02 Scienza delle Costruzioni - Geometria delle aree

D D D

1 2

Esempio (Sezione simmetrica rispetto alla bisettrice)

D

Consideriamo il dominio rappresentato a lato. Esso può

essere diviso nella somma dei due sottodomini così definiti:

[ ] [ ] [ ] [ ]

= × = ×

D 0

, 2 a 0

, 4 a D 2 a , 4 a 0

, 2 a

1 2

L’area del dominio è pari alla somma delle aree dei

sottodomini:

= + = + =

2 2 2

A A A a a a

8 4 12

1 2

Il momento statico sarà il seguente:

2 a 4 a 4 a 2 a

= = + = + = 3

S x x x x dydx x dydx a

20

y D D D 0 0 2 a 0

1 2 [ ] [ ]

2 a 4 a 4 a 2 a

= = + = + = + =

3 3 3

S y y y y dydx y dydx a a a

16 4 20

x D D D 0 0 2 a 0

1 2

Possiamo osservare che la figura è simmetrica rispetto alla bisettrice: da questa osservazione

=

S S

avremmo potuto prevedere che .

y x

È importante osservare la figura e valutare la presenza di un asse di simmetria: infatti se ciò è vero

il baricentro cade sicuramente sull’asse di simmetria. Questo ci permette di verificare a prima vista

se i calcoli effettuati sono corretti.

Inoltre se gli assi di simmetria sono due allora il baricentro cade nell’intersezione tra i due assi di

simmetria.

In questo caso particolare oltre ai momenti statici, possiamo vedere che anche i momenti di inerzia

=

J J sono identici, ciò avviene solo se la figura è simmetrica rispetto alla bisettrice.

y x

Andando a verificarlo: 5/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

2 a 4 a 4 a 2 a 3

a a

8 2 144

( )

= = + = + = + − = =

2 2 2 2 2 3 4 4

J x x x x dydx x dydx a a a a

4 64 8 48

y 3 3 3

D D D 0 0 2 a 0

1 2 2 a 4 a 4 a 2 a

= = + = + =

2 2 2 2 2 4

J y y y y dydx y dydx a

48

y D D D 0 0 2 a 0

1 2

Otteniamo effettivamente il risultato atteso.

Andiamo ora a calcolare il momento di inerzia misto:

2 a 4 a 4 a 2 a

= = + = 4

J J xy dydx xy dydx 28a

xy yx 0 0 2 a 0

Esempio (Sezione con sottodominio negativo)

La stessa figura precedente può essere rappresentabile come la

differenza di due sottodomini: in effetti può essere ottenuta dalla

D ) a cui viene

differenza di un quadrato pieno (sottodominio 1

D

sottratto il sottodominio quadrato (o meglio a cui viene

2 D ).

sommato il sottodominio avente area negativa 2

I sottodomini sono così definiti:

[ ] [ ] [ ] [ ]

= × = ×

D 0

, 4 a 0

, 4 a D 2 a , 4 a 2 a , 4 a

1 2

Ricalcoliamo le grandezze applicando tale principio. =

D dominio positivo

1 =

D dominio negativo

L’area del dominio è la seguente: 2

( )

= + − = − =

2 2 2

A a a a

1 1 16 4 12

D D

1 2

Il momento statico il seguente:

4 4 4 4

a a a a 2

a

12

( ) ( )

= + − = + − = + − =

3 3

S x x x dy dx x dy dx a a a

1 1 32 2 20

y 2

0 0 2 2

D D a a

1 2 x y

La posizione del baricentro è quindi la seguente (in questo caso le coordinate ed sono uguali

perché la figura è simmetrica):

S 3

a

20 5 5 5

y

= = = = ≡

x y a cioè (posizione del baricentro)

G a a

,

G G 2

A a

12 3 3 3 6/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esempio (Sezione con sottodominio negativo)

La proprietà precedente diventa molto utile se dobbiamo

trattare dei domini come quello rappresentato a lato.

In questo caso infatti è molto più semplice considerare la

differenza di due sottodomini che la somma di svariati domini.

I sottodomini saranno quindi i seguenti:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

= × = ×

D 0

, 4 a 0

, 4 a D 2 a , 3

a 2 a , 3

a

1 2

Calcoliamone l’area:

a a a a

4 4 3 3

= + − = + − = − =

2 2 2

A 1 ( 1

) 1 dy dx ( 1

) dy dx 16 a a 15 a = dominio positivo

D

D D a a

0 0 2 2 1

1 2 = dominio negativo

D

2

=

Il momento statico (la figura è simmetrica, pertanto S S ):

x y

a a a a

4 4 3 3 5 59

= + − = + − = − =

3 3 3

S x x x dx dy x dx dy a a a

( 1

) ( 1

) 32

y 2 2

D D a a

0 0 2 2

1 2 =

La posizione del baricentro sarà la seguente (per la simmetria y x ):

G G

59 59

59 1 59

S 3

= = = ≡

x da cui

y a a ,

G a a

G 2

2 30

A 30 30

15 a = ):

Il momento di inerzia è il seguente (poiché la figura è simmetrica rispetto alla bisettrice J J

x y

a a a a

4 4 3 3 3

64 a a 237

= + − = − = =

2 2 3 4 4

J x dydx x ( 1

) dydx 4 a 19 a a 79 a

y 3 3 3

a a

0 0 2 2

a a a a

4 4 3 3 256 25 231

= + − = − =

4 4 4

J xy dxdy ( 1

) xy dxdy a a a

xy 4 4 4

a a

0 0 2 2 7/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

TRASLAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO

Vediamo ora come è possibile “tradurre” le grandezze (area, momento statico e momento di inerzia)

calcolate adottando un certo sistema di riferimento in un altro sistema di riferimento.

Introduciamo le cosiddette “formule del trasporto” che ci consentono

di trasportare le grandezze da un sistema di riferimento ad un altro.

Consideriamo il dominio rappresentato a lato e immaginiamo di

D

aver calcolato le seguenti grandezze rispetto ad un sistema di

(l’origine del sistema di riferimento è individuato da ):

riferimento

= area del dominio nel sistema di riferimento ;

A

θ = momento statico del dominio nel sistema di rif.to ;

S

θ = momento di inerzia del dominio nel sistema di rif.to .

J

θ ′

θ

Vediamo come cambiano tali grandezze se le calcoliamo rispetto al sistema di riferimento

(cambiando la posizione dell'origine degli assi del sistema di riferimento).

′

θ θ

Ipotizzando nota la distanza relativa del sistema di rispetto a (conoscendo quindi il vettore

′

θ

posizione ), calcoliamo le grandezze , , rispetto al nuovo sistema di riferimento .

r A S J

θ

θ θ θ θ

′ ′ ′ ′

L’area, essendo una grandezza scalare, è invariante rispetto al cambio del sistema di riferimento

(invariante a traslazioni e/o rotazioni del sistema di riferimento), pertanto:

=

A A

θ θ

′

Le altre grandezze non saranno invece invarianti al cambio del sistema di riferimento perché nel

loro calcolo contengono informazioni proprie del vettore posizione .

r θ

Consideriamo un generico punto e la sua posizione rispetto al sistema di riferimento . La

P r

′

θ

′

posizione di ( ) nel nuovo sistema di riferimento sarà la seguente:

P r

′ = − Formula del trasporto di un punto

r r r

θθ ' ′

θ

Il momento statico espresso nel nuovo sistema di riferimento sarà quindi calcolato come segue:

′ = −

=

S r r r r

sostituendo ' avremo:

θ θθ

′ '

D

= −

S r r dalle proprietà dell’integrale possiamo separare i due integrali:

θ θ

θ

′ ′

D ′

= − =

S r r S r r P

osservando che , e che è costante rispetto a , avremo:

θ θ

θ θ θθ

′ ′ '

D D D

= − =

S S r 1 da cui, essendo 1 A (che è invariante rispetto al sistema di rif.to):

θ θ θ

θ

′ ′ D D

= −

S S r A Formula del trasporto del momento statico

′

θ θ θθ ' 8/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Il momento statico S nel nuovo sistema di riferimento sarà dato dalla differenza tra il momento

′

θ

statico originario S e il prodotto della posizione del nuovo sistema di riferimento r e dell’area

θ θθ '

del dominio A.

In particolare ciascuna componente del nuovo momento statico sarà così calcolabile:

= −

S S x A

θ θ θ

θ

′ ′

y y Formula del trasporto del momento statico (componenti)

= −

S S y A

′ ′

θ θ θ

θ

x x ′

θ

Il momento di inerzia espresso nel nuovo sistema di riferimento sarà quindi calcolato come

segue: ′ ′

= ⊗ = −

sostituendo ' avremo:

J r r r r r

′

θ θθ '

D

= − ⊗ −

( ) ( )

J r r r r

′ ′ ′

θ θ

θ θ

θ

D

Abbiamo detto che il prodotto tensoriale è un’operazione lineare, pertanto la combinazione lineare

nell’integrale può essere sviluppata come segue:

[ ]

= ⊗ − ⊗ − ⊗ + ⊗

J r r r r r r r r

′ ′ ′ ′ ′

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ

D

Osservando che: = ⊗ ;

- l’integrale del primo prodotto tensoriale è pari a J r r

θ D

- il vettore posizione è costante (non dipende dalla posizione di ), pertanto possiamo portarlo

r P

′

θ

θ

fuori dall’integrale; ⊗

- anche il prodotto tensoriale del vettore posizione è costante e può essere portato fuori;

r r

′ ′

θ

θ θ

θ

avremo: =

= − ⊗ − ⊗ + ⊗ ricordando che 1

A

1

J J r r r r r r

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ

′ ′ ′ ′ ′ D

D D D =

e che , avremo:

S r

θ D

= − ⊗ − ⊗ + ⊗

J J S r r S r r A (detta Formula di Huygens)

′ ′ ′ ′ ′

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

e sono effettivamente dei vettori così composti:

Ricordando che S r

θ θ

θ ′ S ( )

y

= =

S r x y

θ θ

θ θ

θ θ

θ

′ ′ ′

S x 9/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Inoltre il prodotto tensoriale tra due vettori generici è il seguente: