Risoluzione approssimata delle equazioni

1. Risoluzione approssimata delle equazioni

1.1 Successioni ricorsive

→ ∈

Definizione 1.1 Sia f : (a, b) (a, b), x (a, b). La successione definita ponendo

0

( ∈

x (a, b),

0 (∗)

∀n ∈

x = f (x ) N

n+1 n

si dice successione ricorsiva di funzione generatrice f.

Lo scopo di questo paragrafo è di dare una procedura che permetta la determinazione dell’ eventuale

limite della successione.

∈

Definizione 1.2 Se x̄ (a, b) è tale che f (x̄) = x̄ allora si dice un punto fisso per la funzione f.

→ ∈

Teorema 1.1 Sia f : (a, b) (a, b), x (a, b), e supponiamo f continua in (a, b). Se la successione

0

(*) è convergente allora il suo limite è un punto fisso di f.

Dim. È sufficiente passare al limite nella legge ricorsiva che definisce la successione.

→ ≤ |f − ≤

Teorema 1.2 Sia f : [a, b] [a, b] e supponiamo che esiste 0 k < 1 tale che (x ) f (x )|

1 2

− |, ∀x ∈

k|x x , x [a, b]. Allora la successione (*) è convergente.

1 2 1 2

Dim. Usando la legge di definizione si ha: n

|x − | |f − ≤ − | ≤ ≤ |x − | →

x = (x ) f (x )| k|x x . . . k x 0

n+1 n n n−1 n n−1 1 0

e quindi |x − | ≤ |x − | |x − | · · · |x − |

x x + x + + x

n+p n n+p n+p−1 n+p−1 n+p−2 n+1 n

+∞

X

n+p−1 n+p−2 p j

≤ · · · − | |x − |

(k + k + + k )|x x < k x

1 0 1 0

j=p

p

k |x − | → →

= x 0, p +∞

1 0

−

1 k

La successione è quindi convergente perché verifica la condizione di Cauchy.

−

Data la successione (*) consideriamo la funzione ϕ(t) = f (t) t. Il segno della funzione ϕ

può dare informazioni sull’ eventuale monotonia della successione da studiare. Infatti, ϕ(a ) =

n

− − ∀n {a },

f (a ) a = a a e quindi se ϕ(a ) > 0, la successione n = 1, 2, . . . , è crescente

n n n+1 n n n

∀n {a },

mentre se se ϕ(a ) < 0, la successione n = 1, 2, . . . , è decrescente.

n n G.Di Fazio

Esempio 1.1 Studiamo la successione ricorsiva definita ponendo

1

 x = ,

 0

 2 1 2 ∀n ∈

x = 1 + x

 N

 n+1 n

2

1 12

2 2 − ∀t ∈

In questo caso si ha: f (t) = 1 + t e quindi ϕ(t) = 1 + t t > 0, e quindi la successione

R

2 {x },

è monotona crescente perciò regolare. Supponiamo che la successione n = 1, 2, . . . , sia

n

convergente. Siccome la funzione f è continua, il limite della successione