Scienza delle costruzioni e Principi di progettazione meccanica

Def: struttura

Solido di forma particolare per il quale lo studio dello stato di deformazione può essere condotto mediante caratteristiche di sollecitazione e deformazione.

Def: caratteristiche

Grandezze medie o globali.

Def: trave

Struttura monodimensionale

Elemento strutturale in cui una dimensione è predominante rispetto alle altre.

Moltissime delle strutture più frequenti possono considerarsi travi o insiemi di travi.

Una trave è caratterizzata da:

• linea d'asse: curva continua nello spazio di lunghezza finita (non necessariamente retta → anche sghemba)

Lo spostamento dell'area lungo la linea d'asse ci dà un solido allungato che è la trave. È però necessario che L >> b(Ο) con L = lunghezza trave, b(Ο) diametro della sezione (massima distanza fra due punti sulla sezione).

(Di solito dicono almeno L > 10 b.) I risultati che otteniamo sono tantò correnti (assumendo che l'oggetto reale soddisfi le ipotesi).

Azioni agenti sulla trave

• Forze concentrate

  (Sono un’astrazione, in realtà sono sempre distribuite eventualmente in un’area piccola)

• Coppie concentrate

  (Si rappresentano come vettori con due punte)

  • Caso puntuale:

    coppia che gira recando la vite destra

  • Caso piano:

    si può rappresentare anche così - coppia che agisce in direzione ortogonale al foglio (con direzione data dalla regola della mano dx)

• Forze distribuite q(x)

  (dimensioni di una forza su lunghezza)

• Coppie distribuite m(x)

CARRELLO

vincolo semplice (fissa una sola componente: cioè la traslazione verticale)

• in questo caso viene fissato uno spostamento verticale nullo
• in questo caso viene fissato uno spostamento verticale di s → m ogni caso è noto

Rappresentazioni analoghe:

Dato che noi consideriamo solo ATTI DI MOTO, considerando solo spostamenti del 1° ordine, si può sostituire il carrello con un pendolo (asta "ideale").

Non stiamo considerando moti di ampiezza finita, bensì infinitesimi.

La reazione generata dal carrello agisce lungo la direzione efficace dello stesso (non si conoscono modulo e verso).

CERNIERA

vincolo DOPPIO traslazionale

• lascia libera solo la rotazione

Disegnato così: impone nulle a terra le componenti traslazionali (tutti necessariamente: quelle orizzontale e verticale). Se ≠ 0 si specificano le (verso e modulo).

H_A + F_x = 0

V_A + F_y = 0

-H_Ay + V_Ax_A + H = 0

=> Per un carico generico il sistema è impossibile

=> La trave è dello staticamente impossibile o ipostatica

Il sistema ammette soluzione se la colonna dei termini noti può essere espressa come combinazione lineare delle altre due (ovvero se la risultante del carico esterno passa per A)

=> _Fx Fy H_A a b X_A

Oss.

Posso però anche operare una sconnessione

3 equazioni 3 incognite

6 equazioni 6 incognite

Espletando le relazioni interne la "qualità" della trave non cambia

Condizioni al contorno:

• \(\int dv_a = 0\)
• \(\int v_a = 0\)
• \(F_{VB} = 0\)
• \(\int w = 0\)

• non trovo un altro di moto rigido
• che non comportante un qualsivoglia termine noto

• ma se può al verificarsi
• allora trovo soluzione \(\sqrt{}\)

Ass. Uno spostamento imposto da un vincolo (cedimenti vincolari) in una trave isostatica non provoca stato di sollecitazione/deformazione ma solo moto rigido

• stesse caratteristiche di sollecitazione (nonostante il cedimento vincolare)

Caso di trave iperstatica

Se impongo un cedimento del vincolo mi nasce uno stato di sollecitazione ne e una deformazione della trave stessa

Caso di trave labile (staticam. imposta tale)

Risolubile solo per particolari condizioni di carico, es. se applico il carico lungo l'asse della trave

Questa trave potrebbe fare questo altro di moto

Se la trave può “allungarsi” lo farà di sè

che nel caso della trave rigida da noi analizzata essa può fare solo atti di moto e non moti finiti

• \(P\)
• \(c\)
• \(cos \alpha = \frac{d}{L}(1-cos\alpha)\)
• \(dE = L(1-cos\alpha)\)
• \(d = \frac{L}{2} - L\)

In qst caso si hanno 4 gradi di libertà (3 per la prima e 1 per la seconda) → a me interessa avere il minimo numero di gdl con cui lavorare

Bisogna quindi aggiungere un'ulteriore equazione di equilibrio (oltre alle tre della statica per la 1a trave) che corrisponda al grado di libertà di moto relativo → "equazione ausiliaria" (una per ciascuna connessione interna)

L'idea è che se lo spostamento è impedito ⇔ reazione ≠ 0se è permesso ⇔ reazione = 0

es.Spostamento impedito: traslazione verticale→ si ha allora una reazione vincolare verticale

Spostamento permesso: traslazione orizzontale e rotazione→ le relative reazioni vincolari sono nulle

Eq. ausiliaria → l'impiego dei vincoli nell'azione interna che compie lavoro per l'atto di moto rigido relativo consentito dalla sconnessione

∑H = 0∑V = 0∑M = 0M_B = 0equilibrio dei momenti rispetto a un polo qualsiasi (riguarda la trave nel suo complesso)

c.d.r. (la direzione efficace del carrello passa per la cerniera) => si può muovere

si indica così.

conosce un atto di moto -> il centro di rotazione di una traslazione verticale corrisponde alla direzione verticale

3t - r = l - c

• o    l=1
•          c=1

Come si calcola il grado di libertà di una trave con questa tecnica? Quanti sono gdl di corpo rigido?

7 c => l=0

la trave non possiede gradi di libertà di corpo rigido

7 !c => l=1 (c.d.r. determinato univocamente)

la trave è 1-volta-labile

        ha 1 grado di libertà di corpo rigido

7 c => l=2 (il centro giace sulla direzione efficace del carrello). C è 1-volta-determinato

to => trave 2-volte-labile. 2 gde di corpo rigido

7 c => l=3 (il centro giace nel nuovo) => c è 2-volte determinato. 7 trave 3 volte labile

con 3 gde di corpo rigido

Travature Reticolari

Def. Sono dette travature reticolari le strutture composte da aste (costituente?) […] connesse tra loro da cerniere (dette "nodi") e soggette a carichi applicati solamente nei nodi.

Le aste composte ha due cerniere sono assimilate a pendoli ovvero a vincoli semplici.

Oss. Si può definire la configurazione dell'intera struttura specificando la posizione di tutti i nodi, ognuno dei quali ha 2 gdl nel piano.

²gdl per q^m

n° ^{_{(Vext + 2)}} = l - i

n° nodi ^{_{n = aste, considerate}}come vincoli interni

Oss. Le aste sono soggette solo a sforzo normale (no taglio né momento flettente).

Infatti, se isolo una qualunque delle aste della struttura e le applico le reazioni vincolari esterne.

Le strutture reticolari si risolvono in 2 modi:

• equilibrio ai nodi
• sezioni di Ritten

Dovendo essere in equilibrio R_z = 0 e pertanto anche T = 0

Posso calcolare le caratteristiche di sollecitazione applicando il principio dei lavori virtuali!

Calcoliamo il taglio nel punto 3 rimuovendo il relativo vincolo interno

L^* = 0 → T ⋅ α l / 2 + Tₓ α 3/2 l + qℓ² α l / 4 - qℓ² α / 2 ⋅ α ⋅ 5/h l + 2q α lℓ^* / 2 = 0

Analogamente si può fare per calcolare il momento flettente:

L^* = 0 → -H_A - H_B + qℓ α l / 2 + qℓ² α / 4 + qℓ² ⋅ l / 2 ⋅ H_A / 4 + 2q l⋅ l / 2 4 / α / 3 = 0