Risoluzione approssimata delle equazioni

Successione e funzione ϕ(t)

Xn+p−1 n+p−2 p j≤ · · · − | |x − |(k + k + + k )|x x < k x1 0 1 0j=ppk |x − | → →= x 0, p +∞1 0−1 kLa successione è quindi convergente perché verifica la condizione di Cauchy.−Data la successione (*) consideriamo la funzione ϕ(t) = f (t) t. Il segno della funzione ϕpuò dare informazioni sull’ eventuale monotonia della successione da studiare. Infatti, ϕ(a ) =n− − ∀n {a },f (a ) a = a a e quindi se ϕ(a ) > 0, la successione n = 1, 2, . . . , è crescenten n n+1 n n n∀n {a },mentre se se ϕ(a ) < 0, la successione n = 1, 2, . . . , è decrescente.n n G.Di FazioEsempio 1.1 Studiamo la successione ricorsiva definita ponendo1 x = , 0 2 1 2 ∀n ∈x = 1 + x N n+1 n21 122 2 − ∀t ∈In questo caso si ha: f (t) = 1 + t e quindi ϕ(t) = 1 + t t > 0, e quindi la successioneR2 {x },è monotona crescente perciò regolare.

Supponiamo che la successione n = 1, 2, . . . , sianconvergente. Siccome la funzione f è continua, il limite della successione dovrebbe essere uno dei punti fissi di f. Poiché la funzione f non ha punti fissi, x +∞. Esempio 1.2 Studiamo la successione ricorsiva definita ponendo 1  x = 0  2 √ n ∀n ∈ x = x  N n+1 n √ √ − ∀t ∈ In questo caso si ha: f (t) = t e quindi ϕ(t) = t t, La funzione ϕ(t) è positiva nell’ intervallo ]0, 1[ e negativa altrimenti. La successione è monotona crescente a patto che i suoi termini si trovino tutti in tale intervallo. Per provare che tutti i termini della successione stanno nell’intervallo procediamo per induzione su n. x [0, 1]. Supponiamo che x [0, 1] e proviamo che x [0, 1]. Poiché x = f (x ) proviamo che f ([0, 1]) [0, 1]. Ciò è evidente dal fatto che la funzione f è crescente in [0, 1]. A questo punto la successione è

convergente perché monotonae limitata. Il suo limite è uno dei punti fissi di f e quindi può essere soltanto 0 oppure 1. Dalla→monotonia segue che x 1.

In modo simile si possono studiare le successioni seguenti:

1. x₁ = 0, x_n+1 = x_n + 1
2. x₁ = 0, x_n+1 = -3x_n
3. x₁ = 0, x_n+1 = 4(2x_n + 1)
4. x₁ = α, x_n+1 = x_n + 1/n
5. x₁ = 2, x_n+1 = 2 + 1/n
6. x₁ = 1, x_n+1 = 2 + √x_n

1.2 Risoluzione numerica delle equazioni 2→Teorema 2.1 (metodo di Newton) Sia f : [a, b] di classe C ([a, b]), convessa, tale che f (a) > 0,Re f (b) < 0. Sia x̄ l’ unica soluzione dell’ equazione f (x) = 0. Allora, la successione definita in manieraricorsiva dalla legge  x = a,0 f (x )n− ≡ ∀n ∈ x

= x g(x ) Nn+1 n n 0f (x )nè convergente ad x̄. ∈]a,I punti fissi di g sono gli zeri di f e quindi l’unica radice che per ipotesi abbiamo, x̄ b[.f (t) ∈− − e quindi f e ϕ hanno lo stesso segno. Proviamo che x [a, x̄].Inoltre ϕ(t) = g(t) t = n0f (t) ∈x = a che ovviamente appartiene all’ intervallo [a, x̄]. Supponiamo, che x [a, b] e proviamo che0 n00f f0∈ → ∀x ∈x [a, b]. Si ha: g : [a, x̄] [a, x̄]. Infatti, g (t) = > 0 [a, x̄] e quindi la funzione g èn+1 02f f (a)⊂ −crescente. g([a, x̄]) = [g(a), g(x̄)] = [g(a), x̄] [a, x̄]. Infatti, g(a) = a > a. La successione0f (a)risulta quindi limitata e crescente quindi convergente all’ unico punto fisso che è x̄.→Teorema 2.2 (metodo delle corde) Sia f : [a, b] una funzione continua e convessa, f (a) <R0, f (b) > 0. Supponiamo che l’equazione f (x) = 0 abbia una sola soluzione x̄ in [a, b]. Allora lasuccessione definita in

modo ricorsivo mediante la legge

 x = a,0

 −f (x )(b x )n n ∀n ∈

−x = x Nn+1 n

 −f (b) f (x )nè convergente ad x̄.

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