Scienza delle costruzioni: teoria orale

MECCANICA DEI SOLIDI

DEFORMAZIONE (è una funzione)

Si dirà deformazione del corpo la trasformazione che ad ogni punto P della configurazione di riferimento associa un punto Q dello spazio euclideo detto posizione attuale di P.

Q=f(P)

Q=g(ξ)

In un sistema di riferimento cartesiano avrò:

• Q(x’,y’,z’)
• P(x,y,z)

• x’= f₁(x,y,z)
• y’= f₂(x,y,z)
• z’= f₃(x,y,z)

N.B. Senza alcuna notazione le relazioni Q=g(P) individuano tipi di deformazioni con modifiche di senso prive di qualsiasi utilità.

Requisiti di PLAUSIBILITÀ FISICA (della funzione deformazione):

1. f è BIUNIVOCA (a punti diversi della configurazione di riferimento corrispondono punti diversi delle configurazioni attuali).

2. f è CONTINUA con f⁻¹ CONTINUA + DIFFERENZIABILE con continuità.

3. PRESERVAZIONE DELL’ORIENTAMENTO LOCALE: det F > 0

1) DEFINIZIONE di DEFORMABILE. Q=g(P)

2) REQUISITI DI PLAUSIBILITÀ FISICA della funzione deformazione: 1. BIUNIVA (no compenetr )

Considero ad esempio un cubo:

I^o caso

a, b, c > 0 ; ottengo un parallelepipedo (ad esempio quello in figura)

II caso

a = 0 ; il cubo si schiaccerebbe in una SUPERFICIE PIANA (come quelle colorate in verde)

III caso

a, b > 0 ; c < 0 ; RIFLESSIONE (configurazione NON accettabile)

IV caso

a, b > 0 ; c > 0 ; deformazione FISICAMENTE PLAUSIBILE

Considero adesso il gradiente di deformazione F = ∇φ(X)

che in un

sistema di riferimento I individuato dalle sue componenti.

∇φ = [

• ∂f₁/∂x ∂f₁/∂y ∂f₁/∂z
• ∂f₂/∂x ∂f₂/∂y ∂f₂/∂z
• ∂f₃/∂x ∂f₃/∂y ∂f₃/∂z

]= F [

• cost —> DEF. OMOGENEA
• cost —> DEF. NON OMOGENEA

|det F ≠ 0| —> principio di materialità della materia (da formule inf + uva)

Deve essere che det(F) > 0 evitando così la riflessione

quando esiste det F > 0 condizione di preservazione dell'orientamento local

il determinante mi dà anche l'orientamento!

g_d^og = F (matrice) —> det g ^o g. omogeneo

ROTAZIONE