Scienza delle finanze - Appunti

Ogni soggetto presenta un numero infinito di curve d’indifferenza, dal profilo coerente, che

esprimono livelli più elevati di benessere man mano che sono collocate verso nord-est. Inoltre, per

uno stesso soggetto, le curve d’indifferenza non s’intersecano mai per non violare la transitività.

LA TRASFORMAZIONE DELLO STUDIO IN VOTI: IL VINCOLO DELLE

OPPORTUNITA’

Consideriamo uno studente normale: il numero delle ore giornaliere di studio (per trimestre)

richieste per raggiungere un certo successo negli esami. Assumiamo che lo studente ottenga sempre

il voto cui aspira. Un’assunzione forte che tiene conto delle molte decisioni concrete che

influenzano l’esito. Per un esame di media difficoltà occorrono 6 ore di studio giornaliere per

ottenere 24. Se il rapporto 24/6 mostra che un’ora di studio rende 4 voti, quel 24 costa la rinuncia a

6 ore di otium, vale a dire – dividendo 6 ore 8360 min per 24) – un voto costa 0.25=1/4: un quarto

d’ora d’otium, sempre per trimestre.

Le prime ore di studio del mattino sono più fruttuose delle ore serali. Tracciamo la curva concava

AB, che esprime la trasformazione tra Otium e voti. Se tracciamo una retta tangente in C alla curva

di trasformazione, la sua inclinazione ci dice che un incremento marginale di voto costa ad Amleto

la rinuncia a 0,20 ore (12 minuti) di Otium. Passando da C a D (decide di studiare anche il

pomeriggio) questo tasso di trasformazione aumenta a 2,5: al margine, l’incremento di voto gli

costa ora la rinuncia a 2,5 ore di otium.

L’EQUILIBRIO DI AMLETO

Acquisito il quadro della scelta (preferenze individuali e vincolo delle opportunità), non resta che

sovrapporre le prime (la mappa delle curve d’indifferenza) a quel vincolo appena tracciato nella

figura a sinistra seguente. L’equilibrio sarà dato dalla combinazione E, identificata nel punto di

tangenza tra quel vincolo e la curva d’indifferenza più alta possibile. L’equilibrio in E è efficiente

perché evita perdite possibili di vantaggi: in quel punto, il tasso di sostituzione di Amleto è uguale

al tasso di trasformazione tra voti ed otium posto dal vincolo: dedicherà OF ore ai suoi Otia

ottenendo un voto pari a OG.

La figura a destra mostra lo stesso equilibrio nel caso più semplice d’una frontiera delle opportunità

a tasso di trasformazione costante (lo studio è egualmente produttivo nella prima come nell’ultima

ora di studio): un’ipotesi poco plausibile, ma utile per semplificare le applicazioni del modello.

L’equilibrio efficiente si raggiunge solo quando la frontiera delle opportunità è convessa o

rettilinea: se presentasse un profilo concavo, avremo un equilibrio d’angolo, nel senso che il

soggetto sceglierebbe solo un bene, venendo meno l’eguaglianza tra tasso di sostituzione e tasso di

trasformazione.

Nell’equilibrio in E, Amleto ottiene il voto OG rinunciando a OF ore d’attività libera di cui avrebbe

potuto godere. Più in generale, se OA esprime 10000E di beni che un consumatore è in grado di

acquistare, e, in E, acquista OG unità del bene X, il costo che affronta è dato dalla rinuncia agli altri

beni FA che avrebbe potuto acquistare. Il costo-opportunità di godere di OF ore di otium è dato per

Amleto dalla rinuncia a GB voti.

LA DOMANDA DI VOTI

Questo modello di scelta vale per le applicazioni che portano a risultati non ovvi e verificabili, nel

senso d’essere suscettibili di rivelarsi sbagliati. Per verificare alcune prime applicazioni,

individuiamo la domanda di voti implicita alle scelte d’Amleto, per verificare come ci aspettiamo

varino le sue scelte al variare della difficoltà di un esame. La parte in alto della figura seguente

mostra che ottenere 30 all’esame difficile richiede uno studio di 10 ore al giorno, mentre 30 si

raggiunge studiando 6 ore per l’esame medio e solo 4 ore per l’esame facile.

Il lettore non si stupirà che le curve d’indifferenza del nostro studente medio portino a un esito

insufficiente nell’esame più difficile, a un 20 nell’esame medio e a un 28 nell’esame facile.

Riportiamo questi dati lungo l’asse orizzontale della figura in basso, in corrispondenza del costo per

voto indicato nella legenda: 20 minuti per l’esame difficile, 12 per il secondo e soli 8 per quello

facile.

Unendo i tre punti otteniamo quella che è una domanda di voti, con il profilo decrescente.

SI STUDIA SEMPRE DI PIU’ PER UN ESAME DIFFICILE

Che si studi di più per un esame più difficile non stupisce, ma è interessante approfondire perché, e

sino a che punto, ciò sia vero. A questo fine, procediamo in tre passaggi.

Nel primo mostriamo che l’aumento del costo di un bene ne diminuisce il consumo, a vantaggio di

tutti gli altri beni che si presentano automaticamente meno costosi: se aumenta la difficoltà

dell’esame, l’otium si presenta più conveniente per Amleto: rinunciarvi rende meno! Il secondo

mostra che quell’aumento riduce sia l’otium che i voti. Il terzo passaggio considera la combinazione

dei due effetti, per verificare quale spinta prevalga nei confronti dello studio.

a)L’influenza diretta e asimmetrica dell’effetto di sostituzione

Quando l’esame diventa più difficile, Amleto si sposta da M in D, aumentando il tempo dedicato

all’otium. Se diventa più facile, lo spostamento da M a F fa diminuire il tempo dedicato all’otium.

L’influenza è diretta e asimmetrica; quando aumenta il costo di un bene: i prezzi sono sempre

relativi – il soggetto sostituisce il bene divenuto più costoso con quello divenuto meno costoso,

nella misura determinata dalle preferenze individuali, quasi si esprimono attraverso il profilo delle

curve d’indifferenza. La conclusione è che quando l’esame diventa piu facile l’effetto sostituzione

spinge a studiare di piu, mentre quando diventa piu difficile spinge a studiare di meno. In entrambi i

casi l’effetto è maggiore quanto piu i beni sono sostituibili.

b) L’influenza indiretta e simmetrica dell’effetto reddito

Nel secondo passaggio: annulliamo l’influenza dell’effetto sostituzione, per isolare l’influenza

dovuta allo spostamento su una diversa curva d’indifferenza. Teniamo solo conto della variazione di

benessere provocata dallo spostamento su una curva d’indifferenza più alta o più bassa. Lasciamo

costante il costo del voto dell’esame iniziale e consideriamo solo il nuovo livello di benessere.

Graficamente, consideriamo l’influenza di spostamenti paralleli del vincolo delle opportunità; è

come se variasse il tempo (o il reddito) disponibile (da 10 a 12 ore o da 10 a 8 ore e viceversa): si

parla pertanto di EFFETTO REDDITO.

Come mostra la figura a sinistra seguente, l’influenza di queste variazioni è simmetrica (con lo

stesso segno) nei confronti dei due beni. Quando l’esame diventa più difficile, l’effetto reddito

spinge a studiare di più e quando l’esame diventa più facile spinge a studiare di meno. L’influenza

dell’effetto reddito è maggiore, quanto maggiore è l’effetto di sostituzione (p.e. quanto più i beni

sono sostituibili).

In termini generali, va sottolineato che il consumo dei due beni non varia nella stessa proporzione.

Questo fatto è mostrato nella figura a destra, dove all’aumentare della risorsa disponibile gli

equilibri successivi identificano un sentiero – definito di REDDITO-CONSUMO – che è non

equidistante dagli assi e diverso in relazione alle preferenze individuali.

L’influenza dell’effetto reddito è simmetrica (il segno delle variazioni di quantità di entrambi i beni

è uguale al segno della variazione di reddito), ma indiretta, in quanto non stiamo considerando

variazioni assolute di potere d’acquisto, ma quelle implicite a variazioni dei prezzi relativi.

Quanto è rilevante l’influenza dell’effetto reddito? La risposta dipende dalla quota di potere

d’acquisto (reddito per i consumatori, tempo per Amleto) assorbita dal bene di cui varia il prezzo.

L’EFFETTO TOTALE DI UNA VARIAZIONE DI PREZZO

Combinando insieme l’influenza di questi due effetti , possiamo interpretare l’effetto totale di

variazioni della difficoltà dell’esame. Nella figura seguente Amleto, collocato in M con un esame

medio, passa all’equilibrio D con l’esame difficile. Abbiamo scelto questo risultato particolare (le

ore d’otium D1D rimangono immutate, con un voto inferiore OD1), per illustrare come i due effetti

opposti possano compensarsi. Per scomporre quel risultato finale nelle sue due componenti,

tracciamo una retta parallela al vincolo iniziale e tangente in R alla nuova, più bassa, curva

d’indifferenza. Il passaggio da M a R evidenzia l’influenza dell’effetto reddito che, riducendo il

consumo di entrambi i beni (i voti si riducono a OD e il tempo dedicato all’otium a DR),

spingerebbe Amleto a studiare di più. Il passaggio da R a D mostra che l’effetto di sostituzione è

anch’esso contrario ai voti (ce si riducono ancora a DD1), ma favorevole all’otium! In questo caso,

con un impatto che compensa esattamente l’influenza negativa dell’effetto reddito.

In generale possiamo affermare che aumentando il costo di un bene (i voti), il suo consumo

diminuirà certamente in quanto entrambi gli effetti gli sono contrari, mentre gli effetti sull’altro

bene (l’otium) dipendono da quale prevale tra le spinte contrastanti dei due effetti. Prevalendo

l’effetto sostituzione, amleto studierebbe di meno: un risultato plausibile, in quanto ora un’ora di

studio rende molto meno in termini di voti. E’ l’effetto reddito (contrario all’otium), a spingerlo a

studiare di più. Poiché questo è quanto avviene in concreto, possiamo affermare che tende a

prevalere l’effetto reddito: ciò in quanto la domanda di voti tende ad essere piuttosto rigida, quando

si tratta di raggiungere un minimo per superare l’esame.

SOSTITUIBILITÁ TRA BENI E ELASTICITÁ DELLA DOMANDA

Scelte e domanda di Amleto costituiscono una metafora del comportamento di un consumatore che

deve distribuire il potere d’acquisto di cui dispone tra i beni che gli interessano: ponendo il suo

prezzo pari a un euro, R può essere assimilato a un numerario, il reddito. In questo modo,

l’inclinazione della frontiera delle opportunità (il rapporto qr/qx=px/pr) esprime direttamente px

(poiché pr=1, qr/qx=px). I grafici a destra mostrano come si ricava la domanda di un qualunque

bene: quella per melograni di un cliente di leandro, ad esempio. In entrambi i casi, il livello di

benessere del soggetto muta in direzione opposta alla variazione di prezzo: diminuisce (o aumenta)

quando il prezzo del bene aumenta (o diminuisce). C’è solo da sperare che la domanda d’Amleto sia

meno elastica della domanda del consumatore di melograni.

E’ utile aggiungere come l’elasticità della domanda si rapporti alla sostituibilità con altri beni,

risultando bassa per i beni più importanti, quindi meno sensibili a variazioni del loro prezzo, e

maggiore per quelli che sono più sensibili alle variazioni di prezzo. Beni diversi possono essere tra

loro sostituibili o indipendenti: il benessere aumenta solo se aumenta il bene X, qualunque si a il

livello di Y.

Se consideriamo la loro elasticità incrociata (ponendo al denominatore le variazioni percentuali del

prezzo dell’altro bene), è proprio il segno dell’elasticità incrociata a rivelare se si tratta di beni

complementari, sostituibili o indipendenti. Poiché nel caso di beni indipendenti questa elasticità

incrociata è pari a zero, è il segno dell’elasticità incrociata a mostrare se si tratta di beni sostituibili

o complementari. Nel primo caso il segno è positivo – dal momento che la variazione del prezzo di

un bene determina una variazione di quantità del bene complementare nella stesa direzione – mentre

il segno è negativo nel caso di beni complementari.

Possiamo tornare alla relazione tra elasticità e gli effetti reddito e sostituzione. Con i beni

complementari, l’effetto di sostituzione è nullo: variando il prezzo di uno dei due beni

complementari del grafico centrale, il soggetto è influenzato solo da diminuzione di potere

d’acquisto, cosicché si verifica solo l’effetto reddito. E’ solo nel caso di beni sostituibili che può

verificarsi l’effetto di sostituzione, in misura tanto maggiore, quanto più accentuata è quella

sostituibilità e, quindi, l’effetto reddito connesso, una volta soddisfatta la condizione che il bene

coinvolto assorba una quota significativa del bilancio del consumatore.

LA VALUTAZIONE DIDATTICA CON L’AIUTO DELLA STATISTICA

Viene lanciata una moneta: se esce testa si vincono 10000E, se esce croce 0. In termini

probabilistici, qual è la vincita che può attendersi il giocatore?

Per rispondere occorre moltiplicare il valore dei due esiti possibili per le rispettive probabilità (1/2)

e poi sommarle. Il risultato di queste due operazioni dà il valore probabilistico delle vincite ½

(10000+0)=5000.

Se lanciamo due dadi a 6 facce, la probabilità empirica di un evento (ottenere 3) è dato dalla

frequenza (numero di volte in cui si verifica) di quell’evento all’aumentare del numero delle prove:

la probabilità è il valore limite di quella frequenza rapportata al numero di lanci ripetuti un numero

infinto di volte, nelle stesse condizioni.

Con il lancio di due dadi, eventi Xi (somme dei punti indicati da i) e probabilità p (Xi) sono:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Frequenze 5 10 15 20 25 30 25 20 15 10 5

Attese per

180 lanci

Poiché la probabilità di ottenere Xi=3 è di 2/36=1/18, lanciando i dadi 180 volte ci attendiamo la

somma cercata risulti 10 volte.

La Curva di Gauss è definita a campana (per il suo profilo), normale (perché, con opportune

modificazioni, esprime la distribuzione di molti fenomeni biologici e fisici) o degli errori

accidentali: se si eseguono diverse misure di una grandezza fisica e si riportano lungo l’asse

orizzontali gli scostamenti del valore vero e , lungo quello verticale, la frequenza degli errori

commessi (compresi in intervalli di A opportunamente ristretti), ripetendo all’infinito le misure si

ottiene il profilo replicato in basso.

Come si può notare, la Frequenza – la probabilità quindi – d’ottenere la misura esatta (A=0) è la più

elevata, mentre frequenza e probabilità di errori vistosi, per eccesso o per difetto, diminuisce con

l’aumentare degli errori stessi: sui numeri che esprimono A torneremo a breve.

E’ opportuno soffermarsi sulla statistica descrittiva, utilizzando i risultati di un esonero che

prevedeva 35 domande. Le risposte dei 244 studenti sono sintetizzati nella tabella a sinistra. La

presentazione dei dati in ordine crescente/decrescente, meglio ancora se espressi come numeri

indici: dividendo ogni risultato per quello medio (somma delle risposte esatte divisa per 244) e

moltiplicando per 100, i risultati oscillano tra 14 198/100!

Possiamo ulteriormente migliorare le informazioni, trasformando le distribuzioni unitarie in

distribuzione di frequenza. Ciò significa raggruppare i dati in classi o intervalli di valori (ci) e

riportare il numero dei casi (frequenza) che ricadono in ciascuna classe. Possiamo passare alla

presentazione grafica, riportando gli intervalli delle classi (ci) in orizzontale e le frequenze (fi)

corrispondenti in verticale. Si ottengono in questo modo una serie di rettangoli (istogrammi) aventi

come base l’ampiezza di ciascuna classe e come altezza la frequenza media corrispondente,

cosicché l’area dell’istogramma esprime la frequenza totale della classe. In questo modo emerge

chiaramente come i risultati della prova presentino un profilo dapprima crescente, sino a un

massimo, e poi decrescente.

La statistica descrittiva mette in evidenza:

- il convergere o meno dei dati verso un valore centrale – il centro della distribuzione – utile

per confrontare le distribuzioni di uno stesso carattere tra diversi universi: i voti d’esame di

varie materie o il reddito pro-capite di professioni diverse.

- La dispersione o la variabilità dei dati intorno a quel valore centrale

Convergenza e dispersione aiutano a cogliere l’ordine latente in quella che a prima vista si

presentava come una congerie di dati eterogenei.

Il valori centrali di una distribuzione posso essere espressi dalla:

- MEDIA ARITMETICA dei dati (Xi), indicata con la lettera m, calcolata dividendo la

somma dei valori per il numero totale dei dati;

- MEDIANA il valore che divide in parti eguali l’insieme dei dati, disposti in ordine di

grandezza. In termini grafici, la mediana divide l’area totale della distribuzione n partii

eguali, con il 50% dei dati per parte.

- MODA il valore cui corrisponde la frequenza più elevata: può non esistere o può non essere

unica: in quest’ultimo caso la distribuzione è plurimodale.

L’informazione fornita dalle medie è inadeguata, in quanto alla stessa media può corrispondere una

variabilità diversa: se due studenti hanno concluso i loro esami con la media del 24, l’uno con una

sfilza continua di 24, mentre l’altro ottenendo 18 in metà esami e tutti 30 nell’altra metà, non si

tratta di un’informazione utile se una maggiore dispersione rivela una discontinuità di rendimento e

quindi di preparazione? La dispersione dei dati (assoluta e percentuale) intorno al valore centrale si

può misurare in vari modi: è utile approfondire come si calcola intorno alla media aritmetica della