Scienza delle costruzioni - teoria

GEOMETRIA DELLE AREE

1. BARICENTRO

Punto in cui si concentrano le coordinate della forza peso secondo gli assi x e y.

coordinate: XG = ^S_y/_A (momento statico secondo y / area figura)

      YG = ^S_x/_A (momento statico secondo x / area figura)

NB → Se la figura è simmetrica basta trovare solo una coordinata.

2. MOMENTI STATICI

Sono grandezze al cubo (L³).

• S_x = ∫_A y · dA → Sommatoria di tutti i momenti statici delle singole superfici
• S_y = ∫_A x · dA → “ ” “

AREA PER DISTANZA DAL BARICENTRO

Quindi: S_x = A · yG

   S_y = A · xG

3. MOMENTI DI INERZIA

Sono grandezze alla quarta potenza (L⁴).

• I_x = ∫_A y² · dA
• I_y = ∫_A x² · dA

Il momento di inerzia ci informa su quanto una figura è raccolta intorno a un asse.

Se I_x > I_y, la figura è raccolta “tutta” intorno all’asse x

Più è valiore è piccolo e più la figura sarà raccolta intorno a quell'asse.

I_P = ∫_A r² · dA → Momento di Inerzia Polare (Di quanto la figura è raccolta intorno a un punto)

I_P = I_X + I_Y → momento centrifugo (Se ci pone sull’asse di simmetria il nulla)

4. FORMULA DEL TRASPORTO (HOYGENS)

I_x = ∫_A I_x + d² · A → I_x e I_y iniziali più il trasporto, ovvero l'area per la distanza al quadrato da ogni asse.

I_y = ∫_A I_y + d² · A → “ ”

Momenti Statica (S_x e S_y)

Il momento statico rispetto a qualunque retta baricentrica è nullo (in quanto risulta nulla la distanza tra l'area e la retta passante per il baricentro G).

Quanto detto ha come conseguenza che, se una figura ha un asse di simmetria, il momento statico rispetto a quell'asse è nullo perché è nulla la distanza.

Per la proprietà additiva degli integrali è possibile suddividere l'area in tante sottoaree più piccole. Si calcola prima il momento statico di tutte le sottoaree e poi si sommano per determinare il momento statico di tutta l'area della figura.

Momenti di Inerzia (I_x, e I_y)

I momenti principali di inerzia sono i massimi e minimi momenti di inerzia rispetto agli assi del baricentro.

I_x = bh³ / 12

I_y = hb³ / 12 (per figura rettangolare)

Se una figura ha uno o più assi di simmetria, questi saranno assi principali di inerzia.

Dalla proprietà additiva degli integrali è possibile suddividere l'area in sottoaree più piccole e calcolarne i momenti principali di inerzia. Sommando, poi, si ottiene il momento principale di inerzia dell'intera figura.

Huygens: I_x1 = bh³ / 12 + Area distante al quadrato tra i baricentri.

(M. 46-49)

Prestazioni Statiche dei Vincoli

• Carrello
  • T ≠ 0
  • N = 0
  • M = 0
• Cerniera
  • N ≠ 0
  • T ≠ 0
  • M = 0
• Doppio Pendolo o Cilio
  • N = 0
  • T ≠ 0
  • M ≠ 0
• Incastro
  • N ≠ 0
  • T ≠ 0
  • M ≠ 0

Cedimenti Vincolari

• (Bernulli) Misure di Deformazione:
  1. Deformazione Assiale (ε) (moto estensionale)
  2. Deformazione Flessionale (χ) (curvatura flessionale)
     • Raggio di curvatura

In generale l'inverso del raggio di curvatura è la curvatura di flessione:

Le strutture sono soggette a cedimenti ovvero spostamenti

• Esempio:
  • Rotazione di una struttura isostatica
  • Deformazione di una struttura iperstatica

ε = Δe/e

TRAVE ELASTICA E SISTEMI IPERSTATICI DI TRAVI

EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

PROBLEMA FLESSIONE(-EI v'' = q)

Siccome nella struttura NON è presenteil carico q ma solo una forza flettentediventa:

1) DERIVARE v''

1. -EI v''
2. v'''' = 0
3. v'' = C₄
4. v' = C₁ z + C₂
5. v = C₁ z²/2 + C₂ z + C₃
6. v_o = C₁ z³/6 + C₂ z²/2 + C₃ z + C₄

DERIVANDO SI GENERANOC₁,C₂,C₃,C₄ CHE SONO4 COSTANTI INCOGNITE

2) DETERMINARE IL VALORE DELLE COSTANTI:

CONDIZIONI AL CONTORNO

1. z = 0
2. v(0) = 0 → C₄ = 0
3. ψ(0) = v'(0) = 0 → C₃ = 0
4. ϕ(z) = rotazione oraria negativa
5. z = ℓ
6. F(ξ) = M(ξ)
7. F(0) = ...

INCROCITE:

1. C₄ = -F/EI
2. C₂ = ...
3. C₃ = ...
4. C₀ = ...

v(z) = ...

v(ξ) = Fz³/6EI

v(ξ) = ABBASSAMENTO MASSIMO IN ξ

Teorema dei lavori virtuali

Si definisce lavoro virtuale perché si possono prendere in esame qualsiasi spostamenti purché siano congruenti.

(Sistema equilibrato)

• Lavoro virtuale esterno ➔ è il lavoro che compie il carico o una forza esterna per effetto della trasformazione e delle reazioni vincolari.

Lve = ∫ ₀ ^l (pw + qy) dz + ∫ (Ne.We + Te.ve + Me.φe - No.wo - to.vo + Mo.φo)

• Lavoro virtuale interno ➔ è il lavoro che compiono le forze interne Ni, Ti, Mi.

Lvi = ∫ ₀ ^l Ni.ε dz + ∫ Mi.χ dz

Lavoro virtuale: (Lve = Lvi)

Lv = ∫ ₀ ^l (pw + qy) dz - ∫ (Ne.we.te.ve.) (Me.φe - No.nωt - toνt + Mo.φo) = ∫ ₀ ^l (Ne.we)dz

NB: Tutte le grandette cinematiche sono congruenti e le grandette statiche sono congruenti.

• L, β, γ → ELEMENTI GEOMETRICI CHE INDICANO L'INCLINAZIONE DEL PIANO

• t_x, t_y, t_z → TENSIONI SUGLI ELEMENTI PIANI.

NB LA FORMULA APPENA DETERMINATA PUÒ ESSERE SCRITTA IN UN MODO PIÙ SEMPLICE E PRECISO

t_i = _{L β γ} ^t_xt_yt_z = ^θ_xT_xyT_xz + ^T_yxσ_yT_yz + ^T_zxT_zyθ_z

t_nx = L·θ_x + β·T_yx + γ·T_zx t_ny = L·T_xy + β·σ_y + γ·T_zy t_nz = L·T_xz + β·T_yz + γ·θ_z

^t_nxt_nyt_nz = ^{θ_xT_yxT_zx T_xyσ_yT_zy T_xzT_yzθ_z Lβγ}

t_n t_i n

FORMULA FONDAMENTALE DEL TEOREMA DI CAUCHY → t_n = T_i·n

NB → RICORDARE CHE IL VETTORE TENSIONE t_n HA DUE COMPONENTI NELLE QUALI SI PUÒ SCOMPORRE:

1. COMPONENTE NORMALE θ_n
2. COMPONENTE TANGENZIALE T_t

(t_n = θ_n·n + T_t·n)