Segnali e Sistemi (Riassunto Teoria)

Riassunto Dispensa Segnali

• Segnali a tempo continuo x : [t_a, t_b]
• Segnali a tempo discreto x : [n_a, n_b]

Energia di un segnale

E_[t1,t2]

Potenza di un segnale

• p_[t1,t2]
• p_[n1,n2]

Energia e potenza su intervallo infinito

• Limiti energia
• X = Y ⇔ X^*Y = 0

Disuguaglianza Cauchy Schwarz

L²

Traslazioni temporali

Cambio di scala per α reale

• Grafico allungato per 0 < α < 1

Trasformazione in generale

(Formula generale)

Segnale pari

• Segnale dispari
• Parte pari di un segnale X(t)

X(t) =

Simmetria reale

Simmetria immaginario puro

• SEGNALE CON SIMMETRIA HERMITIANA, x(t)=x^*(-t)
• SEGNALE CON SIMMETRIA ANTIHERMITIANA x_a(t)=-x^*(-t)
• SEGNALE CONTINUO PERIODICO DI PERIODO T: x(t+T)=x(t) T>0
• PERIODO FONDAMENTALE DI UN SEGNALE CONTINUO: piu` piccolo T>0 per cui

x(t)=x(t+T) T _x x(t) X _e(w) _-π $ _π SEGNALE DISCRETO PERIODICO PERIODO N: x(n+N)=x(n)

• PERIODO FONDAMENTALE N DI UN SEGNALE DISCRETO: piu` piccolo N per cui vale

x[n] == x[n+N] per ω == 0 ? w _₀ SOMMA SEGNALE DISCRETI PERIODICA: x_s(n) prodotto di periodo n, m.c.m PerioD > T_s = L.c.m. di T e T ₁

ENERGIA E_T sul periodo di segnale il periodo di T periodo T

₀ ^T P 12 | x(t) | _per x(t) x_a(t)^*

[ ] Definizione analoga nel caso discreto

POTENZA SUL PERIODO DI SEGNALI PERIODICO DI PERIODO T

_| 0 _T | _P

Definizione analoga nel caso di simmetria

RISOLUZIONE PERIODICA DI PERIODO DI T

• SEGNALE CONVELGO | x(t)
• x_s(t)
• | x(t) = _{c f} per +∞

_{| |}

• SEGNALE X(t) HA SUPPORTO LIMITATO: ∃arbitraryi in ogni sistema tale che tale il perpetuante

RISOLUZIONE PERIODICA DI SEGNALE A SUPPIDO LIMIT: ∃ arbitraryi in [ ∫ _ _all supporre che x(-kt) ]

SEGNALE ESPONENZIALI REALI x(t) = _cj e^jw₀t SEGNALE ESPONENZIALI COMPLESSI x^***(t) SEGNALE SINUSOIDALI: x (t)=A cos (w₀t + φ)

e^{j _wt + φ}=A ^{ej _(wt+φ)}

Conversione armoniche: completee relazioni armonica

ESPONENZIALI COMPLEXI IN RELAZIONI ARMONICHE ^{| φ_k(t)=j ( |I ₀)} con | fot CAD _{^φ k ⁰}7 k=Ez

x(t), si dice funzione di autocorrelazione

_-∞∫^+∞ x(t) x(t+τ) dt

Autocorrelazione è pari

Analogia concetti tempo discreto

Sistema LTI al tempo discreto:

y[n] = Σ_k=0^+∞ x[k]h[n-k]

Risposta impulsiva sistema LTI

Σ_k=0^+∞ αₖ x[n-k]

LTI, combinazione lineare di impulsi traslati come ingesso

Convoluzione di due segnali:

h[n], Σ_m=-∞^+∞ x[m] h[n-m]

Proprietà convoluzione

Commutativa (x * y = y * x)

Sistema LTI al tempo continuo

z(t) = Σ_k=1^N αₖ h(t-tₖ)

Convoluzione di due segnali a tempo continuo

h(t) * x(t) = x(t) * h(t)

Proprietà convoluzione a tempo continuo: commutativa, associativa

Simmetrie convoluzione (tempo discreto e continuo)

Convoluzioni stanchi:

Tempo discreto: Σ

Tempo continuo: Σ statico

C_k = b_k = 1/π Sen (kω₁ T₂) per k ≠ 0, C₀ = 2T₂/T con T = 2T₁ T₂ y₁ (t) è il trend

CONVOLUZIONE PERIODICA

x,y periodica di periodo T con coeff. a_k di Fourier f_xy c_k = b_k = 1/T * ∫ x(t) y(t - t) dt (convoluzione per)

int₀^t x(y)d(y-t) con t ∈ [0,t] poi è stesso per periodici

trasformazione di Fourier: x_k = a_k T₂

TRASFORMATA IN FREQUENZA

x(t) periodica di periodo T con coefficiente di Fourier f_x : x_k :

c_k [ikus₁] _yx per T₂ = ZT ⟹ y per coefficiente (Dilatazione Fourier)

energia per periodo T _t ^T+T -> ^T

energia media = 1/2π (∑) -> pre moltiplicato e stabile

FILTRI

• FREQUENCY - SHAPING FILTERS

FILTRO DERIVATORE y(t) = k(t) = dx(t)/dt

Trasformata Fourier a Tempo Continuo

x(t) assolutamente integrabile, Trasformata Fourier di x è:

X(ω) = ∫_-∞^+∞ x(t)e^-jωtdt

Teorema Inversione

x(t) = 1/2π ∫_-∞^+∞ X(ω)e^jωtdω se g(t)=

Condizioni Dirichlet

• x su un intervallo finito ha un numero finito di discontinuità di 1^o specie o viene
• x mancante di discontinuità
• x ha un numero finito differenzial
• x in un intervallo finito è differenziabile eccezz al più in un numero finito di punti dove esistono derivata

Trasformata Fourier e Risposta in Frequenza

• Sistema LTI BIBO stabile allora ∫_-∞^+∞ |h(t)|dt < ∞, quindi h ammesso trasformata Fourier H che è la risposta in frequenza

Trasformate Notevoli (1)

• δ(t) ↔ 1
• e^jω₀t ↔ 2πδ(ω - ω₀)
• sen (ω₀t) ↔ π/j [δ(ω - ω₀) - δ(ω + ω₀)]
• cos (ω₀t) ↔ π [δ(ω - ω₀) + δ(ω + ω₀)]
• ∑_k=-∞^+∞ δ(t-kT) ↔ 2π/T ∑_k=-∞^+∞ δ(ω-kω₀)

Proprietà (1)

• x(t-t₀) ↔ e^-jwω₀X(jω)
• x(at) ↔ 1/|a| X(jω/a), a ≠ 0
• x(t) reale ↔ X*(-jω) = X(jω)

|k| + ω_A = h

X_r(jw) ha termini del tipo ƒ(w + k + h) se K < 0, ƒ(w + K - h) se K > 0

X_c(t) ⟶ X_r(jw)

segnale ricostruito

TRASFORMATA ZETA BILATERA

Trasformata Zeta bilatera segnale x(n)

X(z) = ∑_n=-∞^+∞ x(n)z^-n

REGIONE DI CONVERGENZA

Insieme degli z per cui ∑x(n)z^-n converge

PROPRIETÀ ROC

ROC è sempre intersezione di un intorno di z = 0 e di un intorno di z = ∞. Possibili forme:

• ROC contiene cerchio unitario ⇒ X(e^jω) = ∑ x(n)e^-jωn

TRASFORMATA ZETA E TRASFORMATA FOURIER TEMPO DISCRETO

z = e^jω, X(z) = ∑ x(n)z^-n, X(e^jω) = ∑ x(n)e^-jωn

TRASFORMATE NOTEVO

1. u(n) → 1_|z|>1, |z| > 1
2. δ(n-n₀) → z^-n0, tutti z tranne z=0
3. δ(n) → 1
4. 0 < a < b < 1 → 1 < |z| < b/a, b < |z| < 4/b

TRASFORMATA INVERSA

x(n) = rⁿe^jω0-1/2π∫ X(re^jo)e^jonde

PROPRIETÀ BILATERA

• -x(n-n₀) → z^-n0X(z), R
• -x(-n) → X(1/z)
• -x reale ↔ X(z^-1)

TRASFORMATA ZETA UNILATERA

X_U(z) = ∑_n=0^∞ x(n)z^-n

PROPRIETÀ UNILATERA

• x(n) = 1/4x(n) - 1/2x(n-1) + ... + ax_ky^(-k)