04 Scienza delle Costruzioni - Pressoflessione

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI PRESSO-FLESSIONE

B

Consideriamo la faccia di una generica trave, sulla quale agisce la forza

L

equivalente assiale F applicata nel punto C, come rappresentato in figura.

Tale forza equivalente genera uno sforzo assiale e un momento flettente.

B

Abbiamo visto che lo sforzo assiale su è dato da:

L

=

N F

L B è dato da:

E che il momento flettente su L

= × =

M r F e ovvero M F ( r )

fL C fL C

Per la soluzione del problema di presso-flessione, ricordiamo che il cilindro è caricato soltanto sulle

t

basi con tante forze , il cui effetto risultante è assimilabile all'

effetto generato da una forza

L

risultante assiale applicata in un certo punto (è un problema di saint-venant).

Dall'

adozione dell’ipotesi di Clebsch Saint-Venant, sappiamo che le componenti del tensore delle

T

tensioni da trovare sono ridotte a 5 (in realtà per la simmetria della matrice, sono 3 le componenti da cercare).

Risolvere il problema di presso-flessione significa trovare una funzione della tensione t (costituita

τ σ

dalle componenti e ) tale che verifichi:

– le equazioni indefinite di equilibrio (a seguito dell’adozione dell’ipotesi di Cebsch-Saint-Venant):

τ ′ = 0 ∞ 3

su tutti gli punti del cilindro C.

′

τ σ

+ = 0

div

– la condizione per la quale il mantello deve essere scarico: µ

τ ν

⋅ = 0 su tutti i punti sul mantello laterale . 5/15

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

– l’equazione:

=

T e t

L L T B

per la quale la tensione sulla base risulta uguale alle forze esterne applicate (ovvero che

L L ∞ 2 B

l’ultima colonna del tensore della tensione è nota) sia valida per tutti gli punti della base .

L

=

T e t

Poiché in realtà di tale equazione ci interessano le componenti, scindiamo l’equazione L L

B

nelle componenti assiali e tangenziali che dovranno valere per tutti i punti della base :

L

σ σ

= =

( z L ) L

τ τ

= =

( z L ) L r

Inoltre, considerando la posizione del punto di applicazione delle tensioni, dovranno essere

x

uguali anche i momenti da esse generati:

σ σ

= =

r z L r

( )

x x L

τ τ

= =

r z L r

( )

x x L

N.B. Le forze a primo membro sono incognite, mentre quelle a secondo membro sono note in quanto trattasi di forze

esterne applicate.

Le quattro equazioni precedenti, espresse in termini di risultanti, danno vita a delle relazioni tra

le forze interne e le forze esterne applicate. In particolare, nel caso della presso-flessione, sulla

B

base devono valere le seguenti relazioni:

L

= =

N Z L F

( ) (lo sforzo assiale N è pari alla forza assiale F risultante applicata)

= =

T Z L

( ) 0 (lo sforzo di taglio T è nullo in quanto sono applicate solo forze assiali)

= =

M Z L F r M

( ) ( ) (il momento flettente è pari alla forza assiale F per il ruotato del vettore

f C f

posizione del punto di applicazione)

= =

M Z L M

( ) 0 (il momento torcente è nullo non ci sono forze tangenziali applicate)

t t σ τ

A questo punto non ci resta che cercare valori adatti di e tali che verifichino tutte le equazioni

precedenti.

La prima equazione indefinita di equilibrio è:

′

τ = 0 τ

Nel caso generale, a seconda del punto in cui viene considerata, la tensione tangenziale può

τ x y z

è funzione di , e .

assumere valori differenti: in particolare τ

′

τ = z

L’equazione di equilibrio, 0 , affermando che la derivata di rispetto a è nulla: in sostanza

τ z

afferma che è indipendente da . Quindi la prima equazione sarà verificata da una tensione

τ z

tangenziale indipendente da : τ

τ τ

→

x y z x y z

( è indipendente da )

( , , ) ( , ) 6/15

4 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI σ

τ σ σ τ

′ ′

+ = = −

div div

L’equazione di equilibrio, 0 , ci dice che la tensione assiale (essendo ) è

′

σ =

z (altrimenti sarebbe stata 0 ).

una funzione dipendente da σ

La seconda equazione di equilibrio sarà quindi verificata da una funzione tensione assiale

x y z

dipendente da , e , cioè:

σ x y z

( , , ) τ x y

Vediamo ora quale funzione ( , ) possiamo scegliere affinché tutte le equazioni precedenti siano

verificate. Nel caso della presso-flessione possiamo scegliere la soluzione più semplice, ovvero

τ =

x y

( , ) 0 : infatti il principio di Saint-Venant ci consente di scegliere una risultante qualunque.

τ =

x y C

In effetti la funzione ( , ) 0 soddisfa sia le equazioni indefinite di equilibrio (su tutto ), sia

T e del momento torcente

l’equazione del mantello (deve essere scarico), sia l’equazione del taglio

B

M sulla base .

t L τ =

x y

Pertanto la funzione della tensione tangenziale deve essere ( , ) 0

σ

Vediamo ora quale deve essere la funzione della tensione assiale .

τ τ

= =

x y div

Avendo scelto ( , ) 0 , nella seconda equazione indefinita di equilibrio avremo che 0 : di

σ

σ =

conseguenza rimarrà il termine ' 0 . Questo significa che dobbiamo una funzione

σ

z x y

, cioè una ( , ) .

indipendente da σ x y

Le equazioni che restano da verificare con la funzione ( , ) sono le seguenti:

σ

= =

N F (è uno scalare)

B σ

= =

M r F r

( ) ( ) (sono due scalari)

f C

B M

In sostanza sono da verificare 3 equazioni in quanto rappresenta due momenti, quindi due equazioni.

f

σ x y

Vogliamo cercare la più semplice funzione ( , ) che verifica queste tre equazioni.

σ x y

Dovendo verificare 3 equazioni, la funzione ( , ) dovrà necessariamente dipendere da 3

coefficienti. La sua forma più semplice è la seguente:

σ = + +

( x , y ) a b x b y

1 2 + a

b x b y

Si tratta di una funzione affine, essa rappresenta l’equazione di un piano ( ) più una costante ( ). Infatti i ter-

1 2

b e b a

mini controllano la pendenza del piano lungo x e lungo y, mentre controlla la posizione del piano.

1 2 = =

b b b

( , ) r x y

Ricordiamo la definizione di prodotto scalare: dati i vettori ( , )

1 2

⋅ = +

b r b x b y

il loro prodotto scalare sarà il seguente: 1 2

σ x y che stiamo cercando, possiamo esprimerla

sostituendo il prodotto scalare nell'

equazione di ( , )

come segue:

σ = + ⋅

x y a b r

( , ) 7/15

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

σ = + ⋅

Andiamo ora a sostituire a b r all’interno delle equazioni che intendiamo verificare.

σ

= =

N F

– Nella prima equazione dalla sostituzione otteniamo:

B

= + ⋅

N ( a b r ) separando gli integrali avremo:

B

= + ⋅

N a b r

B B

Ricordiamo che stiamo integrando sulla base B, cioè rispetto alle variabili x e y. Poiché i

coefficienti a e b sono indipendenti da x e y, possiamo portarli fuori dagli integrali:

= + ⋅

N a 1 b r

B B = =

1 A r S

è l’area del dominio B e che è il momento statico del dominio B,

Osserviamo che B B

possiamo sostituirli all’interno dell’equazione e ottenere:

= + ⋅

N a A b S

Ricordiamo che tale equazione è pari alla forza esterna F:

= + ⋅ =

N a A b S F σ

= =

– Nelle due equazioni rimanenti (contenute nell’equazione vettoriale M r F r ) dalla

f C

B

sostituzione otteniamo:

( )

= + ⋅

M a b r r separando l’integrale:

f B ( )

= + ⋅

M a r b r r

f B B

Ricordiamo la definizione di prodotto tensoriale. Siano due generici vettori u e v:

=

u ( u , u )

1 2

=

v ( v , v )

1 2

Il prodotto tensore tra i due vettori da origine alla seguente matrice:

u v u v [ ]

1 1 1 2

⊗ = ⊗ =

u v u v u v

ovvero, ogni elemento genericamente: ij i j

u v u v

2 1 2 2

Una proprietà del prodotto tensoriale è la seguente:

⊗ = ⋅

(

u v ) w ( v w

) u

Applicando la proprietà del prodotto tensoriale all’equazione e ricordando che a e b sono

costanti rispetto all’integrazione, possiamo riscrivere: 8/15

4 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

= + ⊗

( )

M a r r r b

f B B = ⊗ =

r S è il momento statico e che ( r r ) J è il momento di inerzia della

Osservando che B B

sezione B, possiamo riscrivere l’equazione come segue:

= +

M a S J b

f

Ricordiamo che tale equazione è pari al momento esterno F r :

C

= + =

M a S J b F r

f C

Osservazione

Da notare che per qualunque sezione generica B, le quantità geometriche A (area), S (momento statico) e J (momento di

r

inerzia) sono immediatamente calcolabili. Inoltre la forza esterna F e il suo punto di applicazione sono dati noti del

C

problema. Quindi le uniche incognite da trovare nel sistema di tre equazioni sono a e b: trovati questi due termini, nota

la sezione, la forza applicata e il suo punto di applicazione, siamo in grado di calcolare il valore della tensione in tutti i

punti del cilindro (lontano dalle basi).

Calcoliamo le equazioni di a e b mettendo a sistema le due equazioni appena ricavate:

= + ⋅ =

N a A b S F

= + =

M a S J b F r

f C

Dalla prima equazione ricaviamo il termine a:

⋅

F b S

= −

a A A

Sappiamo che il momento statico S diviso l’area A, è in effetti il baricentro r della sezione, cioè:

G

S = r

G

A

Da cui, sostituendolo nell'

equazione, otteniamo:

F

= − ⋅

a b r

G

A

Andando ora a sostituire l'

equazione di a nella seconda equazione otteniamo:

F − ⋅ + =

b r S J b F r

G C

A

Per ricavare il valore del termine b sviluppiamo il prodotto nella parentesi:

F S S

− ⋅ + = =

( ) da cui notiamo che (sostituiamolo nell'

eq.):

b r S J b F r r

G C G

A A

− ⋅ + =

F r (

b r ) S J b F r portiamo F r a secondo membro e raggruppiamo:

G G C G

− ⋅ + = −

(

b r ) S J b F ( r r )

G C G 9/15