Scienza delle costruzioni - iperstaticità e labilità di una struttura

COME DETERMINARE LA LABILITÀ E L'IPERSTATICITÀ DI UNA STRUTTURA

SCHEMA DI LAVORO

Il nostro scopo è, data una struttura, determinare:

• LABILITA'
• IPERSTATICITA'

Per prima cosa occorre ricordare che:

• I carichi non hanno alcun rilievo ai fini del calcolo di f ed i;
• Se la struttura presenta una delle seguenti particolarità; andare a vedere come si risolve nel paragrafo relativo:

• SIMMETRIA
• PLURICONNESSO
• TRAV. RETICOLARE

Adesso si può procedere a risolvere il problema:

1. STUDIO CINEMATICO:

Occorre solidificare la struttura.

• Ovvero: Se contiene cedimenti elastici =>, si solidificano le molle.
• Se contiene cedimenti anelastici =>, si eliminano.

Poi si applica l'equazione: 3N - r - l - i.

PS.

• V_T = V_e + V_r - uniscono le aste
• L_T collegati a terra

C₁

C_∞

"Biradere improprio" Ha molteplicità 1, perché impedisce la sola rotazione. Non ha centro di rotaz, o meglio: può essere dappertutto.

INTERNAMENTE

Tutta la trave è un "unico corpo" fermo purché la maglia è triangolare

ESTERNAMENTE

l_e = 0

i_e = 0

VARIANTI:

• 2⋅6-(9+4)=-1 è iperstatica Dentro è un pezzo solo!

• l_t = 0 => i_t = 1

• 2⋅6-(10+4)=-2

• NON SI TOCCANO

3. Trovare la STRUTTURA PRINCIPALE => lasciare i_e = 0 e portare i_i = 0

C'OME?

• TOGLO 1 vincolo
• TOGLO 1 asta

1. TOGLIENDO UN'ASTA QUALUNQUE, AUMENTO LA LABILITÀ => LE ASTE NON SONO SOVRABBOND.

2) PLURACONNESSI

3) SIMMETRIA

CONTO DELLE SIMMETRIE!

Ho una doppia simmetria:

1. →P
2. ⇨P

3-4 ℓ-v-u=4ℓ=0 per i centaiu=1

Ma il vero ℓ=3Ma il vero u=1 → la simmetria mi ha abbassato ℓ

CONCL:

3 v-u=ℓ-u

• ℓ è sempre vero
• Analisi statica
• Metà struttura

Es. "Vincolo Esterno"

₁₎

Se non avessi vincoli dovrei mettere un

Dove N≠0 M≠0 ν≠0

Dunque, carrello T≠0

Concl:

N≠0 M≠0 T≠0

₂₎

Dunque, carrello T≠0

Concl:

Es. ℓ rappresenta il numero di componenti di ∂±0?

Es. ∂=0 La struttura non è labile ℓ=0

Ma i vincoli sono appena suffic. a bloccare il

movim o ne posso togliere qualcuno?

Nella pratica, però; useremo questa equazione:

3N-n_r = ℓ+1

Trova il valore di ℓ

Ma non mi basta: voglio conosc.

Anche come si muove e chi si muove

Ecco che analizzeremo la travat.

ₐₐ pezzo per pezzo

Es. ∂₁ ≠0

∂₄ = 2∂₁≠0

∂₄ dipende da ∂₁ ⇒ si muovono insieme

ℓ=1 ugualmente

Es. ∂₁ ≠0 ⇒ Stavolta ho 2 pezzi che posso sceglie.

∂₄ ≠0 re a caso.

ℓ=2

Concl: Attenzione!

La matrice dunque è troppo complessa per poterla usare

3t-s>0 labile

3t-s<0 iperstatica

3t-s=0

occorre verificare con i centri

Analisi dei Centri

Quando i centri sono allineati, il sistema può compiere atti di moto. Quindi è labile.

Se la posizione dei G allineati può essere 1 volta labilità: Se fissato G₁ trovo un altro 2 volte labilità.

Teoremi Catene Cinematiche

1. Ho 2 aste i e r_n.

2. Vincoli Esterni: C_ass Vincoli Interni: C_rel

3. Vincoli Doppi: Fissano le posizioni Vincoli Semplici: Fissano la retta su cui si trovano Bipendolo: Fissano all’infinito

FINE * Se le aste sono 2, devono coincidere

Es 2

C₁₂ C₂₃

I

II

III

A

B

Aggiunta Successiva

Es 3

C₁₂ II

I

∞ C₁

A

= ϕ

"Strutt. simmetr. ed emisimm."

Vediamo, per prima cosa, che cos'è una struttura simmetrica o emisimmetrica.

1. Una struttura è simmetrica quando la parte destra è l'immagine speculare della sinistra. Se la struttura è anche caricata simmetricamente, è simmetrica.

Es.

2. Una struttura è emisimmetrica se presenta simmetria geometrica, ma è caricata emisimetricamente (ovvero, cambiando i versi da un solo lato dell'asse di simmetria, la struttura è simmetricamente caricata).

Es.

Poiche' e' un pezzo solo,

dev'esserci un C₁.

Può' essere C₁ sia sulla cer-

niera che sulla retta del

cavalletto? NO!

Concl: i_t = 0 ; i_q = 0!

Es.

Ho 2 travi collegate da un vincolo in B

3 N - v ; 2 x 3 - [2 + 2 + 1 + 1] + 1 ; 6 - 7 - 1

i_t - i_q = -1

i_q > 0 => iperstatica

Troviamo i_qDevo trovare C₁, C₂ e C₁₂

C₂ non esiste => il pezzo 2 e' fermo. Dunque fisso a terra

Concl: ℓ=0, ν=1;

2. Considero le 2 aste verticali come 2 pendoli

   3N-ν-ℓ-1

   3x2 [3+ℓ+1+1] = 6-7-1

   Analisi:

   L'asta 1 è ferma.

   La struttura diventa:

   3N-ν=3-4-1

   C₁ non può stare nella cerniera e all'infinito, dunque non esiste

   ℓ=0; ν=1

Metodo Statico:

Solo metà struttura:

Fase Seconda: Strutt. Princ.

Altro Es.

1. 3N-nv: 3.3-[6+2] = 1 ⟹ l_t.i=l_t l_i 0 l_t O Labile
2. Troviamo l_t;

• Pezzo 1

Non considero il bipendolo: è interno!

È una volta labile l_t-1 esternam.

Lo blocco, ricordando che l_t-1

• Pezzo 2 e 3

I centri sono allineati! l_t-1

Concl: l_t-1+1-2

Non posso risolverlo con il metodo statico: è labile

Es 2

3N - v: 6 - (3+2+1+1) = 1

l-u = 1

1. L'asta 1 è fermaL'asta 2 non ha centro di rotazione
2. • H_A
   • P
   • V_A
   • M_A
   • V_B
   • V_C

   H_A = 0 x

   V_A + P = V_B + V_C

   M(A) = M_A + V_Bℓ + V_C2ℓ - P_3/2 ℓ = 0

ESPLODO:

• P
• V₀
• V_B
• V_C

V_D - V_B - V_C + P = 0

M(B) = P_ℓ/2 - V_Cℓ = 0 x

3 Equaz e 4 Incognite