Scienza delle costruzioni

TENSIONE

La tensione è una grandezza vettoriale e per definirla bisogna studiare le sue 3 componenti.

Possiamo parlare di VETTORE TENSIONE t che ha le dimensioni di una forza per unità di volume.

Questo vettore è funzione del punto in cui è applicato e della giacitura del piano di sezione considerato; ovvero assegnato un punto all'interno del continuo il vettore t varia al variare della giacitura del piano di sezione considerato e quindi della sua 'normale n'.

Considerato un continuo soggetto a forze esterne affinché esso sia in equilibrio, la risultante delle forze esterne e delle forze interne deve essere uguale a zero.

In questo caso nascono delle forze di reazione che reagiscono su una piccola superficie del corpo e questa azione è detta tensione.

TEOREMA DI CAUCHY

Considero un vettore t applicato in un punto P del continuo tridimensionale.

Per conoscere la sua inclinazione considero un sistema cartesiano di riferimento e scompongo il vettore t nelle 3 componenti.

DIMOSTRAZIONE

Considero un tetraedro infinitesimo i cui assi cartesiani hanno origine nel punto P del continuo.

Per il principio di Eulero, secondo cui condizione sufficiente e necessaria per l'equilibrio di un continuo è che siano soddisfatte le equazioni cardinali della statica sia per il continuo per ogni sua parte finita e infinitesima, considerando sia le forze esterne che le forze interne.

Tensione

La tensione è una grandezza vettoriale e per definirla bisogna studiare le sue 3 componenti (T_x, T_zx, T_y).Possiamo parlare di vettore tensione T che ha le dimensioni di una forza per unità di volume.Questo vettore è funzione del punto in cui è applicato e della giacitura del piano di sezione considerato, ovvero assegnato un punto all'interno del continuo il vettore t varia al variare della giacitura del piano di sezione considerato e quindi della sua normale M.Considerato un continuo soggetto a forze esterne affinché esso sia in equilibrio, la risultante delle forze esterne e delle forze interne deve essere uguale a zero.In questo caso nascono delle forze di reazione che reagiscono su una piccola superficie del corpo e questa azione è detta tensione.

Teorema di Cauchy

Considere un vettore t applicato in un punto P del continuo tridimensionale.Per conoscere la sua inclinazione considero un sistema cartesiano di riferimento e scompongo il vettore t nelle 3 componenti.

Dimostrazione

Considero un tetraedro infinitesimo i cui assi cartesiani hanno origine nel punto P del continuo.Per il principio di Eulero, secondo cui condizione sufficiente e necessaria per l'equilibrio di un continuo è che siano soddisfatte le equazioni cardinali della statica sia per il continuo per ogni sua parte finita e infinitesimale, considerando sia le forze esterne che le forze interne.

Il piano inclinato del tetraedro π rappresenta la generica giacitura del piano dell'areola del punto P.

Scomponiamo il vettore tensione t nelle sue 3 componenti (1σj 2τ).

La σ è sempre perpendicolare al piano considerato e le τ giacciono il piano.

- Le componenti speciali della tensione sono CARTESIANE perché si riferiscono ad un sistema cartesiano arbitrario (x, y, z).

- e sono TENSIARILI perché le normali alle giaciture coincidono con i versi degli assi cartesiani (i, j, k).

- le componenti speciali della tensione si servono per definire il vettore della tenscente t tramite una matrice detta TENSORE DELLA TENSIONE matrice simmetrica e quadrata (3x3).

Scomposizioni delle tensioni sulle facce del cubetto

t_i ⋅ i = σ_x   t_j ⋅ j = σ_y   t_k ⋅ k = σ_zt_j ⋅ i = τ_xy   t_i ⋅ j = τ_yx   t_j ⋅ k = τ_zyt_k ⋅ i = τ_zx   t_k ⋅ j = τ_yz   t_i ⋅ k = τ_zx

Matrice del tensore della tensione

[ ] = (σ_x   τ_yx   τ_zx)(τ_xy   σ_y   τ_zy)(τ_xz   τ_yz   σ_z)

Tensore della tensione

Questa matrice è un operatore matematico che riesce a trasformare un vettore in un altro vettore.↑

Tensore

• 2^o ordine = quando trasforma un vettore in un altro vettore
• 1^o ordine = se sposta un vettore da una posizione all'altra.
• 3^o ordine = se trasforma una matrice in un'altra matrice.

Per il teorema di Cauchy t_M = T_M ⋅ normale        ↓   ↓       vettore   tensore       della tensione

t_M = (t_i, t_j, t_cx)   → t