Scienza delle costruzioni - teoria

Geometria delle aree

Baricentro

Punto in cui si concentrano le coordinate della forza peso secondo gli assi X e Y.

Coordinate: X_G = ^S_Y/_A, Y_G = ^S_X/_A

NB - Se la figura è simmetrica basta trovare solo una coordinata.

Momenti statici

Sono grandezze al cubo [L³]

S_X = ∫_A y dA

S_Y = ∫_A x dA

Quindi: S_X = A · Y_G, S_Y = A · X_G

Momenti di inerzia

Sono grandezze alla quarta potenza [L⁴]

I_X = ∫_A y² dA

I_Y = ∫_A x² dA

(Momento di inerzia = Area · distanza al quadrato)

I_P = ∫_A r² dA

I_xy = ∫_A xy dA

Formula del trasporto (Hoygens)

I_X = ∫_A y² dA + ^T

I_Y = ∫_A x² dA + ^T

Geometria delle aree

Baricentro

Punto in cui si concentrano le coordinate della forza peso secondo gli assi X e Y.

Coordinate: X_G = ^S_Y/_A (momento statico secondo Y)

Y_G = ^S_X/_A (momento statico secondo X)

A = [L²]

NB - Se la figura è simmetrica basta trovare solo una coordinata.

Momenti statici

Sono grandezze al cubo [L³]

S_x = ∫y dA → Somma toria dei singoli sottomomenti statici

S_y = ∫x dA

Quindi: S_x = A⋅ y_G S_y = A⋅ x_G

Momenti di inerzia

Sono grandezze alla quarta potenza [L⁴]

I_x = ∫y² dA

I_y = ∫x² dA

Il momento di inerzia ci informa su quanto una figura è raccolta intorno a un asse. Se I_x > I_y, la figura è raccolta tutta intorno all'asse y.

Momento di inerzia → Area ⋅ Distanza al quadrato

Più il valore è piccolo e più la figura sarà raccolta intorno a quell'asse.

I_p = ∫r² dA → Momento di inerzia polare

Di quanto una figura è raccolta intorno al punto.

∫xy dA → Momento centrifugo (Se ci sono assi di simmetria, è nullo).

Formula del trasporto (Hoygens)

I'_x = ∫y² dA + dA⋅y² (trasporto)

I'_y = ∫x² dA + dA⋅x² (trasporto).

I_x o I_y iniziali più il trasporto, ovvero l'area per la distanza al quadrato dagli assi.

Momenti Statica (S_x e S_y)

Il momento statico rispetto a qualunque retta baricentrica è nullo (in quanto rispetto nulla la distanza tra l'area e la retta passante per il baricentro G).

Quanto detto ha come conseguenza che, se una figura ha un asse di simmetria, il momento statico rispetto a quell'asse è nullo perché è nulla la distanza se il baricentro appartiene a quella retta di simmetria.

Per la proprietà additiva degli integrali è possibile suddividere l'area in tante sottomarce più piccole. Si calcolerà prima il momento statico di tutte le sottomarce e poi si sommeranno per determinare il momento statico di tutta l'area della figura.

Momenti di Inerzia (I_x, e I_y)

I momenti principali di inerzia sono i massimi e i minimi momenti di inerzia rispetto agli assi del baricentro G.

I_x = bh³ / 12

I_y = hb³ / 12 (per figura rettangolare)

Se una figura ha uno o più assi di simmetria, questi saranno assi principali di inerzia.

Dalla proprietà additiva degli integrali è possibile suddividere l'area in sottomarce più piccole e calcolarne i momenti principali di inerzia sormovidei, poi si otterrà il momento principale di inerzia dell'intera figura.

HUYGENS: I_x1 = bh³ / 12 + Area. distanza al quadrato tra i baricati (M. p46-47).

Teoria delle strutture elastiche

Cinematica della trave (Equazioni di congruenza)

La trave per definizione è un corpo rigido

Parametri geometrici per descrivere la cinematica della trave sono:

1. Area
2. Lunghezza della trave
3. Momento di inerzia flessionale x
4. Momento di inerzia flessionale y

Moti di deformazione della trave

Moti deformativi semplici

Moti di sovrapposizione

Vengono sovrapposti due moti semplificati (la trave si allunga e si inflette)

Comportamento assiale o allungamento

Comportamento flessionale (sono prevalenti gli spostamenti di abbassamento e la rotazione della flessione)

Componente torsionale

Modello della trave da Eulero-Bernoulli

Eulero-Bernoulli - Se gli spostamenti sono molto piccoli e la trave è snella si può ...