Scienza delle costruzioni [teoremi]

TRAVI

• TRAVE DIRITTA, LE AZIONI INTERNE
• EQL INDIPENDENTE DI EQUILIBRIO
• PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
• AZIONI, FORZE, SPOSTAMENTI
• CINEMATICA DEI CORPI DEFORMABILI
• SPOSTAMENTI CONGRUENZE, IPOTESI - COEF. DI CONVENIENZA, COEFFICIENTI
• STATICA DEI CORPI DEFORMABILI
• INTERSEZIONE VIA CAUCHY
• EQUILIBRIO
• CERCHIO DI MOHR
• CARATTERIZZAZIONE ARBELOZ

• LEGAME COSTITUTIVO
• LEGGE DI HOOKE MATERIALI ISOTROPI, SOVRAPPOSIZIONE EFFETTI
• TENSIONE MEDIA, ASPETTI ENERGETICI
• DE SAINT VENANT
• IPOTESI, POSTULATI
• FORZA NORMALI
• LINEA ELASTICA ASSIALE
• FLESSIONE
• TENSIONI GENERALI, DEFORMATA ASSE FLESSURE E P. al contorno

• PRESSO, TENSO FLESSIONE
• NAVIER
• FLESSIONE M TAGLIO (TORSIONE)
• PRESSIONE
• SEZIONE GENERICA, RETTANGOLI ALLUNGATI, SEZIONI TUBOLARI, CHIUSE
• SEZIONE APERTA E CHIUSA
• P.V - CORPI DEFORMABILI
• CRITERIO DI CRISI
• PLASTICITA, TRESCA, VON MISES

Quindi possiamo dire che:

P_(z) = 0 → T = cost → M = lineare

P_(z) = cost → T = lineare → M = parabolico

P_(z) = lineare → T = parabolico → M = cubico

N'_(z) + q_(z) = 0

T'_(z) + P_(z) = 0

M'_(z) + P_(z) = 0

Analisi locale della deformazione

Andiamo a studiare cosa accade nell'intorno del punto P₀ dove poniamo il nostro sistema di riferimento per semplicità (P₀ = (0, 0, 0))

Siccome P' è molto vicino all'origine di cui conosco tutto, il suo spostamento può essere calcolato a partire da P₀ con lo sviluppo di Taylor

U(p) = U₀ + ^∂u⁄_∂xx + ^∂u⁄_∂yy + ^∂u⁄_∂zz + ¹⁄₂ ^∂2u⁄_∂x²x² + ¹⁄₂ ^∂2u⁄_∂y²y² + ¹⁄₂ ^∂2u⁄_∂z²z².....

Ha essendo spostamenti infinitesimi considero solo i termini di ordine inferiore quindi ragiono anche per V(p) e W(p)

V(p) = V₀ + ^∂v⁄_∂xx + ^∂v⁄_∂yy + ^∂v⁄_∂zz + ....

W(p) = W₀ + ^∂w⁄_∂xx + ^∂w⁄_∂yy + ^∂w⁄_∂zz + ....

U(p) V(p) = V₀ + ^∂u⁄_∂x ^∂u⁄_∂y ^∂u⁄_∂z ^∂v⁄_∂x ^∂v⁄_∂y ^∂v⁄_∂z ^∂w⁄_∂x ^∂w⁄_∂y ^∂w⁄_∂z ^{y z}

Gradiente di £S(p)

Per scrivere ∇s definiamo altre due matrici

CALCOLIAMO IL PRODOTTO SCALARE DA EGUALIARE

(P¹·Q¹)·(P¹·Q¹) =

= (1 + _∂u/_∂x) x (1 + _∂v/_∂y) x (1 + _∂w/_∂z)

= [ (1 + _∂u/_∂x)_∂u/_∂y + _∂v/_∂x(1 + _∂v/_∂y) + _∂³w/_∂x∂y ]_xy

= ( _∂u/_∂y + _∂v/_∂x )_xy

(P¹·O¹)·(Q¹·O¹) = |P¹·O¹| |Q¹·O¹|cosα_xy

(_∂u/_∂y + _∂v/_∂x)_xy = γ_xyx_y

γ_xy = _∂u/_∂y + _∂v/_∂x

EQUAZIONE DI CONGRUENZA PER GLI SCORRIMENTI ANGOLARI

ANALOGAMENTE PER LE DIREZIONI XZ E ZY

γ_xz = _∂u/_∂z + _∂w/_∂x

γ_zy = _∂w/_∂y + _∂v/_∂z

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

ANDIAMO A VEDERE COME IL TENSORE DELLA TENSIONE DIPENDE DALLA TENSIONE DI UN PUNTO.

ISOLIAMO UN CUBETTO ELEMENTARE ALL'INTERNO DEL CORPO METTENDO IN EVIDENZA LE AZIONI DIRETTE LUNGO L'ASSE X E SCRIVENDO L'EQUILIBRIO DELLE FORZE ALLA TRASLAZIONE CASO PIANO

σ_x(x+dx,y,z) = σ_x(x,y,z) + ∂σ_x/∂x dx + ...

τ_yx(x,y+dy,z) = τ_yx(x,y,z) + ∂τ_yx/∂y dy + ...

- σ_x dx dy + (σ_x + ∂σ_x/∂x dx) dx dy - τ_yx dx dz + (τ_yx + ∂τ_yx/∂y dy) dx dz - τ_zx dx dy

+ (τ_zx + ∂τ_zx/∂z dz) dx dy + X dx dy dz = 0

SEMPLIFICANDO E TRASCURANDO GLI ORDINI INFINITESIMI:

∂σ_x/∂x + ∂τ_yx/∂y + ∂τ_zx/∂z + X = 0

ANALOGAMENTE LUNGO Y E Z

• ∂τ_xy/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_zy/∂z + Y = 0
• ∂τ_xz/∂x + ∂τ_yz/∂y + ∂σ_z/∂z + Z = 0

➡ div τ̅ + b̅ = 0

IMPONIAMO L'EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE

Caratterizzazione del cerchio di Mohr

andiamo a considerare sul cerchio di Mohr i punti relativi ad α = 0 e α = π₂ ovvero le direzioni di taglio degli assi x e y e calcoliamone i valori:

x =

• σ_x
• τ_xy
• -τ_xy
• σ_y

il segmento xy rappresenta un diametro del cerchio di Mohr quindi possiamo disegnarlo:

x =

• σ_x
• τ_xy

y =

• σ_x
• σ_y

per conoscere le posizione di P_σ si usa un angolo β e si sfruttano le proprietà del prodotto scalare:

R²cos2α = (P-C)_x(X-C)_x

R²cos2α =

• (σ̄_n-σ̄_x) + (σ̄_y-σ̄_x̄)
• (σ_xy)

=

• | (σ_x - σ_y)cos2α + τ_xysin2α
• (-σ_xycos2α - τ_xysin2α)

R²cos2α ⇒ β = 2α

esiste anche un altro metodo che vedremo nella costruzione del cerchio di Mohr, è un metodo geometrico che sfrutta un importante proprietà dei cerchi di Mohr

Materiale isotropo

Un materiale si dice isotropo quando conserva le sue caratteristiche e le sue proprietà lungo ogni direzione.

Questo materiale è governato solo da due costanti elastiche: la E ed ν poiché sia il tensore ε ed il τ possono essere scomposti in una parte sferica ed una deviatoria.

E = _τ ε → γ

Il modulo di Poisson tiene conto del fatto che allungando una direzione le altre due si restringono, altrimenti ci sarebbe un aumento di massa.

Applichiamo questa ipotesi ad un generico solido tridimensionale

ε_x = σ_x / E

ε_y = ε_z = - ν ε_x = - ν σ_x / E

• ε_y = σ_y / E
• ε_x = - ν ε_y = - ν σ_y / E
• ε_z = σ_z / E
• ε_x = ε_y = - ν ε_z = - ν σ_z / E

Se lo sollecito contemporaneamente da tutte le σ gli effetti si sovrappongono

ε_x = σ_x / E + ν (σ_x + σ_y + σ_z)

ε_x = ¹/_E [ (1 + ν)σ_x - νI₁ ] ^*

Sommario le 3 deformazioni:

ε_x + ε_y + ε_z = ¹/_E [ (2 + ν)I_I - 3νI_dev ] ma ε_x + ε_y + ε_z = Θ

Θ = ¹/_E I₁(1 - 2ν) ⇒ I₁ = ^σ/_Ε(1 - 2ν)

Riprendiamo la 1^o espressione e richiamiamo questa volta σ_x *

σ_x = ^{Eε_x + νΘ} / _{1 + ν}, chiamiamo

G = ^E/_{2(1 + ν)}

λ = ^νE / _{(1 + ν) (1 - 2ν)}