segnali e sistemi

LEZIONE 2

Esempio di segnale periodico

s(t) = A e^i2πf₀t

esponenziale complesso

s(t) = A e^i2πf₀t

= A cos(2πf₀t) + i A sin (2πf₀t) A > 0

T_p è legato alla frequenza f₀

f₀ può essere f₀<0 , f>0 quindi metto il modulo:

T_p = ¹/_|f0|

LEZIONE 2

Esempio di segnale periodico

s(t) = A e^i2πf_ot

esponenziale complesso

s(t) = A e^i2πf_ot

= A cos(2πf_ot) + i A sin (2πf_ot) A > 0

T_p è legato alla frequenza f_o

f_o può essere f_o < 0 , f > 0 quindi metto il modulo :

T_p = ¹/_|fo|

y(t) = cos(2πf₀ t) ?

= y(t + T_P) =

= cos(2πf₀ t + 2πf₀ T_P) =

= cos(2πf₀ t + 2πf₀ 1/_|ß0|) =

= cos(2πf₀ t + 2π )

|ß₀| > 0

ß₀ > 0

ß < 0

dipende da questo

Ho studiato la parte Re.

studio la parte immaginaria

Area

A_S(T_P) = ∫₀^T_P A e^i2πf₀t dt =

= A ∫₀^T_P e^i2πf₀t dt =

= A [ e^i2πf₀t / i2πf₀t ]₀^T_P =

= A / i2πf₀ [ e^i2πf₀T_P - 1 ] =

= A / i2πf₀ ( e^i2π - 1 )

T_P = 1 / |f₀|

e^±i2π = 1

A_S = A / i2πf₀ (1-1)

0∫⁰

L'area è nulla

Valor medio

m_S = A_S(T_P) / T_P = 0

Energia

|S(t)| = |A e^i2πf₀t| = |A| . |e^i2πf₀t| =

= A . 1

(A>0)

circ. di raggio unitario

punto l'esponenziale

complesso vale 1

ES(TP) = ∫TP+to0 A2 dt = A2 TP

Mi casi in cui mi conviene, semplifichiamo

l'integrale!! Posso aggiungere to xx seg. period.

SEGNALE DISCRETI

(1) ESTENSIONE

Collezione di valori per ciascun multiplo del tempo, è il segnale discreto.

(2) AREA

A_s = T ∑ s(nT)

(A_s = ∫ s(t) dt nel continuo)

(3) Valor Medio

m_s = lim_{N → ∞} ( Σ_{n = -N}^N s(nT) ) / (2N + 1)

(4) Energia

E_s = T Σ_{n = -∞}^∞ |s(nT)|²

(5) Potenza

P_s = lim_{N → ∞} ( Σ_{n = -N}^N |s(nT)|² ) / (2N + 1)

Esempio

s(nT) = 1_(nT)

gradino discreto

A_S = T ∑_n=-∞^+∞ s(nT)

= T ∑_n=0^+∞ s(nT)

= T ∑₀^+∞ 1

= ∞

ho ristretto la sommatoria.

Tra 0 e ∞ sommatoria vale 1. → s(nT) = 1

M_S = lim_N→∞ &frac;{∑_n=-N^N s(nT)}{(2N+1)}

= lim_N→∞ &frac;{∑_n=0^N 1}{(2N+1)}

= lim_N→∞ &frac;{N+1}{2N+1} = &frac;{1}{2}

E_S = ?

|s(nT)| = s(nT) = 1_o(nT)

|s(nT)|² = (1_o cnT)² = 1_o(nT)

E_S = ∞

P_S = 1/2

Esempio

s(nT) = (1/2)ⁿ 1_o(nT)

sino che segnate uguate a zero in tempi negativo

A_S = T ∑_n=-∞^+∞ (1/2)ⁿ 1_o(nT) =

Parto dalla sommatoria con n=0

perché il gradino mi assicura che il

segnale è zero in tempi negativi

⇒ A_S = T ∑_n=0^+∞ (1/2)ⁿ 1_∞(nT) = T ⋅ 1/(1-1/2) = 2T

serie geometrica!

I segnali discreti spesso hanno anch'essi

serie geometriche!

μ_s = lim_N→∞ T Σ_n=-N^N s(nT) → A_s

/(2N+1) T → ∞

|S(nT)| = |(1/2)ⁿ 1_∞(nT)| = |(1/2)ⁿ| ⋅ |1_∞(nT)| = S(nT)

reale positivo reale positivo

|S(nT)|² = (S(nT))² = (1/2)²ⁿ ⋅ (1_∞(nT))² = (1/4)ⁿ 1_∞(nT)

= 1_∞(nT)

E_S = T.

¹/_{1 - ¹/4} = ⁴/₃ T

P_s = 0

TRASFORMAZIONI FONDAMENTALI DELLA VAR. INDIP. t

(1) RIBALTAMENTO - TIME REVERSAL

s(t) → y(t) = s(-t) = s_-(t)

Il segnale s(t) "lo transformo" in y(t)

rotazione rispetto all'asse y.

2) Trasformazione - Time Shift

y(t) = s (t - t_o)

traslazione

y(t_o + t_s) = s (t_o + t_s - t_o)

3) Operazione di Scala - Time Scaling

y(t) = s (t/a), a > 0

se a = 0

se a = complesso

non hanno senso

allargato o ristretto

y(at_s) = s(^at_s/_a) = s(t_s)

Se a > 1 sto allargando il segnale.

Se a < 1 "diminuendo" " ".

Se a = 1 ho il segnale originale.

Se a < 0 allora

y(t) = s(^-t/_|a|) = scala 1 a 1 + ribaltamento

(4) Amplificazione - Amplitude Scaling

y(t) = A s(t)

Esempio

triangle(t)

triangolo isoscele con h=1.

s(t)

Esprimere s(t) in funzione di triangle(t).

Operazione di scala → da -1 e 1 va a t_o e t_o+T la scala è T/2.

Traslazione → non è più centrato in 0, ma in t_o + T/2

Scala nell'ampiezza → che mi dà il segnale s(t) La scala nell'ampiezza è A.

Durata

s(^T⁄_a) = D_s a

Chiamiamo triangle(t) = z(t) per semplicità.

z(t)

valore in cui devo valutare x Sostituisco questo nel triangolo al posto di t.

s(t) = A y(t)

= A \text{ triangle } \left(\frac{2(t-t_2)}{T} - 1\right)

Attenzione alle sostituzioni!

Osservazione importante

z(t) → x(t) → y(t) → s(t)

Posso interpretarlo così oppure in altri modi

L'ORDINE CONTA

1. x(t) → y(t) → z(t)

x(t) → scale → trasl. → z(t)

y(t) = x\left(\frac{t}{T}\right)

z(t) = y(t-t_1) = x\left(\frac{t-t_1}{T}\right)

Prima ho scalato e poi traslato

(2) x(t) → y(t) → z(t)

x(t) → trasl. _t₀ → scala _T → z(t)

y(t) = x(t-t₀)

z(t) = y(t/T) = x(t/T - t₀) = x((t-t₀T)/T)

L'equivalenza la ottengo solo se:

t₀ = t₁/T oppure t₁ = t₀·T

Conviene utilizzare (1), ma ci potrebbero essere

casi in cui sono obbligato a usare il metodo (2).

Esempio

x(t) = { t-2 per 2 < t ≤ 3

{ 0 altrimenti

Disegnare s(t) = x(-t+2)

Disegno x(t)

In 2 vale 0

In 3 vale 1

=> non vale la regola dell'emivalore

Vedo -t come una variabile alternativa in

x (-t + 2)

È corretta l'interpretazione ?

Io verifico :

y(t) = x (t - (-2))

= x (t + 2)

s(t) = y(-t) = x(-t + 2) OK interpretazione corretta

Interpretazione di y(t):

è un segnale traslato a sx di -2

Interp. di s(t):

è il ribaltamento di γ(t)

controllo di alex fatto giusto

s(-^t⁄₂) = x(-(-¹⁄₂)+2) = x(2+⁵⁄₂)

x(-t+2) = x(-(t-2))

avrò prima ribalt, poi traslazione

il suo valore cambia

SIMMETRIE

Sono definite come l'invarianza rispetto ad una trasformazione.

(1) SIMMETRIE PARI/DISPARI

La simmetria standard è la simmetria pari o dispari. Un segnale è pari se s(t) = s(-t).

Un segnale è dispari se s(t) = -s(-t).

PARI cioè SIMMETRICO

DISPARI

TUTTI I SEGNALI DISPARI HANNO AREA NULLA.

Esempio

cos(2πf₀t) ... È PARI

IMPULSO "SINC"

sinc(t) =

• sin(πt) / πt   t ≠ 0
• 1   t = 0

sinc(-t) = sin(-πt) / -πt = -sin(πt) / -πt = sinc(t)