Scienza delle costruzioni: teoria orale

MECCANICA DEI SOLIDI

DEFORMAZIONE

Si dica deformazione del corpo la TRASFORMAZIONE che ad ogni punto P della configurazione di riferimento associa un punto Q dello spazio euclideo detto posizione attuale di P γ=f(P) cioè una legge del tipo Q=g(ξ)

In un sistema di riferimento cartesiano avrò:

x¹=ξ²(x,y,z')y¹=ξ²(x,y,z')z¹=ξ²(x,y,z')

N.B. Senza alcuna restrizione le relazioni Q=g(P) includeranno tipi di deformazioni con incognite di essere prive di qualsiasi interesse3 Requisiti di PLAUSIBILITA FISICA della funzione deformazione

1. f è BIONIVOCA (a punti diversi delle config. di riferimento corrispondono punti diversi delle config. attuali).

   Questa restrizione garantisce che non si determinino compenetramenti di materia.

2. f è CONTINUA con f⁻¹ CONTINUA e DIFFERENZIABILE con continuità.

   Questo vuol dire che la deformazione non può avere bruschi salti (ad esempio, il corpo si spezza in due parti). In altre parole le deformazioni del punto P non deve essere tanto diverse da quelle del punto p e P e p sono molto vicini tra loro.

3. PRESERVAZIONE DELL'ORIENTAMENTO LOCALE det F>0(ovvero la deformazione f non deve cambiare l'orientamento della massaanche nel caso delle configurazioni)

Meccanica dei Solidi

Deformazione

Si dice deformazione del corpo la trasformazione che ad ogni punto P della configurazione di riferimento associa un punto Q dello spazio euclideo detto posizione attuale di P, attraverso una legge del tipo:

Q = f(P)

Q = g(ξ)

Q(x',y',z')

P(x,y,z)

In un sistema di riferimento cartesiano avrò:

• x' = f₁ (x,y,z)
• y' = f₂ (x,y,z)
• z' = f₃ (x,y,z)

N.B. Senza alcuna restrizione le relazioni Q=f(P) includeranno tipi di deformazioni con incremento di senso privo di qualunque utilità.

Requisiti di plausibilità fisica delle funzioni di deformazione:

1. f è bionivoca (a punti diversi della config. di riferimento corrispondono punti diversi delle config. attuali).

Questa restrizione garantisce che non vi determinino compenetrazioni di materia.

2. f è continua con f^-1 continua e differenziabile con continuità.

Questo vuol dire che le deformazioni non può avere bruschi salti (ad esempio: il corpo si spezza in due parti). In altre parole le deformazioni del punto non deve essere tanto diverse da quelle del punto più a p.c P o P' esso molto vicini tra loro.

3. Preservazione dell'orientamento locale det F>0

Considero ad esempio un cubo :₀

Q' = β(Q) = {x' = ax = ξy' = by = ηz' = cz = ζ} con a,b,c > 0

I^o CASO

a,b,c > 0 ; ottengo un parallelepipedo (ad esempio come quello in figura)

II CASO

c = 0 ; il cubo si schiaccerebbe in una SUPERFICIE PIANA (come quelle colorate in verde)

III CASO

a,b > 0 ; c < 0 ; RIFLESSIONE (configurazione NON accettabile)

IV CASO

a,b < 0 ; c > 0 ; deformazione FISICAMENTE PLAUSIBILE

Considero adesso il GRADIENTE di pioggia = {

F = g_μ

che in un sistema di riferimento x, y, z è individuato dalle sue componenti:

∇g = ⟸

F =

{ cot → DEF. OMOGENEA

{ cot → DEF. NON OMOGENEA

|det F ≠ 0| → perdita di PERMEABILITA' del MATERIAL

Deve esistere che |det(F) > 0| evitandosi con la riflessione quando esiste |det F > 0| condizione di preservazione dell'orientamento locale : il determinante di una altra MOVIMENTO

gradi g = F (Materiale) att → def. omogeneo

ROTAZIONE

Spostamento (e in campo vettoriale)

Si definisce opportunamente il campo vettoriale

e il vettore ,

=>

C'è una stretta relazione tra deformazione e spostamento

Considero anche un gradiente di spostamento

=

=

Identità fondamentale per l'analisi delle deformazioni

dove è la matrice identità o tensore, si tratta di un'applicazione lineare, definito indipendentemente dal sistema di riferimento utilizzato

Esempio di geometria → applicazione lineare

Fra e due spazi vettoriali su uno stesso campo

Si dice applicazione lineare se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

2. ,

Identità fondamentale per l'analisi delle ,

Traslazione (u = cost)

x'ⁱ = xⁱ + uⁱ

y'ⁱ = yⁱ + uⁱ

z'ⁱ = zⁱ + uⁱ

H = 0

F = I

Rotazione (F = cost) deformazioni assenti

P' = 0 = F (P - 0)

R

[R R^T = R^T R = I con det R > 0]

Analisi locale della deformazione

Consideriamo l'intorno del punto P.

In un intorno di x̄, possiamo approssimare il valore della funzione deformazio