Analisi matematica 1 - equazioni fratte letterali e risoluzione

Risoluzione e verifica di un'equazione di I grado

Equazione a)

1^o membro: 2(3x + 2) + 3(x - 1) = 11x + 7
6x + 4 + 3x - 3 = 11x + 7
6x + 3x - 11x = -4 + 3 + 7
-2x = 6
2x = -6
x = -3

Equazione b)

^{x - 3}/₃ + ³/₂ = ⁴/₃ x
m.c.m = 6
2x - 6 + 9 = 8x
2x - 8x = 6 - 9
-6x = -3
x = ¹/₂

Equazione c)

x + 3 = 2(x - 4) - x
x + 3 = 2x - 8 - x
x - 2x + x = -3 - 8
0 · x = -11
Non ammette nessuna soluzione e quindi è impossibile.

Equazione Dx

^{x - 8}/₁₂ + ^{x + 4}/₄ = ^{x + 1}/₃
m.c.m = 12
x - 8 + 3x + 12 = 4x + 9
x + 3x - 4x = 8 - 12 + 4
0 · x = 0
Identità o indeterminata.
x ∈ R

Consigli per risolvere un'equazione di I grado

1. Liberare l'equazione dai denominatori.
2. Eliminare le parentesi, eseguendo le operazioni indicate.
3. Trasportare nel primo membro i termini con la x e nel secondo quelli senza x (e viceversa).
4. Ridurre i termini simili.
5. Dividere primo e secondo membro dell'equazione per il coefficiente ottenuto per x, supposto diverso da zero.

Verifica equazione

x - 3/8 + 3/2 = 6/3x
Risultato: x = 1/2
Verifica: 1/2 /3 + 3/2 = 6/3 · 1/2
-5/6 + 3/2 = 2/3
4/6 = 2/3

Equazioni fratte

Equazione a)

¹⁄_x-2 + ³⁄_x+2 = ^x2+5⁄_x²-4
¹⁄_x-2 + ³⁄_x+2 = ^x+5⁄_(x-2)(x+2)
m.c.m. = (x-2)(x+2)
x+2 + 3x-6 = x+5
x + 3x - x = -2 + 6 + 5
x = 3

Equazione b)

^2x+1⁄_x+1 = ²⁄_x²-1 + 2
^2x+1⁄_x+1 = ²⁄_(x-1)(x+1) + 2
m.c.m. = (x-1)(x+1)
(2x+1)(x-1) = 2 + 2(x-1)(x+1)
2x²-2x+x-1 = 2 + 2(x²+x-1)
2x²-2x+x-1 = 2 + 2x²-2-x = 1
x = -1
Non ammette soluzioni: impossibile

Equazioni letterali

In questo caso i coefficienti non sono solo numerici, ma tutti o in parte letterali. È da ricordare che, esclusa l'incognita, tutte le altre lettere sono da considerare come costanti, cioè come numeri noti e ben determinati. Anche le equazioni di 1^o grado letterali si risolvono come quelle intere; ma poiché in generale le lettere compaiono anche nelle soluzioni, occorre vedere se vi sono particolari valori di tali lettere per i quali l'equazione diventa impossibile o indeterminata.

Equazione letterale

1. a(x-b) - b(x-a) = 1
   ax - ab - bx + ab = 1
   ax - bx = 1
   (a-b)x = 1
   Se a ≠ b e a – b ≠ 0 possiamo allora dividere primo e secondo membro per a-b:
   x = ¹/_(a-b) Equazione determinata
2. x + e/a – 2b + x - e/a + 2b = ^4e2/_{e² – 4b²}
   x + e/a – 2b + x - e/a + 2b = ^4e2/_{(a – 2b)(a + 2b)}
   m.c.m. = (a – 2b)(a + 2b)
   a ≠ ± 2b