Scienza delle finanze - Appunti
Anteprima
ESTRATTO DOCUMENTO
Ogni soggetto presenta un numero infinito di curve d’indifferenza, dal profilo coerente, che
esprimono livelli più elevati di benessere man mano che sono collocate verso nord-est. Inoltre, per
uno stesso soggetto, le curve d’indifferenza non s’intersecano mai per non violare la transitività.
LA TRASFORMAZIONE DELLO STUDIO IN VOTI: IL VINCOLO DELLE
OPPORTUNITA’
Consideriamo uno studente normale: il numero delle ore giornaliere di studio (per trimestre)
richieste per raggiungere un certo successo negli esami. Assumiamo che lo studente ottenga sempre
il voto cui aspira. Un’assunzione forte che tiene conto delle molte decisioni concrete che
influenzano l’esito. Per un esame di media difficoltà occorrono 6 ore di studio giornaliere per
ottenere 24. Se il rapporto 24/6 mostra che un’ora di studio rende 4 voti, quel 24 costa la rinuncia a
6 ore di otium, vale a dire – dividendo 6 ore 8360 min per 24) – un voto costa 0.25=1/4: un quarto
d’ora d’otium, sempre per trimestre.
Le prime ore di studio del mattino sono più fruttuose delle ore serali. Tracciamo la curva concava
AB, che esprime la trasformazione tra Otium e voti. Se tracciamo una retta tangente in C alla curva
di trasformazione, la sua inclinazione ci dice che un incremento marginale di voto costa ad Amleto
la rinuncia a 0,20 ore (12 minuti) di Otium. Passando da C a D (decide di studiare anche il
pomeriggio) questo tasso di trasformazione aumenta a 2,5: al margine, l’incremento di voto gli
costa ora la rinuncia a 2,5 ore di otium.
L’EQUILIBRIO DI AMLETO
Acquisito il quadro della scelta (preferenze individuali e vincolo delle opportunità), non resta che
sovrapporre le prime (la mappa delle curve d’indifferenza) a quel vincolo appena tracciato nella
figura a sinistra seguente. L’equilibrio sarà dato dalla combinazione E, identificata nel punto di
tangenza tra quel vincolo e la curva d’indifferenza più alta possibile. L’equilibrio in E è efficiente
perché evita perdite possibili di vantaggi: in quel punto, il tasso di sostituzione di Amleto è uguale
al tasso di trasformazione tra voti ed otium posto dal vincolo: dedicherà OF ore ai suoi Otia
ottenendo un voto pari a OG.
La figura a destra mostra lo stesso equilibrio nel caso più semplice d’una frontiera delle opportunità
a tasso di trasformazione costante (lo studio è egualmente produttivo nella prima come nell’ultima
ora di studio): un’ipotesi poco plausibile, ma utile per semplificare le applicazioni del modello.
L’equilibrio efficiente si raggiunge solo quando la frontiera delle opportunità è convessa o
rettilinea: se presentasse un profilo concavo, avremo un equilibrio d’angolo, nel senso che il
soggetto sceglierebbe solo un bene, venendo meno l’eguaglianza tra tasso di sostituzione e tasso di
trasformazione.
Nell’equilibrio in E, Amleto ottiene il voto OG rinunciando a OF ore d’attività libera di cui avrebbe
potuto godere. Più in generale, se OA esprime 10000E di beni che un consumatore è in grado di
acquistare, e, in E, acquista OG unità del bene X, il costo che affronta è dato dalla rinuncia agli altri
beni FA che avrebbe potuto acquistare. Il costo-opportunità di godere di OF ore di otium è dato per
Amleto dalla rinuncia a GB voti.
LA DOMANDA DI VOTI
Questo modello di scelta vale per le applicazioni che portano a risultati non ovvi e verificabili, nel
senso d’essere suscettibili di rivelarsi sbagliati. Per verificare alcune prime applicazioni,
individuiamo la domanda di voti implicita alle scelte d’Amleto, per verificare come ci aspettiamo
varino le sue scelte al variare della difficoltà di un esame. La parte in alto della figura seguente
mostra che ottenere 30 all’esame difficile richiede uno studio di 10 ore al giorno, mentre 30 si
raggiunge studiando 6 ore per l’esame medio e solo 4 ore per l’esame facile.
Il lettore non si stupirà che le curve d’indifferenza del nostro studente medio portino a un esito
insufficiente nell’esame più difficile, a un 20 nell’esame medio e a un 28 nell’esame facile.
Riportiamo questi dati lungo l’asse orizzontale della figura in basso, in corrispondenza del costo per
voto indicato nella legenda: 20 minuti per l’esame difficile, 12 per il secondo e soli 8 per quello
facile.
Unendo i tre punti otteniamo quella che è una domanda di voti, con il profilo decrescente.
SI STUDIA SEMPRE DI PIU’ PER UN ESAME DIFFICILE
Che si studi di più per un esame più difficile non stupisce, ma è interessante approfondire perché, e
sino a che punto, ciò sia vero. A questo fine, procediamo in tre passaggi.
Nel primo mostriamo che l’aumento del costo di un bene ne diminuisce il consumo, a vantaggio di
tutti gli altri beni che si presentano automaticamente meno costosi: se aumenta la difficoltà
dell’esame, l’otium si presenta più conveniente per Amleto: rinunciarvi rende meno! Il secondo
mostra che quell’aumento riduce sia l’otium che i voti. Il terzo passaggio considera la combinazione
dei due effetti, per verificare quale spinta prevalga nei confronti dello studio.
a)L’influenza diretta e asimmetrica dell’effetto di sostituzione
Quando l’esame diventa più difficile, Amleto si sposta da M in D, aumentando il tempo dedicato
all’otium. Se diventa più facile, lo spostamento da M a F fa diminuire il tempo dedicato all’otium.
L’influenza è diretta e asimmetrica; quando aumenta il costo di un bene: i prezzi sono sempre
relativi – il soggetto sostituisce il bene divenuto più costoso con quello divenuto meno costoso,
nella misura determinata dalle preferenze individuali, quasi si esprimono attraverso il profilo delle
curve d’indifferenza. La conclusione è che quando l’esame diventa piu facile l’effetto sostituzione
spinge a studiare di piu, mentre quando diventa piu difficile spinge a studiare di meno. In entrambi i
casi l’effetto è maggiore quanto piu i beni sono sostituibili.
b) L’influenza indiretta e simmetrica dell’effetto reddito
Nel secondo passaggio: annulliamo l’influenza dell’effetto sostituzione, per isolare l’influenza
dovuta allo spostamento su una diversa curva d’indifferenza. Teniamo solo conto della variazione di
benessere provocata dallo spostamento su una curva d’indifferenza più alta o più bassa. Lasciamo
costante il costo del voto dell’esame iniziale e consideriamo solo il nuovo livello di benessere.
Graficamente, consideriamo l’influenza di spostamenti paralleli del vincolo delle opportunità; è
come se variasse il tempo (o il reddito) disponibile (da 10 a 12 ore o da 10 a 8 ore e viceversa): si
parla pertanto di EFFETTO REDDITO.
Come mostra la figura a sinistra seguente, l’influenza di queste variazioni è simmetrica (con lo
stesso segno) nei confronti dei due beni. Quando l’esame diventa più difficile, l’effetto reddito
spinge a studiare di più e quando l’esame diventa più facile spinge a studiare di meno. L’influenza
dell’effetto reddito è maggiore, quanto maggiore è l’effetto di sostituzione (p.e. quanto più i beni
sono sostituibili).
In termini generali, va sottolineato che il consumo dei due beni non varia nella stessa proporzione.
Questo fatto è mostrato nella figura a destra, dove all’aumentare della risorsa disponibile gli
equilibri successivi identificano un sentiero – definito di REDDITO-CONSUMO – che è non
equidistante dagli assi e diverso in relazione alle preferenze individuali.
L’influenza dell’effetto reddito è simmetrica (il segno delle variazioni di quantità di entrambi i beni
è uguale al segno della variazione di reddito), ma indiretta, in quanto non stiamo considerando
variazioni assolute di potere d’acquisto, ma quelle implicite a variazioni dei prezzi relativi.
Quanto è rilevante l’influenza dell’effetto reddito? La risposta dipende dalla quota di potere
d’acquisto (reddito per i consumatori, tempo per Amleto) assorbita dal bene di cui varia il prezzo.
L’EFFETTO TOTALE DI UNA VARIAZIONE DI PREZZO
Combinando insieme l’influenza di questi due effetti , possiamo interpretare l’effetto totale di
variazioni della difficoltà dell’esame. Nella figura seguente Amleto, collocato in M con un esame
medio, passa all’equilibrio D con l’esame difficile. Abbiamo scelto questo risultato particolare (le
ore d’otium D1D rimangono immutate, con un voto inferiore OD1), per illustrare come i due effetti
opposti possano compensarsi. Per scomporre quel risultato finale nelle sue due componenti,
tracciamo una retta parallela al vincolo iniziale e tangente in R alla nuova, più bassa, curva
d’indifferenza. Il passaggio da M a R evidenzia l’influenza dell’effetto reddito che, riducendo il
consumo di entrambi i beni (i voti si riducono a OD e il tempo dedicato all’otium a DR),
spingerebbe Amleto a studiare di più. Il passaggio da R a D mostra che l’effetto di sostituzione è
anch’esso contrario ai voti (ce si riducono ancora a DD1), ma favorevole all’otium! In questo caso,
con un impatto che compensa esattamente l’influenza negativa dell’effetto reddito.
In generale possiamo affermare che aumentando il costo di un bene (i voti), il suo consumo
diminuirà certamente in quanto entrambi gli effetti gli sono contrari, mentre gli effetti sull’altro
bene (l’otium) dipendono da quale prevale tra le spinte contrastanti dei due effetti. Prevalendo
l’effetto sostituzione, amleto studierebbe di meno: un risultato plausibile, in quanto ora un’ora di
studio rende molto meno in termini di voti. E’ l’effetto reddito (contrario all’otium), a spingerlo a
studiare di più. Poiché questo è quanto avviene in concreto, possiamo affermare che tende a
prevalere l’effetto reddito: ciò in quanto la domanda di voti tende ad essere piuttosto rigida, quando
si tratta di raggiungere un minimo per superare l’esame.
SOSTITUIBILITÁ TRA BENI E ELASTICITÁ DELLA DOMANDA
Scelte e domanda di Amleto costituiscono una metafora del comportamento di un consumatore che
deve distribuire il potere d’acquisto di cui dispone tra i beni che gli interessano: ponendo il suo
prezzo pari a un euro, R può essere assimilato a un numerario, il reddito. In questo modo,
l’inclinazione della frontiera delle opportunità (il rapporto qr/qx=px/pr) esprime direttamente px
(poiché pr=1, qr/qx=px). I grafici a destra mostrano come si ricava la domanda di un qualunque
bene: quella per melograni di un cliente di leandro, ad esempio. In entrambi i casi, il livello di
benessere del soggetto muta in direzione opposta alla variazione di prezzo: diminuisce (o aumenta)
quando il prezzo del bene aumenta (o diminuisce). C’è solo da sperare che la domanda d’Amleto sia
meno elastica della domanda del consumatore di melograni.
E’ utile aggiungere come l’elasticità della domanda si rapporti alla sostituibilità con altri beni,
risultando bassa per i beni più importanti, quindi meno sensibili a variazioni del loro prezzo, e
maggiore per quelli che sono più sensibili alle variazioni di prezzo. Beni diversi possono essere tra
loro sostituibili o indipendenti: il benessere aumenta solo se aumenta il bene X, qualunque si a il
livello di Y.
Se consideriamo la loro elasticità incrociata (ponendo al denominatore le variazioni percentuali del
prezzo dell’altro bene), è proprio il segno dell’elasticità incrociata a rivelare se si tratta di beni
complementari, sostituibili o indipendenti. Poiché nel caso di beni indipendenti questa elasticità
incrociata è pari a zero, è il segno dell’elasticità incrociata a mostrare se si tratta di beni sostituibili
o complementari. Nel primo caso il segno è positivo – dal momento che la variazione del prezzo di
un bene determina una variazione di quantità del bene complementare nella stesa direzione – mentre
il segno è negativo nel caso di beni complementari.
Possiamo tornare alla relazione tra elasticità e gli effetti reddito e sostituzione. Con i beni
complementari, l’effetto di sostituzione è nullo: variando il prezzo di uno dei due beni
complementari del grafico centrale, il soggetto è influenzato solo da diminuzione di potere
d’acquisto, cosicché si verifica solo l’effetto reddito. E’ solo nel caso di beni sostituibili che può
verificarsi l’effetto di sostituzione, in misura tanto maggiore, quanto più accentuata è quella
sostituibilità e, quindi, l’effetto reddito connesso, una volta soddisfatta la condizione che il bene
coinvolto assorba una quota significativa del bilancio del consumatore.
LA VALUTAZIONE DIDATTICA CON L’AIUTO DELLA STATISTICA
Viene lanciata una moneta: se esce testa si vincono 10000E, se esce croce 0. In termini
probabilistici, qual è la vincita che può attendersi il giocatore?
Per rispondere occorre moltiplicare il valore dei due esiti possibili per le rispettive probabilità (1/2)
e poi sommarle. Il risultato di queste due operazioni dà il valore probabilistico delle vincite ½
(10000+0)=5000.
Se lanciamo due dadi a 6 facce, la probabilità empirica di un evento (ottenere 3) è dato dalla
frequenza (numero di volte in cui si verifica) di quell’evento all’aumentare del numero delle prove:
la probabilità è il valore limite di quella frequenza rapportata al numero di lanci ripetuti un numero
infinto di volte, nelle stesse condizioni.
Con il lancio di due dadi, eventi Xi (somme dei punti indicati da i) e probabilità p (Xi) sono:
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Frequenze 5 10 15 20 25 30 25 20 15 10 5
Attese per
180 lanci
Poiché la probabilità di ottenere Xi=3 è di 2/36=1/18, lanciando i dadi 180 volte ci attendiamo la
somma cercata risulti 10 volte.
La Curva di Gauss è definita a campana (per il suo profilo), normale (perché, con opportune
modificazioni, esprime la distribuzione di molti fenomeni biologici e fisici) o degli errori
accidentali: se si eseguono diverse misure di una grandezza fisica e si riportano lungo l’asse
orizzontali gli scostamenti del valore vero e , lungo quello verticale, la frequenza degli errori
commessi (compresi in intervalli di A opportunamente ristretti), ripetendo all’infinito le misure si
ottiene il profilo replicato in basso.
Come si può notare, la Frequenza – la probabilità quindi – d’ottenere la misura esatta (A=0) è la più
elevata, mentre frequenza e probabilità di errori vistosi, per eccesso o per difetto, diminuisce con
l’aumentare degli errori stessi: sui numeri che esprimono A torneremo a breve.
E’ opportuno soffermarsi sulla statistica descrittiva, utilizzando i risultati di un esonero che
prevedeva 35 domande. Le risposte dei 244 studenti sono sintetizzati nella tabella a sinistra. La
presentazione dei dati in ordine crescente/decrescente, meglio ancora se espressi come numeri
indici: dividendo ogni risultato per quello medio (somma delle risposte esatte divisa per 244) e
moltiplicando per 100, i risultati oscillano tra 14 198/100!
Possiamo ulteriormente migliorare le informazioni, trasformando le distribuzioni unitarie in
distribuzione di frequenza. Ciò significa raggruppare i dati in classi o intervalli di valori (ci) e
riportare il numero dei casi (frequenza) che ricadono in ciascuna classe. Possiamo passare alla
presentazione grafica, riportando gli intervalli delle classi (ci) in orizzontale e le frequenze (fi)
corrispondenti in verticale. Si ottengono in questo modo una serie di rettangoli (istogrammi) aventi
come base l’ampiezza di ciascuna classe e come altezza la frequenza media corrispondente,
cosicché l’area dell’istogramma esprime la frequenza totale della classe. In questo modo emerge
chiaramente come i risultati della prova presentino un profilo dapprima crescente, sino a un
massimo, e poi decrescente.
La statistica descrittiva mette in evidenza:
- il convergere o meno dei dati verso un valore centrale – il centro della distribuzione – utile
per confrontare le distribuzioni di uno stesso carattere tra diversi universi: i voti d’esame di
varie materie o il reddito pro-capite di professioni diverse.
- La dispersione o la variabilità dei dati intorno a quel valore centrale
Convergenza e dispersione aiutano a cogliere l’ordine latente in quella che a prima vista si
presentava come una congerie di dati eterogenei.
Il valori centrali di una distribuzione posso essere espressi dalla:
- MEDIA ARITMETICA dei dati (Xi), indicata con la lettera m, calcolata dividendo la
somma dei valori per il numero totale dei dati;
- MEDIANA il valore che divide in parti eguali l’insieme dei dati, disposti in ordine di
grandezza. In termini grafici, la mediana divide l’area totale della distribuzione n partii
eguali, con il 50% dei dati per parte.
- MODA il valore cui corrisponde la frequenza più elevata: può non esistere o può non essere
unica: in quest’ultimo caso la distribuzione è plurimodale.
L’informazione fornita dalle medie è inadeguata, in quanto alla stessa media può corrispondere una
variabilità diversa: se due studenti hanno concluso i loro esami con la media del 24, l’uno con una
sfilza continua di 24, mentre l’altro ottenendo 18 in metà esami e tutti 30 nell’altra metà, non si
tratta di un’informazione utile se una maggiore dispersione rivela una discontinuità di rendimento e
quindi di preparazione? La dispersione dei dati (assoluta e percentuale) intorno al valore centrale si
può misurare in vari modi: è utile approfondire come si calcola intorno alla media aritmetica della
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di scienze delle finanze e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Galeotti Gianluigi.
Acquista con carta o conto PayPal
Scarica il file tutte le volte che vuoi
Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato