04 Scienza delle Costruzioni - Pressoflessione

4 Scienza delle costruzioni

Sommario

• Pressoflessione .......................................................................................................................... 1
• Forza equivalente e suo punto di applicazione .................................................. 2
• Esempio (Calcolo della forza risultante assiale e punto di applicazione) .................................... 4
• Soluzione del problema di presso-flessione ........................................................ 5
• Semplificazione della formula della tensione ............................................... 10
• – Sistema di riferimento baricentrico ................................................................ 10
• – Sistema di riferimento baricentrico e principale di inerzia .............. 11
• Esercizio ..................................................................................................................................... 12
• Valutazione qualitativa della posizione dell’asse neutro.................... 14

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Scienza delle costruzioni A.A. 2010/2011

Pressoflessione

Nei problemi di pressoflessione consideriamo delle sezioni di trave cui sono applicate esclusivamente forze assiali.

Per l’applicazione del principio di Saint-Venant immaginiamo che, su una sezione quadrata, siano applicate delle forze assiali, la cui risultante avrà i seguenti effetti:

• Se la forza assiale risultante (di trazione) risulta applicata nel baricentro della sezione, essa genera una trazione semplice (allungamento).
• Se la forza assiale risultante (di trazione) risulta applicata in un punto diverso dal baricentro della sezione, allora abbiamo un problema di presso-flessione. In tal caso oltre all’allungamento, la trave è sottoposta anche ad un momento flettente.

Poiché per il principio di Saint-Venant, ai fini della soluzione, conta soltanto la forza risultante, possiamo considerare anche altre forze all’interno della sezione, purché la risultante non cambi: consideriamo ad esempio una coppia di forze virtuali, di segno opposto, applicate nello stesso punto (centrale): possiamo osservare che l’equilibrio non viene modificato in quanto le due forze si annullano a vicenda (principio di Saint-Venant rispettato): tuttavia la forza di segno opposto alla risultante applicata nell’angolo, forma con quest’ultima una coppia di forze in grado di generare un momento flettente.

L’effetto appena descritto è ottenibile sovrapponendo gli effetti di due problemi più semplici:

• Un problema in cui una forza F genera una trazione pura; +
• Un problema in cui una coppia di forze genera un momento flettente.

Forza equivalente e suo punto di applicazione

Consideriamo una sezione cui sono applicate n forze assiali come rappresentata a lato.

F

Dato che le forze sono soltanto assiali, esse possono generare soltanto uno sforzo assiale e/o, se accoppiate, un momento flettente, ma non possono comunque generare sforzo di taglio.

Nf

M f

L’effetto complessivamente risultante da un sistema di forze assiali, è uguale all’effetto dato da una sola “forza equivalente” Feq, applicata in un certo punto che dobbiamo determinare.

La forza risultante è pari allo sforzo assiale ed è così calcolabile:

F = N_eq

n = dove n = numero delle forze

N = F_i i=1

Il momento flettente equivalente, scelto un polo, è così calcolabile:

M_f = r × F_e dove n = numero delle forze

n

M_f = r_i × F_i e₃ i=1

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Denotiamo lo sforzo assiale come la forza equivalente, cioè:

N = F_eq

Se consideriamo la forza equivalente F_eq e la posizione del suo punto di applicazione rispetto al polo stabilito, possiamo esprimere il momento flettente come segue:

M_f = r_Ceq × F_eq e₃ = r_Ceq F_eq ×

dove r_Ceq è la distanza del punto di applicazione di F_eq dal polo.

Andiamo ora a sviluppare il prodotto vettoriale r × F_e scindendolo nelle varia componenti e vediamo cosa succede.

Il vettore posizione r è formato dalle due componenti x e y appartenenti al piano della sezione, quindi possiamo riscrivere:

r × F_e = (x e₁ + y e₂) × F e₃ (n.b. la direzione e₃)

Sviluppando il prodotto vettoriale avremo:

r × F_e = x F e₁ × e₃ + y F e₂ × e₃

Utilizzando le permutazioni dei prodotti vettoriali:

e₁ × e₂ = e₃

e₂ × e₃ = e₁

e₃ × e₁ = e₂ ovvero e₁ × e₃ = −e₂

eseguiamo i prodotti vettoriali e otteniamo:

r × F_e = −x F e₂ + y F e₁

Esprimendo il vettore con le sue componenti:

r × F_e = F (−y, x) ovvero

r × F_e = F (y, x)

Possiamo notare che il prodotto vettoriale tra r (appartenente al piano) e la forza F (normale al piano), equivale al prodotto della forza F per il ruotato di r, cioè:

r × F e₃ = F (r)

Il ruotato di r = (x, y) rappresenta sostanzialmente il vettore r ruotato di 90°, quindi (r) = (−y, x), come raffigurato a lato.

Pertanto il momento flettente può essere espresso come il prodotto della forza equivalente M_f = F_eq (r_eq) e del ruotato di r_eq (vettore posizione del punto di applicazione rispetto al polo):

M_f = F_eq (r_eq)

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Allo stesso modo, se consideriamo le forze assiali presenti, possiamo esprimere il momento flettente come:

n n

M_f = r_i × F_i e₃ = F_i (r_i)

i = 1 i = 1

Eguagliando i due momenti, siamo in grado di calcolare il ruotato del vettore posizione r_eq (punto di applicazione di F_eq):

F_eq (r_eq) = n F_i (r_i) da cui:

i=1

(r_eq) = 1/F_eq n F_i (r_i)

i=1

Osservazione: se i ruotati di due vettori sono uguali, allora sono uguali anche i due vettori originari, pertanto, togliendo la rotazione, otteniamo:

n F_i r_i

r_eq = i = 1 da cui, essendo F_eq = n F_i, abbiamo:

F_eq i = 1

r_eq = n F_i r_i / n F_i (posizione del punto di applicazione della forza equivalente F_eq)

i = 1 i = 1

La posizione di r_eq (punto di applicazione di F_eq) è data dalla media pesata dei punti di applicazione delle singole forze.

Esempio (Calcolo della forza risultante assiale e punto di applicazione)

Consideriamo una sezione quadrata su cui sono applicate le forze rappresentate a lato:

• F₁ = F - forza 1 (uscente, quindi di trazione);
• F₂ = −F - forza 2 (entrante, quindi compressione);
• F₃ = F - forza 3 (uscente, quindi di trazione).

Vogliamo conoscere intensità e punto di applicazione della forza equivalente.

L’intensità della forza equivalente è data da F_eq = n F_i, è pertanto sufficiente sommare algebricamente le tre forze (perché hanno tutte direzione assiale):

i=1

F_eq = F − F + 2F = 2F

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Il punto di applicazione della forza equivalente è un vettore:

r_eq = n F_i r_i / n F_i

i=1 i=1

dovremo moltiplicare ciascun vettore posizione per la rispettiva forza e dividere tutto per la forza risultante. Per fare ciò scegliamo il sistema di riferimento con origine posta nello spigolo basso sinistro del quadrato.

r_eq = [F (0, a) − 2F (a, a) + F (0, 0)] / 2F

sommando ciascuna componente:

r_eq = [(0, F a) − (2F a, 2F a) + (0, 0)] / 2F

r_eq = [(0 − 2F a + 0, F a − 2F a + 0)] / 2F

semplificando F:

r_eq = (−a, −a/2)

Soluzione del problema di presso-flessione

Consideriamo la faccia B di una generica trave, sulla quale agisce la forza equivalente assiale F applicata nel punto C, come rappresentato in figura.

Tale forza equivalente genera uno sforzo assiale e un momento flettente.

Abbiamo visto che lo sforzo assiale su B è dato da:

N = F

E che il momento flettente su L_B è dato da:

M_fL = r_C × F e ovvero M_fL = F (r_C)

Per la soluzione del problema di presso-flessione, ricordiamo che il cilindro è caricato soltanto sulle basi con tante forze, il cui effetto risultante è assimilabile all'effetto generato da una forza risultante assiale applicata in un cer