segnali e sistemi

Lezione 2

Esempio di segnale periodico

s(t) = A e^i2πf₀t esponenziale complesso
s(t) = A e^i2πf₀t = A cos(2πf₀t) + i A sin(2πf₀t)

A > 0
T_p è legato alla frequenza f₀
f₀ può essere f₀ < 0, f > 0 quindi metto il modulo: T_p = ¹/_|f0|

Esempio di segnale complesso

y(t) = cos(2πf₀ t) ?= y(t + T_P) == cos(2πf₀ t + 2πf₀ T_P) == cos(2πf₀ t + 2πf₀ 1/_|β0|) == cos(2πf₀ t + 2π) |β₀| > 0 β₀ > 0 β dipende da questo.

Ho studiato la parte Re. studio la parte immaginaria.

Calcolo dell'area

Area A_S(T_P) = ∫₀^T_P A e^i2πf₀t dt == A ∫₀^T_P e^i2πf₀t dt == A [ e^i2πf₀t / i2πf₀t ]₀^T_P == A / i2πf₀ [ e^i2πf₀T_P - 1 ] == A / i2πf₀ ( e^i2π - 1 )

T_P = 1 / |f₀|
e^±i2π = 1
A_S = A / i2πf₀ (1-1)
L'area è nulla.

Valore medio

m_S = A_S(T_P) / T_P = 0

Energia

|S(t)| = |A e^i2πf₀t| = |A| . |e^i2πf₀t| = A . 1 (A > 0) circ. di raggio unitario punto l'esponenziale complesso vale 1.

ES(TP) = ∫TP+to0 A2 dt = A2 TP

Segnali discreti

• Estensione: Collezione di valori per ciascun multiplo del tempo, è il segnale discreto.
• Area: A_s = T ∑ s(nT) (A_s = ∫ s(t) dt nel continuo)
• Valore Medio: m_s = lim_{N → ∞} ( Σ_{n = -N}^N s(nT) ) / (2N + 1)
• Energia: E_s = T Σ_{n = -∞}^∞ |s(nT)|²
• Potenza: P_s = lim_{N → ∞} ( Σ_{n = -N}^N |s(nT)|² ) / (2N + 1)

Esempi

s(nT) = 1_(nT) gradino discreto

A_S = T ∑_n=-∞^+∞ s(nT) = T ∑_n=0^+∞ s(nT) = T ∑₀^+∞ 1 = ∞ ho ristretto la sommatoria. Tra 0 e ∞ sommatoria vale 1. → s(nT) = 1

M_S = lim_N→∞ &frac;{∑_n=-N^N s(nT)}{(2N+1)} = lim_N→∞ &frac;{∑_n=0^N 1}{(2N+1)} = lim_N→∞ &frac;{N+1}{2N+1} = &frac;{1}{2}

E_S = ? |s(nT)| = s(nT) = 1_o(nT) |s(nT)|² = (1_o cnT)² = 1_o(nT) E_S = ∞ P_S = 1/2

s(nT) = (1/2)ⁿ 1_o(nT) sino che segnale è uguale a zero in tempi negativo

A_S = T ∑_n=-∞^+∞ (1/2)ⁿ 1_o(nT) = Parto dalla sommatoria con n=0 perché il gradino mi assicura che il segnale è zero in tempi negativi ⇒ A_S = T ∑_n=0^+∞ (1/2)ⁿ 1_∞(nT) = T ⋅ 1/(1-1/2) = 2T serie geometrica!

I segnali discreti spesso hanno anch'essi serie geometriche!

μ_s = lim_N→∞ T Σ_n=-N^N s(nT) → A_s/(2N+1) T → ∞

|S(nT)| = |(1/2)ⁿ 1_∞(nT)| = |(1/2)ⁿ| ⋅ |1_∞(nT)| = S(nT) reale positivo reale positivo |S(nT)|² = (S(nT))² = (1/2)²ⁿ ⋅ (1_∞(nT))² = (1/4)ⁿ 1_∞(nT) = 1_∞(nT)

E_S = T.¹/_{1 - ¹/4} = ⁴/₃ T P_s = 0

Trasformazioni fondamentali della variabile indipendente t

• Ribaltamento - Time Reversal: s(t) → y(t) = s(-t) = s_-(t). Il segnale s(t) "lo transformo" in y(t) rotazione rispetto all'asse y.
• Trasformazione - Time Shift: y(t) = s (t - t_o) traslazione y(t_o + t_s) = s (t_o + t_s - t_o).
• Operazione di Scala - Time Scaling: y(t) = s (t/a), a > 0 se a = 0 se a = complesso non hanno senso allargato o ristretto y(at_s) = s(^at_s/_a) = s(t_s). Se a > 1 sto allargando il segnale. Se a < 1 "diminuendo" " ". Se a = 1 ho il segnale originale. Se a < 0 allora y(t) = s(^-t/_|a|) = scala 1 a 1 + ribaltamento.
• Amplificazione - Amplitude Scaling: y(t) = A s(t).

Esempio

triangle(t) triangolo isoscele con h=1.
s(t) Esprimere s(t) in funzione di triangle(t).
Operazione di scala → da -1 e 1 va a t_o e t_o+T la scala è T/2.
Traslazione → non è più centrato in 0, ma in t_o + T/2.
Scala nell'ampiezza → che mi dà il segnale s(t). La scala nell'ampiezza è A. Durata s(^T⁄_a) = D_s a Chiamiamo triangle(t) = z(t) per semplicità. z(t) x(t) = z(t/T_1/2) = z(^2t⁄_T) = triangle(^x(t)⁄_T).

y(t) = x(t - (t₀ + ^T⁄₂)) = x(t - t₀ - ^T⁄₂) valore in cui devo valutare x. Sostituisco questo nel triangolo al posto di t. = triangle(²⁄_T(t - t₀ - ^T⁄₂)) = triangle(^{2(t - t₀)}⁄_T - 1). s(t) = A y(t) = A triangle \left(\frac{2(t-t_2)}{T} - 1\right) Attenzione alle sostituzioni!

Osservazione importante: z(t) → x(t) → y(t) → s(t). Posso interpretarlo così oppure in altri modi. L'ORDINE CONTA.

1. x(t) → y(t) → z(t) x(t) → scale → trasl. → z(t) y(t) = x\left(\frac{t}{T}\right) z(t) = y(t-t_1) = x\left(\frac{t-t_1}{T}\right) Prima ho scalato e poi traslato.
2. x(t) → y(t) → z(t) x(t) → trasl. _t₀ → scala _T → z(t) y(t) = x(t-t₀) z(t) = y(t/T) = x(t/T - t₀) = x((t-t₀T)/T). L'equivalenza la ottengo solo se: t₀ = t₁/T oppure t₁ = t₀·T. Conviene utilizzare (1), ma ci potrebbero essere casi in cui sono obbligato a usare il metodo (2).

Esempio

x(t) = { t-2 per 2 < t ≤ 3 { 0 altrimenti Disegnare s(t) = x(-t+2) Disegno x(t) In 2 vale 0 In 3 vale 1 => non vale la regola dell'emivalore Vedo -t come una variabile alternativa in x (-t + 2) È corretta l'interpretazione? Io verifico: y(t) = x (t - (-2)) = x (t + 2) s(t) = y(-t) = x(-t + 2) OK interpretazione corretta.

Interpretazione di y(t): è un segnale traslato a sx di -2. Interp. di s(t): è il ribaltamento di γ(t) controllo di alex fatto giusto s(-^t⁄₂) = x(-(-¹⁄₂)+2) = x(2+⁵⁄₂) x(-t+2) = x(-(t-2)) avrò prima ribalt, poi traslazione il suo valore cambia.

Simmetrie

Sono definite come l'invarianza rispetto a una trasformazione.

Simmetrie pari/dispari

La simmetria standard è la simmetria pari o dispari. Un segnale è pari se s(t) = s(-t). Un segnale è dispari se s(t) = -s(-t).

PARI cioè SIMMETRICO DISPARI TUTTI I SEGNALI DISPARI HANNO AREA NULLA. Esempio: cos(2πf₀t) ... È PARI

IMPULSO "SINC" sinc(t) = sin(πt) / πt   t ≠ 0 1   t = 0 sinc(-t) = sin(-πt) / -πt = -sin(πt) / -πt = sinc(t)