02 Scienza delle Costruzioni - Geometria delle aree

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

AREA ................................................................................................................................................... 2

MOMENTO STATICO ....................................................................................................................... 2

MOMENTO DI INERZIA ................................................................................................................... 2

PRODOTTO TENSORIALE ........................................................................................................... 3

Proprietà del prodotto tensoriale .................................................................................................. 3

BARICENTRO .................................................................................................................................... 3

Esempio (Sezione rettangolare) ....................................................................................................... 4

Esempio (Sezione costituita da più sottodomini) ............................................................................. 5

Esempio (Sezione simmetrica rispetto alla bisettrice) ..................................................................... 5

Esempio (Sezione con sottodominio negativo) ................................................................................ 6

Esempio (Sezione con sottodominio negativo) ................................................................................ 7

TRASLAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO ...................................................................... 8

ROTAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO ......................................................................... 10

SISTEMA DI RIFERIMENTO BARICENTRICO e PRINCIPALE CENTRALE DI INERZIA .... 11

Esempio .......................................................................................................................................... 11

Momenti d'inerzia del rettangolo nel sistema di rif.to baricentrico e principale di inerzia ............ 12

Esempio (Automazione) ................................................................................................................. 13

PROFILI IN PARETE SOTTILE ...................................................................................................... 15

Esempio .......................................................................................................................................... 15

CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA ..................................................................................... 17

1/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

GEOMETRIA DELLE AREE

Vediamo come è possibile caratterizzare alcune proprietà geometriche

di una sezione (domini piani) rispetto ad un certo sistema di riferimen-

to. I domini che prenderemo in considerazione hanno sempre densità in-

terna uniforme.

Si consideri un generico dominio d in un sistema di riferimento noto.

Le caratteristiche del dominio che vogliamo conoscere sono l’area A, il

momento statico S e il momento di inerzia J.

AREA A

L’AREA è uno scalare.

[ ]

= = 2

A 1 L dove [L] è una lunghezza

s

MOMENTO STATICO S

MOMENTO STATICO

Il è un vettore costituito da due componenti.

x [ ]

S x

y

= ⋅ = = = 3 dove = vettore posizione =

r

S r

1 L

s

S y

y

x

s s = momento statico rispetto all’asse

S y

y = momento statico rispetto all’asse

S x

x

Il momento statico ci da informazioni sulla posizione del baricentro del dominio.

Il termine baricentro in effetti è un po’ forzato, infatti nel calcolo del momento statico la densità del dominio viene

considerata unitaria e uniforme in tutto il dominio: pertanto il baricentro corrisponde al centro d’area. Infatti

nell’equazione del baricentro non compare la massa in quanto essa vale 1.

Esso è dato dall’integrale sul dominio del vettore posizione . ( è il vettore posizione di un

r r

: rappresenta le coordinate del punto in un certo sistema di riferimento).

generico punto P P

Il momento statico è quindi costituito da due componenti:

- il momento statico rispetto all’asse (dipende dalla distanza dei punti dall’asse );

x x

- il momento statico rispetto all’asse (dipende dalla distanza dei punti dall’asse )

y y

MOMENTO DI INERZIA J

MOMENTO DI INERZIA

Il è un tensore costituito da quattro componenti.

(o tensore di Eulero)

2

x xy J J [ ]

y xy

= ⊗ = = = 4

J r r L

s s J J

2

xy y yx x

s s s ×

È l’integrale sul dominio di tensor , quindi è una matrice come sopra riportata.

r r 2 2

=

J y

dove momento di inerzia rispetto all’asse ;

y = =

J J xy yx;

momento di inerzia misto e

xy yx

=

J x

momento di inerzia rispetto all’asse ;

x

I termini sembrano invertiti: in effetti per conoscere l’inerzia di una figura rispetto all’asse y, occorre tenere conto della

sua distanza dall’asse x e viceversa. 2/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

PRODOTTO TENSORIALE

⊗ PRODOTTO TENSORIALE

Il simbolo indica il .

Il prodotto tensoriale è così definito: a b

1 1

2 = =

∈ a b

a , b R

Siano due vettori a b

2 2

Il prodotto tensoriale tra i due vettori è così definito:

a b a b

1 1 1 2

⊗ =

a b (leggesi a tensor b)

a b a b

2 1 2 2 ×

È dato dalla matrice 2 2 avente per componenti il prodotto delle componenti dei due vettori come

sopra riportato.

Proprietà del prodotto tensoriale

Il prodotto tensoriale è un’operazione lineare ma non gode della proprietà commutativa.

Infatti vale la seguente proprietà:

⊗ = ⊗ T

a b (

b a ) Cambiando l’ordine degli elementi è quindi necessario applicare la trasposizione.

BARICENTRO r

POSIZIONE DEL BARICENTRO G

Il vettore che ci da la posizione del baricentro rispetto al sistema di riferimento scelto è detto

r

posizione del baricentro ed è così definito:

G

S

=

r posizione del baricentro (vettore)

G A S

Ovvero, esplicitando il momento statico :

x

⋅ r

1 A

s

= =

s

r

G y

A A

s 3/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esempio (Sezione rettangolare)

Applichiamo queste definizioni ad una sezione rettangolare di altezza a e

b

base , posto in un sistema di riferimento centrato nell’angolo in basso a

sinistra della sezione.

Iniziamo dicendo che tutte le caratteristiche che andremo a calcolare

dipendono strettamente dal sistema di riferimento.

Con il sistema di riferimento adottato avremo che la figura sarà

caratterizzata dal seguente dominio (origine nel vertice basso sinistro):

= ×

D : [ 0

, b ] [ 0

, a ] < < < <

Abbiamo così formalizzato che il dominio della sezione si estende per 0 x b e per 0 y a .

=

L’area della sezione è banalmente A ab .

Calcoliamo il vettore momento statico S della sezione rispetto ad entrambi gli assi:

b a 2

ab

= = =

S x x dy dx

y 2

D 0 0 2

b a 2 ab

a b =

= = = S 2

S y y dy dx quindi (momento statico)

x 2

2 a b

D 0 0 2

Applichiamo ora la formula per il calcolo del baricentro e vediamo che effettivamente risulta

proprio dove ce lo saremmo aspettati intuitivamente:

2

S a b a

= = =

x

y

G A 2 ab 2

2

S ab b b a

y

= = = ≡ (baricentro)

x quindi G ,

G 2 2

A 2 ab 2

Calcoliamo ora le quattro componenti del tensore momento di inerzia:

a b 3

b a

= = =

2 2

J x x dx dy J J

y 3 y xy

=

J

D 0 0 J J

yx x

a b 3

a b

= = =

2 2

J y y dx dy

x 3

D 0 0

a b 3 2 2

2 2 b a a b

a b

= = = ≡

J xy xy dx dy quindi (momento di inerzia)

3 4

J

xy 2 2 3

4 a b a b

D 0 0 4 3 4/17

2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esempio (Sezione costituita da più sottodomini)

Una proprietà importante e utile per il calcolo di queste

grandezze è la seguente:

Se è possibile dividere la sezione in più sottodomini

disgiunti, l’integrale di ciascuna grandezza può essere

spezzato nella somma di più integrali sui relativi

sottodomini disgiunti. D

In particolare, un dominio è divisibile in due sottodo-

mini disgiunti se (esempio a lato):

= ∪ ∩ = ∅

D D D D D

1 2 1 2

Cioè se l’unione dei due sottodomini è pari al dominio complessivo, e se l’intersezione dei due

sottodomini è pari all’insieme vuoto.

Quindi per la figura a lato è possibile esprimere il momento statico complessivo come la somma dei

D D

momenti statici dei due sottodomini disgiunti e che lo costituiscono, cioè:

1 2

= = +

S r r r

D D D

1 2

Esempio (Sezione simmetrica rispetto alla bisettrice)

D

Consideriamo il dominio rappresentato a lato. Esso può

essere diviso nella somma dei due sottodomini così definiti:

[ ] [ ] [ ] [ ]

= × = ×

D 0

, 2 a 0

, 4 a D 2 a , 4 a 0

, 2 a

1 2

L’area del dominio è pari alla somma delle aree dei

sottodomini:

= + = + =