Risposta libera per un sistema tempo discreto lineare e non stazionario

Risposta in evoluzione libera per un sistema a tempo discreto, lineare e non stazionario

Se il sistema è lineare e discreto, la sua rappresentazione è la seguente:

• x(k+1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
• y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k)

Ricordiamo

• = f(x(k), u(k), k)
• = y(x(k), u(k), k)

Trovare una rappresentazione esplicita significa calcolare la funzione di transizione, che sappiamo essere:

x(k) = φ(k₀, k, x₀, u(•)) _[k₀,k]

Inoltre, sappiamo che se il sistema è lineare, si può dividere la risposta in evoluzione libera ed evoluzione forzata

• x(k) = x₁(k) + x_f(k) = φ(k₀, k, x₀, 0) + φ(k₀, k, x₀, u(•)) _[k₀,k]

In questa dimostrazione, analizzeremo la x₁(k)!

Iniziamo col riscrivere il sistema:

• x(k+1) = A(k)x(k)
• y(k) = C(k)x(k)

N.B. u(k) = 0 in quanto non abbiamo forzamento

In virtù del Th. delle trasformazioni lineari che ci dice che, possiamo sempre esprimere una trasformazione lineare come prodotto matrice per vettore, infatti, possiamo scrivere la matrice di transizione in questo modo:

• x(k) = φ(k₀, k, x₀, 0) = Φ(k₀, k)x(k) = Φ(k₀, k)x₀

Risposta in evoluzione libera per un sistema a tempo discreto, lineare e non stazionario

Se il sistema è lineare e discreto, la sua rappresentazione è la seguente:

• x(k+1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
• y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k)

Ricordiamo:

• = f(x(k), u(k), k)
• = y(x(k), u(k), k)

Trovare una rappresentazione esplicita significa calcolare la funzione di transizione, che sappiamo essere:

x(k) = φ(k₀, k, x₀, u(・))_{[k0, k]}

Inoltre, sappiamo che se il sistema è lineare, si può dividere la risposta in evoluzione libera ed evoluzione forzata:

x(k) = x_L(k) + x_F(k) = φ(k₀, k, x₀, 0) + φ(k₀, k, 0, u(・))_{[k0, k]}

In questa dimostrazione, analizzeremo la x_L(k)! Iniziamo col riscrivere il sistema:

• x(k+1) = A(k)x(k)
• y(k) = C(k)x(k)

N.B. u(k) = 0 in quanto non abbiamo forzamento

In virtù del Te. delle trasformazioni lineari che ci dice che possiamo sempre esprimere una trasformazione lineare come prodotto matrice per vettore, infatti, possiamo scrivere la matrice di transizione in questo modo:

x(k) = φ(k₀, k, x₀, 0) = Φ(k₀, k)x₀ = φ(k₀, k)x₀

Vediamo come è stata ottenuta questa relazione. Partiamo

dalla risposta dello stato nella rappresentazione implicita:

x(k+1) = A(k) x(k)

E partendo da k₀ arriviamo ad un generico in:

x(k₀+1) = A(k₀) x(k₀)

x(k₀+2) = A(k₀+1) x(k₀+1)

x(k₀+3) = A(k₀+2) x(k₀+2)

x(k₀+u-i) = A(k₀+u-2) x(k₀+u-2)

x(k₀+u) = A(k₀+u-1) x(k₀+u-1)

Notiamo che gli stati si richiamano tra loro, nel senso

che alla fine possiamo scrivere qualcosa del genere:

x(k₀+u) = A(k_u+u-i) A(k₀+u-2) A(k₀+u-3)... A(k₀+1) A(k₀) X₀

A questo punto, per comodità, possiamo scrivere che (k₀+u = k, quindi

x(k) = A(k-1) A(k-2) A(k-3)... A(k-u+1) A(k-u) X₀

Possiamo scrivere il tutto in maniera compatta tramite una produttoria,

x(k) = _k-u ∏^k-1 A(h)... X₀ = φ (k₀, k) X₀

stiamo dicendo che la produttoria è proprio la matrice di

transizione!

const. init.

x(t₀) = X₀