01 Scienza delle Costruzioni - Cinematica Statica Principio dei Lavori Virtuali

M

Nella realtà i legami costitutivi non sono direttamente proporzionali perché il legame dipende, oltre che dalle

caratteristiche del materiale (modulo di elasticità o modulo di Young), anche dalla geometria della sezione (momento di

inerzia J) e da altri fattori. Ma questi li vedremo più avanti.

Introducendo i coefficienti di rigidezza, avremo le seguenti RELAZIONI COSTITUTIVE:

ε

=

N k N

γ

=

T k RELAZIONI COSTITUTIVE

T χ

=

M k M

Abbiamo così ottenuto un sistema di 9 equazioni in 9 incognite che ammette un'

unica soluzione. 13/57

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI

Esistono vari metodi di risoluzione del sistema di 9 equazioni precedenti, ma i più importanti sono:

θ

w v

- il metodo degli spostamenti: (con il quale ricaviamo dapprima gli spostamenti , , , successiva-

ε γ χ N T M

mente le deformazioni , , , e infine le tensioni , , ) è un metodo facilmente

implementabile nei calcolatori elettronici;

- il metodo delle forze: ha il pregio di essere meno prolisso in quanto da questo metodo vengono

N T M

ricavate direttamente le tensioni , ed .

IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Per l’ applicazione del metodo degli spostamenti dobbiamo combinare le equazioni precedenti in

modo da ottenere un sistema di equazioni di soli spostamenti.

Ciò che dobbiamo fare in sostanza è effettuare due sostituzioni a catena:

1 - sostituiamo le equazioni delle deformazioni all’ interno delle relazioni costitutive;

2 - sostituiamo il sistema così ottenuto all’ interno delle equazioni di equilibrio, cioè:

Equazioni delle Equazioni di

Relazioni

deformazioni equilibrio

costitutive

→ →

′

ε = + =

ε

w = N '

b 0

N k N

N

′

γ θ

= − + =

γ

v = T ' b 0

T k T

T

′

χ θ

= µ

+ + =

χ

= M ' T 0

M k M ′

=

N k w

N ′ θ

= −

T k ( v )

Dalla prima sostituzione otteniamo: T ′

θ

=

M k M

E dalla seconda sostituzione otteniamo il seguente sistema, detto:

′ ′ + =

k w b

( ) 0

N N

′ ′

θ

− + =

k v b

[ ( ) ] 0 SISTEMA DELLA TRAVE DI TIMOSHENKO

di equazioni

T T

′ ′ ′

θ µ θ

+ + − =

k k v

( ) ( ) 0

M T

La risoluzione del sistema di equazioni di Timoshenko (specie della 2° e 3° equazione) è piuttosto

laborioso. Per tale motivo andremo ad adottare alcune ipotesi che ci permetteranno di risolverlo più

agevolmente. → ∞

HYP k

Ammettiamo l’ ipotesi per la quale la rigidezza al taglio tenda all’ infinito (cioè la

T

trave è indeformabile al taglio). γ

→ ∞

k

Dall’ adozione di tale ipotesi ( ) avremo che la deformazione di scorrimento al taglio sarà

T γ

γ =

T k

nulla. Infatti esplicitando , dalla relazione costitutiva , otteniamo:

T

T T

γ γ

= → → ∞ → = =

da cui essendo k 0

T ∞

k

T 14/57

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

γ =

Sostituendo tale risultato ( 0 ) nelle equazioni delle deformazioni avremo:

′

ε = w

′ ′ ′ ′

′

θ θ θ

= − = =

0 v da cui, osservando che v e di conseguenza v , avremo:

′

χ θ

=

ε ′

= w

′ θ

=

v ′

′

χ = v

Sostituendo nuovamente le equazioni delle deformazioni nelle relazioni costitutive, avremo:

′

=

N k w

N

=

T 0 ′

′

=

M k v

M

E sostituendo queste ultime nelle equazioni di equilibrio:

′ ′ + =

( k w ) b 0

N N

′ + =

T b 0

T

′

′ ′ µ

+ + =

( k v ) T 0

M ′

Da notare che derivando ulteriormente la 3° equazione, potremo sostituire la T della 2ª equazione,

infatti avremo:

′ ′ + =

( k w ) b 0

N N

′ = −

T b

T

′

′ ′

′ ′ ′

µ

+ + =

( k v ) T 0

M

e sostituendo la 2ª equazione nella 3ª equazione otteniamo il seguente sistema, detto:

′ ′ + =

( k w ) b 0

N N SISTEMA EQUAZIONI DELLA TRAVE DI EULERO

di

µ

′

′ ′

′ ′

+ − =

( k v ) b 0

M T

HYP Ammettendo ulteriori ipotesi, possiamo semplificare ancora la soluzione del sistema:

- ipotizzando la sezione della trave costante;

- ipotizzando che il materiale costituente la trave sia uniforme;

k

possiamo considerare k e (rigidezza assiale e rigidezza flessionale) come delle costanti e

N M

ottenere (senza dover sviluppare la derivata del prodotto di due funzioni) il seguente sistema:

′

′ + =

k w b 0

N N

µ

′

′

′

′ + − =

k v ' b 0

M T

La soluzione di tale sistema (integrazione delle equazioni) comporta la comparsa di 6 costanti: 2

costanti derivanti dalla doppia integrazione della 1° equazione, e 4 costanti derivanti dalla

Tali costanti costituiscono le condizioni al contorno,

quadrupla integrazione della 2° equazione).

e descrivono come sono ancorati gli estremi della trave (rappresentano quindi i vincoli). 15/57

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esercizio (Mensola uniformemente caricata – Metodo degli spostamenti)

Consideriamo una mensola avente un carico uniformemente distribuito.

Avremo quindi che le forze:

=

b 0 (non vi sono forze assiali)

N = −

b ( S ) P (le forze trasversali corrispondono a – P)

T

µ = (non è applicato alcun momento esterno)

0

Andiamo a risolvere il problema proposto con il sistema di equazioni:

′

′ + = 0

k w b

N N

µ

′

′

′

′ + − =

' 0

k v b

M T

Sostituiamo all'

interno delle equazioni i valori delle forze esterne visti sopra:

′

′ =

k w 0 k

dividiamo tutto per k e così da ottenere le due

N N M

′

′

′

′ + =

k v P 0 equazioni degli spostamenti:

M

′

′ =

w 0

P

′

′

′

′ + =

v 0

k M

Risolviamole integrando (tra 0 ed S) due volte la prima equazione e quattro volte la seconda,

applicando il Teorema di Torricelli, secondo il quale:

“l’ integrale della derivata tra gli estremi dell’ intervallo a-b equivale alla differenza della funzione calcolata agli estremi dell’ intervallo a-b”:

b ′ = −

f ( x ) dx f (

b ) f ( a )

a

Applicando il T. di Torricelli, dall’ integrazione della prima equazione tra gli estremi 0 ed S,

avremo:

S ′ ′ ′ ′

= −

( w ) dx w ( S ) w ( 0

) abbiamo così ottenuto:

0 ′ ′ ′

=

w ( S ) w ( 0

) integrando nuovamente (notare che w ( 0 ) è costante):

S S S

′ ′ ′

= = −

w ( x ) dx w ( 0

) dx w ( x ) dx w

( S ) w

( 0

)

avremo, ricordando che :

0 0 0

′

− =

w

( S ) w

( 0 ) w ( 0 ) S abbiamo così ottenuto la funzione w

(S ) :

′ ′

= +

w

( S ) w

( 0 ) w ( 0 ) S (notare che i termini w

( 0 ), w ( 0 ) S sono costanti)

Si tratta di una funzione lineare. Ciò era prevedibile: infatti una funzione la cui derivata seconda è

nulla è una funzione lineare.

2

∞ soluzioni, che si riducono ad una unica soluzione valorizzando opportunamen-

Abbiamo quindi ′

te con le condizioni al contorno date dalle 2 costanti dell’ equazione ( w

( 0 ), w ( 0 ) S ). 16/57

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Passiamo ora ad integrare per quattro volte la seconda equazione:

P

′

′

′

′ = −

v ( S ) (notare che i termini a secondo membro sono costanti):

k M

S S S

P

′

′

′ ′ ′

′

′ ′ ′

′

′ ′

′

′

= − = −

( v ) ( S ) dx dx ( v ) ( S ) dx

dal T. di Torricelli v ( S ) v ( 0 ) :

k M

0 0 0

PS

′

′

′ ′

′

′

− =

v ( S ) v ( 0 ) ovvero:

k M

PS

′

′

′ ′

′

′

= −

v ( S ) v ( 0 ) integrando una seconda volta avremo:

k M

S S S

P

′

′

′ ′

′

′ ′

′

′

= −

v ( S ) dx v ( 0

) dx S dx da cui (ricordiamo che v ( 0 ) è una costante):

k M

0 0 0

2

PS

′

′ ′

′ ′

′

′

− = −

v ( S ) v ( 0 ) v ( 0 ) S ovvero:

2 k M

2

PS

′

′ ′

′ ′

′

′

= + −

v ( S ) v ( 0 ) v ( 0 ) S integrando una terza volta avremo (abbreviando):

2 k M 2 3

S PS

′ ′ ′

′ ′

′

′

= + + −

v ( S ) v ( 0 ) v ( 0 ) S v ( 0 ) e integrando una quarta volta avremo:

2 6 k M

2 3 4

S S PS

′ ′

′ ′

′

′

= + + + −

v ( S ) v ( 0 ) v ( 0 ) S v ( 0 ) v ( 0 )

2 6 24 k M

4

∞

Abbiamo quindi soluzioni che si riducono ad una unica soluzione valorizzando opportunamente

con le condizioni al contorno le 4 costanti dell’ equazione.

Vediamo ora quali sono le condizioni al contorno per una trave

vincolata in questa maniera. L

=

L’ incastro a sinistra (nel punto di ascissa S 0 ) impone che gli spostamenti (orizzontale w e

θ =

verticale v) e la rotazione ( ) della trave siano tutti nulli in quel punto. In S 0 avremo perciò

spostamento assiale w nullo, spostamento trasversale v nullo e rotazione nulla:

=

w

( 0

) 0

=

v ( 0 ) 0

θ =

( 0 ) 0 17/57

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

=

L'

estremo di