Scienza delle costruzioni: teoria orale

Meccanica dei solidi: deformazione

Si dica deformazione del corpo la trasformazione che ad ogni punto P della configurazione di riferimento associa un punto Q dello spazio euclideo detto posizione attuale di P.

γ = f(P), cioè una legge del tipo Q = g(ξ).

In un sistema di riferimento cartesiano avrò:

x¹ = ξ²(x, y, z')
y¹ = ξ²(x, y, z')
z¹ = ξ²(x, y, z')

N.B. Senza alcuna restrizione le relazioni Q = g(P) includeranno tipi di deformazioni con incognite di essere prive di qualsiasi interesse.

3 requisiti di plausibilità fisica della funzione deformazione

1. f è bionivoca (a punti diversi delle config. di riferimento corrispondono punti diversi delle config. attuali). Questa restrizione garantisce che non si determinino compenetramenti di materia.
2. f è continua con f^-1 continua e differenziabile con continuità. Questo vuol dire che la deformazione non può avere bruschi salti (ad esempio, il corpo si spezza in due parti). In altre parole le deformazioni del punto P non devono essere tanto diverse da quelle del punto p se P e p sono molto vicini tra loro.
3. Preservazione dell'orientamento locale det F > 0 (ovvero la deformazione f non deve cambiare l'orientamento della massa anche nel caso delle configurazioni).

Meccanica dei solidi: deformazione

Si dice deformazione del corpo la trasformazione che ad ogni punto P della configurazione di riferimento associa un punto Q dello spazio euclideo detto posizione attuale di P, attraverso una legge del tipo:

Q = f(P)
Q = g(ξ)
Q(x', y', z')
P(x, y, z)

In un sistema di riferimento cartesiano avrò:

x' = f₁(x, y, z)
y' = f₂(x, y, z)
z' = f₃(x, y, z)

N.B. Senza alcuna restrizione le relazioni Q = f(P) includeranno tipi di deformazioni con incremento di senso privo di qualunque utilità.

Requisiti di plausibilità fisica delle funzioni di deformazione

1. f è bionivoca (a punti diversi della config. di riferimento corrispondono punti diversi delle config. attuali).

Questa restrizione garantisce che non si determinino compenetrazioni di materia.

2. f è continua con f^-1 continua e differenziabile con continuità.

Questo vuol dire che le deformazioni non possono avere bruschi salti (ad esempio: il corpo si spezza in due parti). In altre parole le deformazioni del punto non devono essere tanto diverse da quelle del punto più a p.c P o P' essendo molto vicini tra loro.

3. Preservazione dell'orientamento locale det F > 0.

Considero ad esempio un cubo

₀Q' = β(Q) = {x' = ax = ξ; y' = by = η; z' = cz = ζ;} con a, b, c > 0

• I^o caso: a, b, c > 0; ottengo un parallelepipedo (ad esempio come quello in figura).
• II caso: c = 0; il cubo si schiaccerebbe in una superficie piana (come quelle colorate in verde).
• III caso: a, b > 0; c < 0; riflessione (configurazione non accettabile).
• IV caso: a, b < 0; c > 0; deformazione fisicamente plausibile.

Gradiente di pioggia

Considero adesso il gradiente di pioggia = {F = g_μ che in un sistema di riferimento x, y, z è individuato dalle sue componenti:

∇g = ⟸F = { cot → def. omogenea
cot → def. non omogenea
|det F ≠ 0| → perdita di permeabilità del materiale

Deve esistere che |det(F) > 0| evitandosi con la riflessione quando esiste |det F > 0|, condizione di preservazione dell'orientamento locale: il determinante di una altra movimento.

gradi g = F (Materiale) att → def. omogeneo

Rotazione

Spostamento (e in campo vettoriale).

Si definisce opportunamente il campo vettoriale e il vettore, => C'è una stretta relazione tra deformazione e spostamento.

Considero anche un gradiente di spostamento == Identità fondamentale per l'analisi delle deformazioni, dove è la matrice identità o tensore, si tratta di un'applicazione lineare, definito indipendentemente dal sistema di riferimento utilizzato.

Esempio di geometria

Applicazione lineare fra due spazi vettoriali su uno stesso campo. Si dice applicazione lineare se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

1. ,

Identità fondamentale per l'analisi delle,

Traslazione

Traslazione (u = cost)

x'ⁱ = xⁱ + uⁱ
y'ⁱ = yⁱ + uⁱ
z'ⁱ = zⁱ + uⁱ

H = 0
F = I

Rotazione e analisi locale della deformazione

Rotazione (F = cost) deformazioni assenti.

P' = 0 = F(P - 0)

R[R R^T = R^T R = I con det R > 0]

Analisi locale della deformazione.

Consideriamo l'intorno del punto P.

In un intorno di x̄, possiamo approssimare il valore della funzione deformazione