Scienza delle costruzioni

TENSIONE

La tensione è una grandezza vettoriale e per definirla bisogna studiare le sue 3 componenti.

Possiamo parlare di VETTORE TENSIONE t che ha le dimensioni di una forza per unità di volume.

Questo vettore è funzione del punto in cui è applicato e della giacitura del piano di sezione considerato, avendo assegnato un punto all'interno del continuo il vettore t varia al variare della giacitura del piano di sezione considerato e quindi della sua normale n.

Considerato un continuo soggetto a forze esterne affinché esso sia in equilibrio, la risultante delle forze esterne e delle forze interne deve essere uguale a zero.

In questo caso nascono delle forze di reazione che reagiscono su una piccola superficie del corpo e questa azione è detta tensione.

TEOREMA DI CAUCHY

Considero un vettore t applicato in un punto P del continuo tridimensionale.

Per conoscere la sua inclinazione considero un sistema cartesiano di riferimento e scompongo il vettore t nelle 3 componenti.

DIMOSTRAZIONE

Considero un tetraedo infinitesimo i cui assi cartesiani hanno origine nel punto P del continuo.

Per il principio di Eulero, secondo cui condizione sufficiente e necessaria per l’equilibrio di un continuo è che siano soddisfatte le equazioni cardinali della statica sia per il continuo per ogni sua parte finita e infinitesima, considerando sia le forze esterne, sia le forze interne.

Il piano inclinato del tetraedro t rappresenta la generica giacitura del piano dell'areola del punto P.

Scomponiamo il vettore tensione t nelle sue 3 componenti (t_oy, z_x).

La t è sempre perpendicolare al piano considerato e le t giacciono al piano.

• Le componenti speciali della tensione sono cartesiane perché si riferiscono ad un sistema cartesiano arbitrario (x, y, z) e sono tens of riali perché le normali alle giaciture coincidono con i versori degli assi cartesiani (i, j, k).
• Le componenti speciali della tensione ci servono per definire il vettore della tensione t tramite una matrice detta tensore della tensione matrice simmetrica e quadrata (3x3).

U_Q = U_P + (δu/δx) δx + (δv/δx) δx + (δw/δx) δx + ...

V_Q = V_P + (δu/δy) δy + (δv/δy) δy + (δw/δy) δy + ...

W_Q = W_P + (δu/δz) δz + (δv/δz) δz + (δw/δz) δz + ...

Ci fermiamo al primo termine dello sviluppo in serie perché gli altri sono trascurabili.

Possiamo scrivere una matrice dello spostamento U_Q

[U_Q] = [U_P] + [H][M] . dα + o (dr²)

SPOST. RIGIDO      ROTAZIONE      RAGGIO      ORDINI TRASCURABILI DI TAYLOR

[U_Q] = [U_P]+

[  (δu/δx)   (δu/δy)   (δu/δz)  ] [   δx  ]

[  (δv/δx)   (δv/δy)   (δv/δz)  ] [   δy  ] + o (dα²)

[  (δw/δx)   (δw/δy)   (δw/δz)  ] [   δz  ]

[H] = OPERATORE MATEMATICO

[M] = VERSORE (u, v, w)

[H] può essere divisa in una matrice simmetrica [S] e in una antisimmetrica [R]

[S] =

[   δu/δx                      1/2 (δu/δy + δv/δx)                      1/2 (δu/δz + δw/δx)   ]

[                           1/2 (δv/δx + δu/δy)                                  δv/δy     ]

[                                             1/2 (δw/δx + δu/δz)         1/2 (δw/δy + δv/δz)         δw/δz    ]

UC TENSIO SIC VIS: l'allungamento prodotto è direttamente proporzionale alla forza impressa.

CASO MONODIMENSIONALE

In questo caso la legge di Hooke alle tensioni σ e alle deformazioni ε tale che la relazione risulta essere:

σ = E ε

E = _σ/_ε

ε = _Δℓ/_ℓ → allungamento causato dalla tensione applicata

     → configurazione iniziale

Su applicazione dei carichi esterni.

Sappiamo che lungo le fibre longitudinali vengono trasmesse solo tensioni tangenziali parallele all’asse neutro.

σ_x = σ_y = τ_xy = 0.

Quindi poiché l’asse neutro per costruzione coincide con l’asse z

avremo esclusivamente le sollecitazioni:

σ_z; τ_xz; τ_zy

Il problema elastico va studiato solo in relazione ai campi di tensione, caratterizzati dalla matrice del tensore della tensione [T]:

[T] =

• 0 0 τ_xz
• 0 0 τ_zy
• τ_xz τ_yz σ_z

Si devono determinare:

1. 3 componenti della tensione: σ_z; τ_xz; τ_zy
2. 3 componenti dello spostamento: u; v; w

Nel caso delle travi reali una condizione necessaria

e sufficiente per la validità del principio di St. Venant è che le SEZIONI TRASVERSALI SIANO COMPATTE.

Se per l’ipotesi di CONSERVAZIONE DELLE SEZIONI PIANE tutte

le sezioni trasversali si deformano nello stesso modo mantenendosi piane ed ortogonali all’asse neutro; ciò

significa che le componenti di taglio e le rotazioni

sono nulle.

τ_zy = 0

τ_xz = 0

γ_yz = γ_xz = γ_yz = 0

Ricerca dell'antipolare a partire dal polo.

A₁

o₂

o₂ x / y₀

A Antipolare

LA GEOMETRIA DELLE AREE

Come trovare il baricentro G?

• METODO GEOMETRICO

Considerata una sezione articolata per trovare il baricentro G della figura, devo scomporre la sezione considerata in poligoni regolari dei quali so geometricamente i baricentri.

Tracciati i baricentri dei poligoni, il baricentro G si troverà sulla congiungente di...

Devo applicare in G1 e G2 due vettori proporzionali alla somma dei corpi (aree) ed applicare il poligono funicolare.

• METODO ANALITICO

G = x e y?

Per trovare il baricentro devo trovare le coordinate di x e y di G.

x_G = S_y / A    dove S_y è il momento statico rispetto all’asse y.

y_G = S_x / A    dove S_x è il momento statico rispetto all’asse x.

S_x = A ⋅ y_G    avendo l’A_rea, per la distanza tra il baricentro e l’asse y.

S_y = A ⋅ x_G    avendo l’A_rea, per la distanza tra il baricentro e l’asse x.

Momento statico: S_x

Il momento statico è il prodotto di un’area per la distanza. Per trovare il momento statico devo prima trovare le aree e poi la distanza del baricentro di figura all’asse considerato.