiste se q ≤ -1

∑_m=0^∞ q^m è ↳ convergente ^{con somma 1}/_{1 - q} se |q| < 1↳ divergente se q ≥ 1↳ indeterminata se q ≤ -1

Esempio

∑_m=0^∞ (¹/₂)^m converge (essendo ¹/₂<1) e la somma è ¹/_{1 - ½} = 2

Serie di Mengoli

La serie ^∞_m=1 ¹/_m(m+1) è detta serie di Mengoli. Parte da 1, perché in 0 non è definita

a_m = ¹/_m(m+1) = ¹/_m - ¹/_m+1

S_m = 1 + ½ + &frac13; + ¼ + ... + ¹/_m + ¹/_m+1 == 1 - ¹/_m+1

lim_{m → +∞} S_m = lim_{m → +∞} [1 - ¹/_m+1] = 1 → la serie ^∞_n=1 ¹/_m(m-1) converge e la somma è 1.

La serie di Mengoli è il più semplice esempio di serie telescopica.

Un altro esempio è la serie ∑_m ln(1 + ¹/_m)

a_m = ln(1 + ¹/_m) = ln(^m+1/_m) = ln(m+1) - ln(m)

S_m = ln(2) - ln(1) + ln(3) - ln(2) + ln(4) - ln(3) + ... + ln(m+1) - ln(m) → → ∑_m=1^∞ ln(1 + ¹/_m) diverge!

Condizione necessaria affinché una serie converga

E' che il termine generale a_m sia infinitesimo (ovvero a_m→0 per m→+∞)

Criterio del confronto

Supponiamo che 0 ≤ a_n ≤ b_m definitivamente. Allora valgono le seguenti implicazioni:

1. Σ b_m converge ⇒ Σ a_m converge
2. Σ a_m diverge ⇒ Σ b_m diverge

Serie armoniche generalizzate

Σ_{m = 1}^{∞ 1}⁄_m^p converge se p > 1

Diverge se p ≤ 1

Σ_{m = 2}^{∞ 1}⁄_{m^p(log m)^p} conv. se p > 1 o p = 1 e b > 1

Div. se p < 1 o p = 1 e b ≤ 1

Esempio 3

Studiare il carattere della serie Σ_{m = 1}^{∞ (cos m)}⁄_m ²

0 ≤ ( ^{cos m}⁄_m )² ≤ ¹⁄_m² per ogni m >> 1

Σ_{m = 1}¹⁄_m² converge, dunque il criterio del confronto ci assicura che anche Σ_{m = 1}&sup>(cos m)²⁄_m ² converge

Esempio 4

Studiare il carattere della serie Σ_{m = 1}^{∞ 1}⁄_{m log m}

0 ≤ ¹⁄_{log m} < ¹⁄_m² definitivamente

log m > 2 definitivamente quindi m log m > m² definitivamente

Σ₁⁄_m² conv. ⇒ Σ_{m = 1}^{∞ 1}⁄_{m log m} conv.

Criterio della radice

Sia a_m > 0 definitivamente e supponiamo che lim_{m → +∞} ^m√a_m = l

• Se l < 1 allora Σ a_m converge
• Se l > 1 allora Σ a_m diverge
• Se l = 1 tutto è possibile (bisogna cambiare criterio)

Esempio 1

Studiare il carattere della serie Σ_n=2 1 / (log m)^m/2

lim_{m → +∞} ^m√a_m = lim_{m → +∞} √₁/(log m)^m/2 = lim_{m → +∞} [log m]^-p/2 = lim_{m → +∞} (log m)^1/2

= lim_{m → +∞} 1 / √log m = 0 < 1 ⇒ la serie converge

Esempio 2

Studiare il carattere della serie Σ_m=1 1 / m² |m+1| / mⁿ

lim_{m → +∞} ^m√a_m = lim_{m → +∞} √₁/m (|m+1| / m)^1/2 = 1/2 |m+1| / m

= 1/2 = l > 1 ⇒ la serie diverge a +∞

N.B. Può essere utile ricordare che lim_{m → +∞} ^m√m! = +∞ e lim_{m → +∞} ^m√m / m! = 1 / l

Criterio del rapporto

Siano _m=0⁼a_m e _m=0⁼b_m due serie numeriche convergenti e sia K∈R. Allora:

1. _m=0⁼(a_m + b_m) = _m=0⁼a_m + _m=0⁼b_m
2. _m=0⁼Ka_m = K_m=0⁼a_m

NB: Se _m=0⁼a_m converge anche _m=0⁼Ka_m converge (stessa cosa per la divergenza).

Una serie _m=0⁼a_m a termini definitivamente non negativi (cioè con a_m>0 definitivamente) converge o diverge a +∞; non può essere indeterminata!

Esempio

_m=0^{=m2 + 3-mn2 - 5} M > 0 definitivamente, quindi la serie converge o diverge a +∞.

lim _m→+∞ (m² + 3^{-mn2 - 5}) = 1 ⇒ la serie non converge

Criterio del rapporto

Sia a_m > 0 definitivamente e supponiamo che lim _{m→+∞ m+1}a_m = λ

• Se λ < 1 allora _m=0⁼a_m converge
• Se λ > 1 allora _m=0⁼a_m diverge
• Se λ = 1 tutto è possibile (bisogna cambiare criterio)

Esempio 1

Studiare il carattere della serie: _m=0 ²⁰¹⁵a_m^-20

lim _m→+∞ a^m+1 _m a_m = lim _m→+∞ (m+1)²⁰¹⁵ / 3^m = lim _m→+∞ (m+1)²⁰¹⁵ / 3³m

= lim _m→+∞ (m+1)²⁰¹⁵ / 3^m+1 / (m+1)²⁰¹⁵= lim _m→+∞ 1/3 (m+1)²⁰¹⁵ / n²⁰¹⁵ = 1

/31/3

Esempio 2

Studiare il carattere della serie ^∞∑_m=0 m! / m^m

lim_m→∞ a_m+1 / a_m = lim_m→∞ (m+1)! / (m+1)^m+1× m! / m^m = lim_m→∞ m^m m^m / (m+1) aⁿ == lim_m→∞ (m / m+1)^m = 1/e < 1 ⇒ la serie converge

Limite notevole

lim_m→∞ (1+1/m)^m = e

Esempio 3

Studiare il carattere della serie ^∞∑_m=0 (2m)! / 2^2mm!

lim_m→∞ a_m+1 / a_m = lim_m→∞ (m+2) / 2^m+2(2m+1)! / (2^2mm!) = lim_m→∞ (2^m+1 +1) / (2^mm!)= lim_m→∞ (2m+1) = +∞ > 1 ⇒ la serie diverge a +∞

NB: se il risultato del limite è 1, il criterio del rapporto non è conclusivo, cambia criterio!

Serie a termini di segno variabile

Assoluta convergenza

Una serie ∑a_n si dice assolutamente convergente se converge la serie ∑|a_n|.

Teorema: Se la serie ∑a_n converge assolutamente, allora converge.

N.B. L'implicazione inversa non è valida.

Esempio 1:

Studiare il carattere della serie ∑_m=1^{∞ Sin(m!)}⁄_m⁴

|Sin(m!)| / m⁴ ≤ 1/m⁴ → ∑_m=1^∞ Sin(m!) / m⁴ converge per confronto con ∑_m=1^∞ 1/m⁴

Criterio del confronto

0 ≤ |Sin(m!)| / m⁴ ≤ 1/m⁴ → ∑_m=1^∞ |Sin(m!)| / m⁴ converge → ∑_m=1^∞ Sin(m!) / m⁴ converge

Assoluta convergenza

Esempio 2:

Studiare il carattere della serie ∑_n=1^∞ (-1)^{n m2 + 3}⁄_{m⁴ + 2m}

|^{(-1)m (m2 + 3)}⁄_{m⁴ + 2m}| ≈ 1/m² → ∑_m=1^∞ |(-1)^m (m² + 3) / (m⁴ + 2m)| converge → ∑₁^∞ (m² + 3) / (m⁴ + 2m) converge

Criterio del confronto asintotico

Assoluta convergenza

Esempio 3:

Studiare il carattere della serie ∑_m=1 (-1)^m (m² + 3) / (m³ + 2·√m)

|(-1)^m m² + 3 / m³ + 2·√m| ~ m² + 3 / m^3/2 ~ 1 / m^1/2 ⇒ ∑_m=1 (-1)^m m² + 3 / m^3/2 non converge quindi ∑_m=1 (-1)^m m² + 3 / m³ + 2·√m non converge assolutamente

Criterio di Leibniz

Sia {a_n} una successione e supponiamo che:

1. a_m > 0 definitivamente
2. a_m → 0 per m → ∞
3. a_m + 1 ≤ a_m definitivamente → sia debolmente decrescente

Allora la serie ∑_m=0 (-1)^ma_m è convergente

Esempio 1

Studiare il carattere della serie ∑_m=0 (-1)^m1/m¹

a_m = 1 / m¹ è positivo (essendo positivo m) e infinitesimo

Inoltre a_m è decrescente (essendo m. crescente)

La serie dunque converge per il criterio di Leibniz

Esempio 2

Studiare il carattere della serie ∑_n=1 (-1)^m m - 1 / m² + m

a_m = m - 1 / m² + m è definitivamente positivo (rapporto di quantità positive)

Ed infinitesimo (grado denominatore > grado num)

b_m ≈ 1/m quindi la serie non conv. assolutamente

a_m + 1 + a_m ⇒ m / (m+1)(m+2) ≤ m - 1 / m(m+1) ⇒ m·m ≤ (m-1)(m+2)⇒ m > 2 ⇒ e è definit. decrescente

⇒ La serie converge per il criterio di Leibniz