Scienza delle costruzioni 2 Teoria

Analisi della Tensione

Modello alla _Cauchy-_Euler

Prima di esaminare il modello di Cauchy, Euler è necessario fare alcune premesse e distinguere tra tipologia di forze. In primis dobbiamo dire che quando consideriamo un "corpo rigido" per definire l'equilibrio sono necessarie e sufficienti le equazioni della statica ossia:

∑F=0

∑M=0

Qualora invece considerassimo un corpo continuo 3-D e soprattutto deformabile le equazioni della statica risultano solo condizione necessaria ma non sufficiente a definire l'equilibrio per fare ciò, ossia per avere la condizione di sufficienza, è opportuno introdurre gli [assioni] di Eulero.

Partiamo col distinguere tre diverse tipologie di forze:

1. forze di volume
2. forze superficiali e di contatto esterno
3. forze superficiali o di contatto interno

Consideriamo un corpo B che occupa una certa regione dello spazio la cui frontiera è ∂B e consideriamo un suo punto X (p è una certa porzione del B s.p. ⊂(B)) =

B è un corpo continuo e deformabile e vogliamo che sia in equilibrio stabile trovandosi nell'interno del corpo. Sul nostro corpo agiscono 3 tipi di interazioni:

1. Forze in volume sentite dal corpo B per il semplice fatto di occupare una posizione nello spazio, senza il bisogno di contatto con un altro corpo, quindi è un

tipo di forza, "residuale" ossia dipendente soltanto dalla

posizione occupata del punto x.

La indicheremo con b (x) e volendo calcolare all’interno

come la forza esercita alla tutta il corpo B, facciamo l’in-

tegrale esteso a tutto il volume:

∫∫∫ B b (x) dV [FL⁻³]

2) FORZE SUPERFICIALI O DI CONTATTO ESTERNE sono forze che per con-

tatto interagiscono con B, ossia dovute al contatto chi-

B con altre corpi. Anche esse sono di natura posizionale

e le indicheremo con S (x). Per ottenere l’azione

totale di queste forze senza nessunario fare un integrale

esteso alla frontiera del nostro corpo ∫∫ S(x) dA

∂B [FL⁻²]

3) FORZE SUPERFICIALI O DI CONTATTO INTERNE sono dovute alle inte-

zioni tra parti interne di corpo attraverso il contatto stesso.

Fas de parti puntate non sono dovute all’interazione

con l’ambianto esterno benno tra le parti interne.

A differenza della mechhanica riguale, nei continui

deformobili punto, tipologie di forze è molto importato

te e innolano il nome di FORZE DI TENSIONE, o

semplicemente TENSIONI.

elettrica, ciò non è vero poiché sono materiali polari dove ad ogni

punto è associata una coppia e oltre una distanza esiste di forza voltametrica.

Questo comporta il fatto che il limite sono diviso in due contributi, uno dovuto a

R(A) sostanzialmente nullo e uno dovuto alla somma su di infiniti poli di tutte le

coppie polari, ovvero div ∫(A) = ∫(M) +.

Quindi in conclusione per materiali polari la rotazione della tensione e

afflunta e ciò dimostra invece alla prima osservazione che il punto 2 del postulato A non è banale.

Postulato B

sorge dall'esperienza di voler generalizzare il concetto di tensione.

Possiamo dire quindi che fissato il punto X scelto un piano, posso far scorrere

il vettore tenzione e se preso costruiamo il luogo delle ; ciò vale solo se la

superficie di taglio è il piano

S₁

S₂

S₃

In pratica superfici diverse ma che hanno in comune il piano di tangente in X

hanno lo stesso vettore tensione in X ciò deriva dal fatto che Lim R(A) = t^M(x)

ed essendo = Lim A o scriva T : [T]M(/x), fissato X ed essendo ∆t=∫z=∫z/∅=∫

superfici diverse, avremo che la tensione rimane invariata finché

nel punto X e il piano oscillatore sia lo stesso.

Come si evince dalle unità di misura

= N. J. W abbiamo - potenze ali

unità di tempo per fantuma statica non ha deun senso.

e quindi tutto si riduce al J ossia udmta di misura

del lavoro.

Secondo il teara lo spostamento sarà uno spostamento

ripeido infinitesimo e quindi avremo il

È da osservare una cosa molto importante ossia che per forza

di superficie intendiamo quella esterna se siamo cownilat

cando un punto della frontiere al P che appartiene anche

a quelli di B, mentre parliamo dei forze di superficie interne

e quindi bisogna considerare punti della fon

tiro Dp interni a B

S(x) se X è ∉B (∂P = ∂B)

S =

T(x) se X è B (interno a B)

Per ipotesi vediamo gli aiqemi di tuleuo e quindi possiamo

scrivere :

t(P) = 0 ∀P B

m(P) = 0 →

∫∫∫P b dV + ∫∫ S dA = 0

∫∫∫P [(x - o) ⋅ b] dV + ∫∫ [(k-o) ⋅ S] dA = 0

Poichè abì un campo di postauium infinitesime possiamo

scrivere :

∫(P) ẋt = ∫∫∫ (g, ⋅ w,) (x-y) dV +

+ ∫∫ [(va,+wA(x-y)] P dA

Secondo le condà del prodotto creep umulo a