Risk Management - corso completo

Calcolo del valore futuro del prestito con rating BBB

Calcolando il valore futuro del mio prestito, posso determinare quale sarà il suo valore futuro nel caso in cui il cliente mantenga un rating BBB. Quello che dobbiamo fare ora, poiché ci viene richiesto di calcolare la perdita inattesa su un intervallo di confidenza del 99%, è considerare come potrebbe migrare questo prestito nelle altre classi di rating e quale potrebbe essere il suo valore atteso tra un anno se migrasse appunto nelle altre classi.

Quindi ripetiamo lo stesso procedimento per il calcolo del valore futuro, ma questa volta con le altre classi e di conseguenza con le altre curve dei tassi. Calcolato il valore che mi aspetto di ottenere su ogni singola migrazione, devo capire qual è la probabilità che il prestito assuma quel determinato valore che ho calcolato. Devo associare al valore futuro che ho calcolato la loro probabilità di accadimento; per fare ciò utilizzo i dati della matrice di transizione che mi dicevano proprio quale fosse.

la probabilità che un prestito BBB possa mantenere la sua classe, salire o scendere. Paratore Giovanni A questo punto possiamo calcolarci facilmente qual è il valore atteso medio, facendo la somma dei valori futuri ponderati. Questo ci restituisce una prima indicazione della perdita attesa e della perdita inattesa. Per calcolarci il valore di default, utilizziamo l'informazione che ci viene data dalla banca che è il Recovery Rate (RR). Come vediamo, possiamo calcolarci la perdita attesa (EL) facendo semplicemente la differenza tra il valore FV che il prestito avrebbe se mantenesse la sua classe di rating e la media di tutti i possibili scenari futuri BBB FV medio. Fatto questo, devo ancora calcolare la perdita inattesa. Per fare ciò, occorre conoscere qual è l'intervallo di confidenza per la valutazione. Riordino tutti i valori futuri del prestito in ordine decrescente e individuo la percentuale desiderata per individuare il caso worst case (WCS), chetaglia la distribuzione stessa in corrispondenza di un valore diperdita che isola almeno l'x% dei casi peggiori. Individuato il WCS, la differenza tra il valore atteso del prestito e il WCS stesso mi restituisce una misura di VAR. Paratore Giovanni Il WCS individuato mi aiuta ad isolare, in questo caso, l'1% dei casi peggiori. Dato che il nostro WCS è il declassamento a livello B, posso trovarmi la perdita nel caso peggiore, PerditaFVWCS, ottenuta sottraendo al valore futuro che il credito avrebbe se non si spostasse di classe, quindi BBBFV, meno quello che avrebbe in caso si declassasse fino al WCS, ovvero alla classe B (WCS). Tuttavia sappiamo che questa perdita è già coperta; perché nella perdita WCS ho tutto, anche la componente attesa. Per determinare solo la perdita inattesa (VAR), sottraggo alla massima perdita probabile, Perdita WCS, la perdita attesa (EL). La stessa cosa posso ottenerla ragionando sui valori futuri che il prestito avrebbe.può essere calcolata moltiplicando le probabilità individuali. Ad esempio, se la probabilità di default del primo prestito è del 5% e la probabilità di default del secondo prestito è del 3%, la probabilità congiunta di default di entrambi i prestiti sarà del 0,15% (5% * 3%). Tuttavia, se i due prestiti non sono completamente indipendenti, ma sono correlati tra loro, il calcolo della probabilità congiunta diventa più complesso. In questo caso, è necessario considerare la correlazione tra i due prestiti. La correlazione misura la relazione tra le variazioni del rischio di credito dei due prestiti. Può essere positiva, negativa o nulla. Una correlazione positiva significa che le variazioni del rischio di credito dei due prestiti si muovono nella stessa direzione, mentre una correlazione negativa significa che si muovono in direzioni opposte. Per calcolare la probabilità congiunta in presenza di correlazione, è necessario utilizzare una formula più complessa, come ad esempio la formula di copula. Questa formula tiene conto sia delle probabilità individuali dei prestiti che della correlazione tra di essi. In conclusione, per stimare il rischio di credito in un portafoglio di due esposizioni, è necessario considerare sia le probabilità individuali dei prestiti che la correlazione tra di essi. Questo permette di ottenere una stima più accurata del rischio complessivo del portafoglio.sarà la somma delle loro probabilità corrispettive individuali. Tuttavia sappiamo come questa situazione di perfetta indipendenza sia solo un'ipotesi scolastica, perché nella normalità i prestiti sono tra loro correlati (hanno fattori comuni che ne determinano la variazione). Poiché dunque i prestiti sono tra loro correlati, dobbiamo disporre della matrice di probabilità di migrazione congiunta (transizione congiunta) che tiene conto della correlazione tra i due prestiti. Calcolo del VAR di portafoglio Calcolata la matrice di migrazione congiunta il Var di portafoglio nel modello credit metrics si calcola adottando esattamente lo stesso procedimento visto per un singolo prestito. Dobbiamo quindi capire qual è il valore futuro atteso del portafoglio, quindi dei due titoli, dato dalla somma del valore futuro atteso dei due singoli titoli (ottenuto scontando il valore dei FC con adeguata curva dei tassi forward); dobbbiamo poi calcolare la

media del valore futuro atteso del portafoglio;

ordinare tutti i valori futuri del portafoglio in senso decrescente e andare ad individuare il WCS scenario sulla base dell'intervallo di confidenza adottato.

La differenza tra il valore atteso medio del portafoglio, che contiene in se il concetto di perdita attesa, e il valore atteso nel caso WCS, restituisce la misura di perdita inattesa, ovvero restituisce il VAR.

Il valore di due prestiti e l'effetto della diversificazione

Proviamo a vedere un esempio. I dati qui riportati li troviamo sul file Excel con numerazione 12. Valutiamo questo portafoglio composto da due prestiti:

Primo prestito: Prestito a tasso fisso Ammontare: 100 ml euro Scadenza: 5 anni Tasso fisso: 6% Recovery rate in caso di default: 30% del valore nominale Rating di partenza: B Secondo prestito: Valore nominale: 100 milioni di euro Tasso annuo nominale di interesse: 5,5% Vita residua: 4 anni Recovery rate: 50% Classe di merito del debitore: A Paratore Giovanni

Matrice di

transizione
<table>
  <tr>
    <th></th>
    <th>A</th>
    <th>B</th>
    <th>C</th>
    <th>Default</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>A</td>
    <td>96,5%</td>
    <td>2,0%</td>
    <td>1,0%</td>
    <td>0,5%</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>B</td>
    <td>1,5%</td>
    <td>95,0%</td>
    <td>2,5%</td>
    <td>1,0%</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>0,5%</td>
    <td>2,0%</td>
    <td>94,5%</td>
    <td>3,0%</td>
  </tr>
</table>

Struttura a termine dei tassi forward
<table>
  <tr>
    <th></th>
    <th>1 anno</th>
    <th>2 anni</th>
    <th>3 anni</th>
    <th>4 anni</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>A</td>
    <td>4,00%</td>
    <td>4,05%</td>
    <td>4,34%</td>
    <td>4,50%</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>B</td>
    <td>4,50%</td>
    <td>4,55%</td>
    <td>4,84%</td>
    <td>5,00%</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>5,00%</td>
    <td>5,05%</td>
    <td>5,34%</td>
    <td>5,50%</td>
  </tr>
</table>

Proviamo ad andare a calcolare la perdita inattesa sul portafoglio.
Per prima cosa dobbiamo calcolare la perdita inattesa su ogni singolo prestito.

Primo prestito
<table>
  <tr>
    <th>t</th>
    <th>1</th>
    <th>2</th>
    <th>3</th>
    <th>4</th>
    <th>5</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>Flows</td>
    <td>6</td>
    <td>6</td>
    <td>6</td>
    <td>6</td>
    <td>106</td>
  </tr>
</table>

Abbiamo una distribuzione di flussi pari a 6 per i primi 4 anni di vita del prestito e la restituzione del prestito
alla scadenza più la cedola quindi pari a 106.

<table>
  <tr>
    <th>t</th>
    <th>1</th>
    <th>2</th>
    <th>3</th>
    <th>4</th>
    <th>5</th>
    <th>TOTALE</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>A</td>
    <td>6</td>
    <td>5,77</td>
    <td>5,54</td>
    <td>5,28</td>
    <td>88,88</td>
    <td>111,47</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>B</td>
    <td>6</td>
    <td>5,74</td>
    <td>5,49</td>
    <td>5,21</td>
    <td>87,20</td>
    <td>109,64</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>6</td>
    <td>5,71</td>
    <td>5,44</td>
    <td>5,13</td>
    <td>85,56</td>
    <td>107,84</td>
  </tr>
</table>

Andiamo a scontare tutti i flussi di cassa utilizzando la curva dei tassi forward. Per farlo dobbiamo
considerare che il merito di credito del cliente (B) possa rimanere invariato o possa migrare negli anni.

<table>
  <tr>
    <th>CF pr.</th>
    <th>Valore atteso</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>A</td>
    <td>111,47</td>
    <td>1,50%</td>
    <td>1,67</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>B</td>
    <td>109,64</td>
    <td>95,00%</td>
    <td>104,16</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>107,84</td>
    <td>2,50%</td>
    <td>2,70</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>default</td>
    <td>30</td>
    <td>1%</td>
  </tr>
</table>

0,30108,82Paratore Giovanni

Ad ognuno dei valori futuri andiamo ad associare la sua probabilità di accadimento, ovvero quella chetroviamo nella matrice di transizione. Moltiplichiamo poi i CF per le probabilità associate ottenendo ilvalore atteso di ciascuno; trovati questi valori li sommiamo per trovare il valore atteso medio.

Il livello di confidenza che stiamo utilizzando è pari al 98% quindi dobbiamo andare ad individuare qua è ilpeggior caso, la peggior perdita possibile, escludendo il 2% delle perdite peggiori.

Per fare questo riordiniamo i prestiti in valore decrescente prendendo quello con la percentuale che eguaglio superi il 2%, escludendo così almeno il 2% delle perdite peggiori; in questo caso il nostro WCS sarà 2,70.

A questo punto dobbiamo solo più calcolarci il VAR che sarà pari alla differenza tra il valore medio atteso eil valore del nostro caso WCS. La perdita inattesa sarà quindi pari a 0,98 ogni 100 eur di

capitale prestato. Valore atteso = 108,82

Worst case scenario (livello di confidenza: 98%) = 107,84

VAR (massima perdita potenziale eccedente la perdita attesa) = 108,82 – 107,84 = 0,98

Secondo prestito

Ci spostiamo sul secondo prestito e adottiamo lo stesso calcolo.

Rischio complessivo del portafoglio

Una volta valutate le singole perdite inattese dei singoli prestiti, dobbiamo calcolare il rischio complessivo del portafoglio, quindi la perdita inattesa del portafoglio. Per farlo dobbiamo disporre delle probabilità di transizione o di migrazione congiunture dei due prestiti; quindi utilizziamo la matrice di transizione congiunta che noi non calcoliamo, ma consideriamo come già data dalla banca.

Stato futuro del II credito Totale

Stato futuro	A	B	C	D
A	1,5%	0,0%	0,0%	0,0%	1,5%
B	92,2%	1,7%	0,8%	0,3%	95,0%
C	2,1%	0,2%	0,1%	0,1%	2,5%
D	0,7%	0,1%	0,1%	0,1%	1,0%
Totale	96,5%	2,0%	1,0%	0,5%	100%

Paratore Giovanni

Leggendo il primo valore della tabella, 1,5%, esso ci dice

qual è la probabilità che il primo prestito salga in classe A, avendo rating di partenza pari a B, e contemporaneamente il secondo prestito mantenga la sua classe di appartenenza, A. Quindi questo 1,5% è la probabilità che entrambi i crediti siano di classe A. Scendendo e leggendo il 92,2%, ci dice la probabilità che il primo prestito si trovi in classe B, quindi mantenga la sua classe di appartenenza e il secondo prestito si trovi in classe A, ovvero anche lui mantenga la sua classe. Calcoliamo poi qual è il valore che può assumere l'intero portafoglio in tutti i possibili scenari di migrazione. Quindi calcoliamo qual è la distribuzione dei valori futuri del portafoglio semplicemente sommando il valore futuro atteso dei due prestiti, nelle diverse combinazioni di classi di rating ai quali i prestiti possono appartenere. Quindi ad esempio il primo valore è la somma del FV che il prestito uno avrebbe se migrasse in classe A

piùil FV che il secondo prestito avrebbe se rimanesse in classe A.Paratore Giovanni

A questo punto ordiniamo il valore futuro atteso del portafoglio in ordine decrescente. Attribuiamo ad ognivalore futuro atteso la sua probabilità di accadimento, utilizzando appunto la sua matrice di transizionecongiunta e moltiplichiamo come per i singoli prestiti, i FV per la probabilità di accadimento in modo daottenere il FV atteso ponderato, lo sommiamo e troviamo così il valore atteso futuro medio del portafoglio(217,37).

Il caso WCS con intervallo di confidenza 98%, lo individuiamo in corrispondenza del valore futuro delportafoglio pari a 215,63, poiché è a questo livello che la probabilità cumulata superi il 2%.

Il Var, ovvero il valore atteso medio meno il WCS è pari a 1,74. Osserviamo com