04 Scienza delle Costruzioni - Pressoflessione

4 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Sommario

PRESSOFLESSIONE .......................................................................................................................... 1

FORZA EQUIVALENTE E SUO PUNTO DI APPLICAZIONE .................................................. 2

Esempio (Calcolo della forza risultante assiale e punto di applicazione) .................................... 4

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI PRESSO-FLESSIONE ........................................................ 5

SEMPLIFICAZIONE DELLA FORMULA DELLA TENSIONE ............................................... 10

– SISTEMA DI RIFERIMENTO BARICENTRICO ................................................................ 10

– SISTEMA DI RIFERIMENTO BARICENTRICO E PRINCIPALE DI INERZIA .............. 11

Esercizio ..................................................................................................................................... 12

VALUTAZIONE QUALITATIVA DELLA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO.................... 14

1/15

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

PRESSOFLESSIONE

Nei problemi di pressoflessione consideriamo delle sezioni di trave cui sono applicate

esclusivamente forze assiali.

Per l’applicazione del principio di Saint-Venant immaginiamo che, su una sezione

quadrata, siano applicate delle forze assiali, la cui risultante avrà i seguenti effetti:

- se la forza assiale risultante (di trazione) risulta applicata nel baricentro della sezione, essa genera

una trazione semplice (allungamento).

- se la forza assiale risultante (di trazione) risulta applicata in un punto diverso dal

baricentro della sezione, allora abbiamo un problema di presso-flessione. In tal

caso oltre all’allungamento, la trave è sottoposta anche ad un momento flettente.

Poiché per il principio di Saint-Venant, ai fini della soluzione, conta soltanto la forza risultante,

possiamo considerare anche altre forze all’interno della sezione, purché la risultante non cambi:

consideriamo ad esempio una coppia di forze virtuali, di segno opposto, applicate nello stesso punto

(centrale): possiamo osservare che l’equilibrio non viene modificato in quanto le due forze si

annullano a vicenda (principio di Saint-Venant rispettato): tuttavia la forza di segno opposto alla

risultante applicata nell’angolo, forma con quest’ultima una coppia di forze in grado di generare un

momento flettente.

L’effetto appena descritto è ottenibile sovrapponendo gli effetti di due problemi più semplici:

- un problema in cui una forza F genera una trazione pura; +

- un problema in cui una coppia di forze genera un momento flettente.

FORZA EQUIVALENTE E SUO PUNTO DI APPLICAZIONE

Consideriamo una sezione cui sono applicate n forze assiali

come rappresentata a lato.

F

Dato che le forze sono soltanto assiali, esse possono generare

soltanto uno sforzo assiale e/o, se accoppiate, un momento

N

flettente , ma non possono comunque generare sforzo di

M f

taglio.

L’effetto complessivamente risultante da un sistema di forze

n

assiali, è uguale all’effetto dato da una sola “forza equivalen-

assiale, applicata in un certo punto che dobbiamo

te” F

eq

determinare.

La forza risultante è pari allo sforzo assiale ed è così calcolabile:

F N

eq

n

= dove = numero delle forze

n

N F

i

=

i 1

Il momento flettente equivalente , scelto un polo, è così calcolabile:

M f

n

= × dove = numero delle forze

n

M r F e

f i i

=

1

i 2/15

4 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Denotiamo lo sforzo assiale come la forza equivalente , cioè:

N F

eq

=

N F

eq

Se consideriamo la forza equivalente e la posizione del suo punto di applicazione rispetto

F r

eq Ceq

al polo stabilito, possiamo esprimere il momento flettente come segue:

= × =

dove è la distanza del punto di applicazione di dal polo;

M r F e r F

f Ceq eq Ceq eq

×

Andiamo ora a sviluppare il prodotto vettoriale scindendolo nelle varia componenti e

r F e

vediamo cosa succede.

Il vettore posizione è formato dalle due componenti e appartenenti al piano della sezione,

r x y

quindi possiamo riscrivere:

× = + × =

( ) (n.b. la direzione )

r F e x e y e F e e e

3

3 1 2 3

Sviluppando il prodotto vettoriale avremo:

× = × + ×

r F e x F e e y F e e

3 1 3 2 3 × =

Utilizzando le permutazioni dei prodotti vettoriali: e e e

1 2 3

× =

e e e

2 3 1

× = × = −

e e e or e e e

3 1 2 1 3 2

eseguiamo i prodotti vettoriali e otteniamo:

= − +

× x F e y F e

r F e 2 1

3

Esprimendo il vettore con le sue componenti:

( )

= −

× y F , x F ovvero

r F e

3

× = −

r F e F ( y , x )

3

Possiamo notare che il prodotto vettoriale tra r (appartenente al piano) e la forza F (normale al

piano), equivale al prodotto della forza F per il ruotato di r, cioè:

× =

r F e F (r )

3 = rappresenta sostanzialmente il vettore r ruotato di 90°,

Il ruotato di r ( x , y )

= −

quindi ( r ) ( y , x ) , come raffigurato a lato.

Pertanto il momento flettente può essere espresso come il prodotto della forza

( )

= ( ) e del ruotato di (vettore posizione del punto

equivalente M F r r

eq

f eq eq

di applicazione rispetto al polo):

( )

= ( )

M F r

f eq eq 3/15

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

Allo stesso modo, se consideriamo le forze assiali presenti, possiamo esprimere il momento

n

flettente come:

n n ( )

= × = ( )

M r F e F r

f i i i i

= =

1 1

i i

Eguagliando i due momenti, siamo in grado di calcolare il ruotato delle vettore posizione (punto

r

eq

):

di applicazione di F

eq

( ) n ( )

=

( ) da cui:

F r ( )

F r

eq eq i i

=

1

i

n ( )

F r

( )

i i

= =

( )

r 1

i

eq F

eq

Osservazione: se i ruotati di due vettori sono uguali, allora sono uguali anche i due vettori originari,

pertanto, togliendo la rotazione, otteniamo:

n F r

i

i n

= =

= da cui, essendo , abbiamo:

r F F

i 1 eq i

eq F =

i 1

eq

n F r

i i

= = (posizione del punto di applicazione della forza equivalente )

r i 1 F

eq

eq n F

i

=

i 1

La posizione di (punto di applicazione di ) è data dalla media pesata dei punti di applicazio-

r F

eq eq

ne delle singole forze.

Esempio (Calcolo della forza risultante assiale e punto di applicazione)

Consideriamo una sezione quadrata su cui sono applicate le forze

rappresentate a lato:

=

F F

- forza (uscente, quindi di trazione);

1 = −

F 2 F

- forza (entrante, quindi compressione);

2 =

- forza 3 (uscente, quindi di trazione);

F F

3

Vogliamo conoscere intensità e punto di applicazione della forza

equivalente. n

=

L’intensità della forza equivalente è data da , è pertanto sufficiente sommare

F F

eq i

=

i 1

algebricamente le tre forze (perché hanno tutte direzione assiale):

= − + =

2 3 2

F F F F F

eq 4/15

4 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

n F r

i

i

= =

Il punto di applicazione della forza equivalente è un vettore: dovremo moltiplicare

r i 1

eq n F

i

=

i 1

ciascun vettore posizione per la rispettiva forza e dividere tutto per la forza risultante. Per fare ciò

scegliamo il sistema di riferimento con origine posta nello spigolo basso sinistro del quadrato.

− +

F ( 0

, a ) 2 F ( a , a ) 3 F ( 0

, 0 )

=

r sommando ciascuna componente:

eq 2 F

− +

( 0

, F a ) ( 2 F a , 2 F a ) ( 0

, 0 )

=

r

eq 2 F

− + − +

( 0 2 F a 0 , F a 2 F a 0 )

=

r

eq 2 F

F a F a a

2

= − − = − −

semplificando F:

r , r a ,

eq eq

2 F 2 F 2

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI PRESSO-FLESSIONE

B

Consideriamo la faccia di una generica trave, sulla quale agisce la forza

L

equivalente assiale F applicata nel punto C, come rappresentato in figura.

Tale forza equivalente genera uno sforzo assiale e un momento flettente.

B

Abbiamo visto che lo sforzo assiale su è dato da:

L

=

N F

L B è dato da:

E che il momento flettente su L

= × =

M r F e ovvero M F ( r )

fL C fL C

Per la soluzione del problema di presso-flessione, ricordiamo che il cilindro è caricato soltanto sulle

t

basi con tante forze , il cui effetto risultante è assimilabile all'

effetto generato da una forza

L

risultante assiale applicata in un cer