Scienza delle Costruzioni - Metodo di Mohr

Metodo di Mohr

Il metodo di Mohr permette:

1. Di determinare la deformata della trave v(z) senza usare la linea elastica
2. Di determinare le rotazioni della trave ψ(z)
3. Se i₁ > 0, di risolvere la trave

Come?

La trave assegnata dal problema è detta trave reale. Per questa trave:

dψ/dz = X = M/EJ

dv²/dz² = -X = -M/EJ

Alla trave reale associo una trave fittizia, ottenuta da quella reale tramite “Corollari di Mohr”.

• -ψ = T^*
• -v = M^*

Per questa trave si pone:

d_p/d_z X M^/ES ... q^*

d²M/d₂z² = -d²x/d₂z ... -q^*

T*_/dz ... -q^*

La trave è inflessa.

Dopo di che, avendo fatto queste premesse, tutto è pronto per determinare la soluzione. Innanzitutto occorre distinguere fra travi isostatiche e travi iperstatiche.

Travi isostatiche (I = 0)

• Risolvere la trave reale, ovvero ne trovo: Rv → N, T, M
• Mi interessa M(z)
• Costruisco una trave ausiliaria e ci applico un q*...
• Mes
• Risolvere la trave fittizia, ovvero trovo: Rv* → N*, M*, T*
• So che: T* = -ψ M* = N*

Travi iperstatiche (I > 0)

• Trovo la struttura primaria con la sua X
• Risolvere tale struttura a meno della X
• Ne trovo M(z) a meno della x
• Trovo la trave ausiliaria
• Sarà ℓ>0
• Determino come si muove.
• Sulla trave ausiliaria pongo q_∗=-M_es
• E impongo equilibrio dei carichi =>x
• Risolvo daccapo

Trovare la trave ausiliaria

Definizione:

La trave ausiliaria è ottenuta cambiando i vincoli della trave reale. Se un vincolo della trave reale pone condiz su y o ψ, nella trave ausiliaria il vincolo corrispondente deve imporre le stesse condizioni a M* e T*.

Proprietà:

• Se l = 0 nella trave reale, l = 0 nella trave fittizia
• Se l > 0 nella trave reale, l > 0 nella trave fittizia, tante volte quanto la reale è iperstatica. E viceversa.

Vincoli perfetti

Vincoli esterni:

1. n_x ≠ 0 ψ ≠ 0 M ≠ 0, T ≠ 0; ↑ R_v
2. n_x = 0 ψ ≠ 0 M = 0 T ≠ 0 H_v ↑ R_v
3. n_x = 0 ψ ≠ 0 M = 0 T ≠ 0 M_v
4. n_x ≠ 0 ψ = 0 M ≠ 0 T = 0

5) ν = 0 ψ = 0 ν = M = 0 ψ = T = 0

6) ν = 0 ψ = 0 M = 0 T = 0

Vincoli interni:

1. n_s = n_D = 0 Δψ ≠ 0 → ψ_s = ψ_D M_s = M_D = 0 T_s = T_D
2. n_s = n_D = 0 ψ_s ≠ ψ_D n_s = n_D = 0 M_s = M_D = 0 T_s ≠ T_D
3. n_s ≠ n_D ψ_s = ψ_D = 0 ⟶ M_s ≠ M_D T_s = T_D = 0

È un doppio pendolo a terra. Il vincolo introduce dall'esterno solo un momento.

Vincoli cedevoli

Esercizio

1. ℓ_t = 0 ↑_t = 0 Risolvo la struttura solidificando la molla.

V_A = PM_(A) = M_A + Pℓ = 0

M_(ℓ) = P ℓ + P_z

3. Trave ausiliaria:

Ma non era un incastro! Era un incastro cedevole alla rotazione!

Cosa c'era prima? Prima c'era una rotazione! Il suo valore? = ± ¹/_k Ma = ¹/_k P_L

Ma qual è il suo segno? Ma < 0 Ovvero gira in senso antiorario gira in senso orario orario è negativo Ora (0) = -T*(0) T*(0) > 0

Rigidezza infinita

X = ^m/_E3 = 0 Per quel tratto non c'è carico.

Comportamento con i carichi qualsiasi

So perfettamente come comportarmi con:

1. Carico uniforme
2. Carico triangolare

Ma quando non si sa dove, il carico è applicato può essere un problema.

Q = ^l∫₀ ^qz2/₂ - ^qz3/₆ ^l|₀ = ^ql3/₆ T*(z) - ^ql3/₆ + ^qz3/₆ |^l₀ T*(z) - ^qz3/₆ |^l₀ Più difficile è il momento!

M(z) = ? Ora, dove il carico raggiunge il massimo? Se parto da qui, subito!

M(z) = ₀∫^ℓ q*z = [₀| qz³/₂ = qz⁴/₈ ]^ℓ

Dunque M_B = ql⁴/₈ positivo.

Dall'altra parte?^{qℓ4/₈ - qℓ3/₆}

Dove raggiunge il massimo z, adesso? Per z = ℓ qℓ⁴/₈ - qℓ³/₆ + ₀∫^ℓ q*(ℓ-z) dz = [ ^{qz2/₂ e qz3/(ℓ-z) ]ℓ}= _{qz²/2 ℓ - qz³/2 = = [ | ℓ qz³ ℓ/6 - qz⁴/8 - ∅}

Trave ausiliaria

Q = ∫₀^ℓ (qℓz/2 - qz²/2) -= ∫₀^ℓ qℓ/4 z² - qz³/6 = 3/12 qℓ³ - qℓ³/12

V_A = V_B - 1/2 , Q = qℓ³/24

Dove raggiunge il massimo? z = ℓ/2, M(z) = qℓ³/24 z - ∫₀^ℓ 9 * (ℓ/2 - z) -- qℓ³/24 z - ∫₀^ℓ (qℓ/2 z - qz²/2) (ℓ/2 - z)z qℓ³ / 24 ∫₀^ℓ/2 (qℓ₂ - qz² / 2) (ℓ / 2 - z)= qℓ³ / 24 ∫₀^ℓ/2 qℓz - qlz² / 2 - qℓz² / 2 + qz³ / 2= qℓ³ / 24 z qℓz² / 4 - 3 / 4 qlz² + qz³ / 2= qℓ³ / 24 ∫₀^ℓ/2 qℓz³ 16 / 3 qlz³ / 8 qz⁴= z = 1 qℓ⁴ / 48 - qℓ⁴ / 64 + qℓ⁴ / 24 - qℓ⁴ / 128 = 5 / 384 qℓ⁴

- FINE -

Trave: La trave è un solido in cui una dimensione (cioè L) prevale sulle altre due (B ed h). Noi, perciò, la rappresenteremo con il suo asse.

Forze: Alla trave sono applicate delle forze. Esse possono essere concentrate, distribuite. La trave effettua rotazioni e traslazioni.

Vincolo: Il vincolo impedisce alla trave di avere atti di moto.

• 2 Traslazioni
• 1 Rotazione

Tipi di vincolo:

1. Pendolo: &partial;u₁ = 0 V₁ ≠ 0
2. Cerniera: &partial;u₁ = 0 &partial;u₂ = 0 V₁ ≠ 0 V₂ ≠ 0
3. Bipendolo: &partial;u₁ = 0 &partial;u₃ = 0 V₁ ≠ 0; V₃ ≠ 0
4. Incastro: du₁ = 0 du₂ = 0 du₃ = 0 V₁ ≠ 0 V₂ ≠ 0 V₃ ≠ 0

Ps "Bipendolo improprio" è di molteplicità 1 perché impedisce la sola rotazione. Non ha centro di rotazione, o meglio: può essere dappertutto.

Esercizi d'esame

i = 0

Esercizio 1

1. Per prima cosa è necessario determinare.

Analisi cinematica: 3N - v = l - i 3 x 2 - (2 + 2 + 2) = 6 - 6 = 0

Analisi di l: l = 0 ⇒ i = 0

C_1∞ → G_1∞ C₂ La trave è isostatica.

2. Risolviamo la trave. A mX B M_B L ⇒ V_A = 0 H_B = 0 M_A = ... mL ⇒ V_C = 0 M(C) = M_B = 0

Conclusione: (m) m' Diagramma del momento m_I M(z)

3. A questo punto è necessario determinare la TRAVE AUSILIARIA v₀ = 0 ψ = 0 v_S ≠ v₀ ψ_S - ψ₀ = 0 v₁ = 0 ψ₁ ≠ 0 Eccola: lll/2

4. La trave ausiliaria è poi caricata con un carico q^*. q^* = - M(z)/E_S + m₁/E_S per z ∈ (0, l/2) Q q^* M_B H_C V_C Risolveriamola.

Q̅ = ∫₀^L/2 q* dz = |₀^L/2 q* z = ^mL/_ES2 H_C = 0 V_C = - Q̅ = - ^m/_ES2 M_(A) - Q̅_L/ ₄ + V_C2L + M_B = 0

^mL2/_EJ8 - ^mL2/_ES + M_B = 0

^mL2/_ES (1/8 - 8/8) = - M_B + ^mL27/_ES8 = M_B

5. Scriviamo T(z)* e M*(z). Infatti, per i corollari di Mohr:

T*(z) = ϕ(z) M*(z) = n(z)

⇈⇈⇈⇈- - - - - - - ⇀ ^7mL2/_8ES | ^mL/_ES2 T^*(z)_m⁄_E5 zz &in; (0, L⁄₂)

Da qui in poi c'è solo q Appic in z = L⁄_4mL⁄₂E5M^*(z)_mL²⁄₂E5

Da destra: - _mL⁄₂E5 z, z &in; (0, L) - _mL⁄₂E5 z + 7_mL²⁄8E5, z &in; (L, 3L⁄₂)

z = L _mL²⁄E5 ( (-4 + 7)⁄8 ) = -3_mL²⁄8E5

z = 3L⁄_{2 m}L²⁄E5 ( (-6 + 7)⁄8 ) = - 1_mL²⁄E5

- _mL⁄₂E5 z + 7_mL²⁄8E5 + _m⁄E5 (z - 3L⁄₂)² z &in; (3L⁄₂, 2L)

z = 2L - _E5 + ^{7 mL2}_{8 E5} + ^m_2E5 ^{(4 - 3 L )2}₂L₁^{m 1}L²_2E54

- ^mL2_E5 + ^mL2_E5 = 0

^mL2_{8 E5}

I risultati sono VEROSIMILI.

Da sinistra:

^mz2_E52 z ∈ (0, L₂) z = 0 ⟹ 0

z = L₂ ⟹ ^{m L2}_{E5 8}

^Q(z - L₄) z ∈ (L₂, L) z = L ^{mL2 3}_E52 4 = ^{3 mL2}_{8 E5}

^Q(z - L₄) + ^{7 mL2}_{8 E5} z (L, 2L) z = L ^m3L2_E58 - ^7mL2_{8 E5} - ^mL2_{E5 2}

ATTENZIA z = 2L ^mL2_E5 ^{7 7mL2}_{8 8 E5} 0

- FINE -

Esercizi per il 10

Esercizio:

1. ℓ = 0 i = 1 È IPERSTATICA

2) Determiniamo la struttura principale equivalente. La risolvo malgrado la x:

V_A + x ⋅ qL = 0 ⇒ V_A = qL - x

M(ℓ) = M_A + V_Aℓ - qL²/2 = 0

M_A + qL² - xL - qL²/2 = 0

M_A = xL - qL²/2

3. Determino M(x) malgrado la x. M(z) xz - ^qz2/₂, z ∈ (0,L)

4. Adesso costruisco la TRAVE AUSILIARIA: La trave può ruotare attorno al punto A. Pertanto, determiniamo l'EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE.

q* = - ^{xz + qz2/₂}/_ES ⇒ Q = ∫₀^l - ^{xz + qz2/₂}/_ES = - ^xz2/_2ES + ^qz3/_6ES |₀^L

M*(z) = -∫₀^l - ^xz2/_2ES + ^qz3/_6ES + [^-xz3/_2ES + ^qz4/_6ES] = = ^xz3/_6ES - ^qz4/_24ES - ^xz3/_2ES + ^qz4/_6ES = 0

x ₆ - ql ₂₄ - x ₂ + ql ₆ = 0

x _{1 · 36} + ql ( -₁ + ₄₂₄ ) x (₁₃) = ql ^3₂₄

x = ql ^3₈ ⬅- FINE -

Come fare?

1. La trave è iperstatica; i = 1

Scelgo, come incognita iperstatica V_B = x₁, V_A = qL - x₁

M_A = (qL - x₁)L - qL²/2

M_A = qL²/2 - x₁

Trascriviamo M(z) - qL²/2 + x₁ + (qL - x₁)z - qz²/2

Ovvero: - ql²/2 + x₁ + (ql - x₁)z - qz²/2

Per z=0 ⟹ x₁ - ql²/2

Per z=l ⟹ - ql²/2 + x₁ + ql² - x₁ - ql²/2 ↑ ql²/2

Dove si annulla? - ql²/2 + x₁ + ql z - x₁ z - qz²/2

È troppo complesso! Dove ha il massimo? ql - x₁ 2qz = 0 2qz = ql - x

Poi impongo l'equilibrio a momento usando l'integrale. Infatti non so dove raggiunge il massimo. Nella pratica vedo che uso l-z perché immagina (ed è vero) che il massimo sia in z=l

Ovvero: ∫₀^ℓ q*(ℓ-z) = ∫₀^ℓ -qℓ²₂ + x₀1 + qℓz - x₀1z - qz²₂(ℓ-z) = ∫₀^ℓ - qℓ³₂ + x₀1² + qℓ²z- x₀1z1 - qℓz²₂ + qℓ²z₂ - x₀1z - qℓz² + + x₀1z² + qz³₂ == -qℓ⁴₂ + x₀1³ + qℓ⁴₂ - x₀1² + qℓ⁴₆ ++ qℓ⁴₄ - x₀1²₂ - qℓ⁴₃ + x₀1³ + qℓ⁴₈ == -qℓ⁴₆ + qℓ⁴₄ - qℓ⁴₃ + x₀1³₃ + qℓ⁴₈ == qℓ⁴ (^{-4 + 6 - 8 + 3}/₂₄) - x₀1³₃ ⇒ qℓ³₈ = x₀1

Esercizio

1. La prima cosa da fare è determinare i.

Analisi cinematica: 3n - v = l - i 3 x 2 - (2 + 2 + 3) = 6 - 7 = -1

Analisi di l: l = 0 => i = 1

La trave è IPERSTATICA.

2. Struttura principale equivalente.

M_B = x M_A = x - m

3. Diagramma dei momenti. x-m m

4. Trave Ausiliaria: l=1 La trave trasla verticalmente.

Dunque: q^*₁ = ^x-m/_E3 z ∈ (0, ^L/₂)

Q^*₁ = ^(x-m)L/_E3 ^L/₂

q^*₁ = ^x/_E3 z ∈ (0, ^L/₂)

Q^*₂ = ^{x L}/_E3 ^L/₂

q^*₃ = ^x/_E3 z ∈ (0, L)

Q^*₃ = ^{x L}/_E3