Risk Management

EAC II: Risk management

Il modello del repricing gap

Il repricing gap è il modello di gestione e misurazione del rischio di interesse più noto e diffuso. Il rischio di interesse deriva dal fatto che le attività fruttifere di interesse e le passività onerose presentano una diversa sensibilità alle variazioni dei tassi di mercato. La variabile obiettivo su cui si calcola l'effetto di possibili variazioni dei tassi di interesse è un margine di interesse.

Il concetto di gap

Il gap (G) di un determinato periodo t (gapping period) è definito come la differenza fra le attività sensibili (AS) e le passività sensibili (PS) alle variazioni dei tassi di interesse, dove per sensibili si intendono quelle attività e passività che giungono in scadenza o che prevedono una revisione del relativo tasso di interesse nel corso del gapping period. Per calcolare, ad esempio, il gap a t = 6 mesi, occorre considerare tutte le attività e la passività a tasso fisso che scadono entro i prossimi 6 mesi e quelle a tasso variabile che prevedono una revisione del tasso entro i prossimi 6 mesi. Il gap è in questo caso positivo, come illustrato nella figura a fianco. Cambiano t, cambiano anche AS, PS e il gap.

Il gap e il margine di interesse

Il margine di interesse MI è dato dalla differenza fra interessi attivi (IA) e interessi passivi (IP), ovvero: dove AS: attività sensibili; ANS: attività non sensibili. Quindi la variazione del margine di interesse è:

Il gap rappresenta la variabile che lega le variazioni del margine di interesse alle variazioni dei tassi di interesse di mercato. In base al segno del gap e della variazione dei tassi di mercato, la variazione del margine di interesse può assumere segni diversi:

• In presenza di aspettative di rialzo dei tassi di mercato, ad esempio, una banca ha interesse a ridurre il valore assoluto di un eventuale gap negativo o ad aumentare la dimensione di un eventuale gap positivo e viceversa.

Il gap e alcuni indicatori valuta l'impatto di una variazione dei tassi sul rapporto fra margine di interesse e mezzi propri, un indicatore di redditività molto utilizzato. Misura la sensibilità alla variazione dei tassi del rapporto fra margine di interesse e attività fruttifere (AF). È insensibile alla dimensione della banca e particolarmente appropriato per confronti fra banche di dimensioni differenti.

Il maturity adjusted gap

Il gap a un anno è nullo, ma la scansione temporale con cui le attività sensibili scadranno/si riprezzeranno, nel corso dei successivi 12 mesi, è diversa da quella seguita dalle passività sensibili. Il maturity adjusted gap permette di affrontare il problema della diversa scansione temporale dei riprezzamenti/scadenze delle attività e delle passività sensibili.

In realtà l'eventuale variazione del tasso di interesse esercita i propri effetti unicamente per il periodo di tempo compreso fra la data di scadenza/revisione del tasso della singola posta e la fine del gapping period. Per esempio, nel caso della prima posta del bilancio semplificato suindicato, il nuovo rendimento diverrebbe effettivo solo dopo 30 giorni (1/12 di anno).

Per ogni attività sensibile j che frutta un tasso di interesse i, l'ammontare di interessi attivi sarà dato da: La parte di formula dopo il +: è questa componente a determinare la variazione degli interessi attivi in caso di variazione dei tassi di mercato.

La variazione complessiva degli interessi attivi connessi all'insieme delle n attività sensibili della banca è perciò: Allo stesso modo la variazione complessiva degli interessi passivi è: Ipotizzando una variazione uniforme dei tassi attivi e passivi, la variazione del margine di interesse è stimabile in questo modo: dove G(MA) indica il gap corretto per la scadenza (maturity-adjusted gap).

Con i dati del precedente esempio sul bilancio semplificato, mentendo fissato a un anno il gapping period, si ottiene: E quindi un maturity-adjusted gap annuo di quasi 70 milioni, rispetto a un gap nullo.

Gap marginali e cumulati

Il calcolo del gap presuppone la definizione di un gapping period di riferimento. Si può quindi distinguere tra:

• Gap cumulati: definiti come la differenza fra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso entro una determinata data futura (t1, t2 > t1, t3 > t2, ecc).
• Gap periodali o marginali: definiti come differenza fra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso in un particolare periodo futuro (ad esempio tra 0 e t1, o tra t1 e t2, ecc).

Il gap cumulato relativo a un certo t non è altro che la somma algebrica di tutti i gap marginali relativi a t ed ai periodi precedenti.

La seguente tabella mostra i gap marginali e cumulati del bilancio, sulla base del precedente esercizio: I gap marginali ci segnalano che la banca detiene una posizione lunga (attività sensibili superiori a passività sensibili) nel primo mese e nel periodo da 3 a 6 mesi, cui fa riscontro una posizione corta nel periodo da 1 a 3 mesi e da 6 a 12 mesi.

Utilizzando i gap marginali e cumulati è possibile ottenere una versione semplificata del maturity-adjusted gap che non richiede la conoscenza dell'effettiva data di prezzamento di ogni singola attività e passività sensibile. Approssimando con tj* = (tj + tj-1) / 2 (punto medio di ogni gap periodale) pa data di revisione del tasso si ha: dove G’ indica il gap marginale e G1W il gap cumulato ponderato a un anno.

I gap marginali e cumulati consentono di prefigurare l’impatto sul margine di più variazioni intra-annuali nei tassi di interesse. I gap marginali consentono dunque di analizzare l’effetto sul margine di una possibile traiettoria temporale dei tassi di mercato. La presenza di gap periodali diversi da zero può quindi generare una variazione del margine di interesse anche in presenza di un gap cumulato nullo. La completa eliminazione del rischio di interesse richiederebbe l’azzeramento di tutti i gap marginali, anche giornalieri.

I limiti del modello del repricing gap

• Ipotesi di variazioni uniformi dei tassi attivi e passivi e dei tassi di diversa scadenza: a fronte di una certa variazione dei tassi di mercato, alcune attività o passività della banca in realtà si adeguano in misura più marcata rispetto ad altre e, inoltre, i tassi a diversa scadenza non subiscono variazioni uniformi.
• Il trattamento delle poste a vista: i tassi di interesse relativi alle poste a vista non si adeguano immediatamente alle variazioni dei tassi di mercato.
• Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi di interesse sulla quantità di fondi intermediati: il modello si concentra esclusivamente su dei valori flusso, senza alcuna considerazione per gli eventuali effetti sui valori stock.
• Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi sui valori di mercato: un rialzo dei tassi, ad esempio, non si limita ad esercitare effetti sui flussi reddituali connessi alle attività fruttifere e alle passività onerose, ma modifica anche i valori di mercato di queste ultime. Tale effetto è ignorato dal repricing gap.

Variazioni di tassi non uniformi: il gap standardizzato

Si stima la diversa sensibilità alla variazione dei tassi di mercato delle diverse poste di bilancio:

• Identificazione di un tasso di riferimento (ad esempio Euribor a 3 mesi);
• Stima della sensibilità dei diversi tassi attivi e passivi al tasso di riferimento (ßj e yk, rispettivamente per le attività e le passività);
• Calcolo del gap corretto: dove Gs rappresenta il repricing gap corretto per la diversa sensibilità delle attività e delle passività.

Variazione dei tassi sulle poste a vista

Il modello del gap standardizzato può essere ulteriormente perfezionato tenendo conto dei ritardi di adeguamento delle poste a vista.

1. Si stima la struttura media dei ritardi di adeguamento alla variazione dei tassi di mercato attraverso l'analisi statistica di dati storici;
2. Si stima la percentuale di variazione recepita nel gapping period considerato.

Utilizzando i dati della tabella sovra riportata: i depositi a vista andranno allocati ai diversi gap marginali in base ai ritardi evidenziati dai riprezzamenti passati. Questo significa che 38 milioni (380*0,10) andranno considerati nella fascia con scadenza entro un mese, 190 milioni (380*0,50) andranno collocati nella fascia entro tre mesi, e così via.

Interazione di prezzi e quantità e effetti sul valore di attivi e passivi

I coefficienti ß ed y utilizzati nel calcolo del gap standardizzato potrebbero essere modificati per tenere conti anche dell'elasticità della quantità ai prezzi. Date una variazione del 1% dei tassi-guida, una variazione del rendimento di una certa attività sensibile pari a ß e una variazione dei volumi del x%, il ß modificato è pari a ß' = ß(1+x%). Tale modificazione sarebbe in realtà arbitraria, in quanto i volumi variano non soltanto in base ai movimenti dei tassi.

Per tener conto degli effetti sul valore di attivi e passivi è necessario passare da un modello reddituale, come il repricing gap, ad un modello patrimoniale, come il duration gap, in cui la variabile obiettivo è appunto una grandezza patrimoniale.

Esercizi

• Esercizio 1 (slide 21)
• Esercizio 2 (slide 22)
• Esercizio 3 (slide 23 e 25)
• Esercizio 4 (slide 24)

Il modello del duration gap

Una contabilità a valori di mercato

Consideriamo il seguente SP semplificato della banca Alfa (2006):

Senza alcuna variazione di tassi il MI sarebbe: MI 2007 = IA 2007 - IP 2007 = (5%*100) - (3%*90) = 5 - 2,7 = 2,3

Il ROE della banca sarebbe il 23%

Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:

Si supponga un aumento dei tassi dell'1% al primo gennaio del 2007. Il margine di interesse della banca Alfa non subirebbe alcuna variazione nel 2007 e nel 2008 rispetto a quanto atteso. Attività e passività della banca sono infatti a tasso fisso. Il MI risulta ancora pari a 2,3 per il 2007 e per il 2008.

Nel 2009 la banca Alfa si rifinanzia alle nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposito con altri CD, a un tasso di interesse superiore di un punto percentuale (4%). Il MI relativo al 2009 è dunque: MI 2009 = IA 2009 - IP 2009 = (5%*100) - (4%*90) = 5 - 3,6 = 1,4

Il ROE è invece pari al 9,59% (1,4 di utile diviso 14,6 composto da 10 di patrimonio iniziale e 2,3 + 2,3 di utile per il 2007 e il 2008). Seguendo la logica del repricing gap, l'effetto di una variazione dei tassi avvenuta all'inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione del MI.

Un aumento dei tassi di interesse produce una riduzione del valore di mercato delle attività e passività finanziarie a tasso fisso:

• Dopo l’aumento dei tassi dell’1% (al 6%), il valore di mercato del mutuo alla fine del 2007 è (vita residua = 9 anni, tasso 5%);
• Il valore dei certificati di deposito a fine 2007 sarebbe (vita residua = 1 anno, interesse pagato sul CD 3%).

Il bilancio a valori di mercato alla fine del 2007 sarebbe:

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio è dato da: U 2007 = MI + ∆VMb = MI + ∆VMa - ∆VMp U 2007 = (5 - 2,7) + [(93,2 - 100) - (89,13 - 90)] = - 3,63

La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,93 (data dal saldo tra la variazione di valore dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi per 2,3. L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.

A fine 2008:

• Il valore del CD, in scadenza, è 90 (importo da rimborsare);
• Il valore di mercato del mutuo (vita residua 8 anni), è.

Lo SP a fine 2008 è quindi:

La duration

La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo (o valore di mercato totale) dello strumento finanziario.

Al 1/1/2007 consideriamo un titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6%, con vita residua di quattro anni (scadenza 31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto dal mercato è pari al 6%. Il prezzo è allora uguale al valore di rimborso.

La duration modificata

Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato. Partiamo dalla relazione tra prezzo di un titolo (P) e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato (y): La duration modificata consente di quantificare la variazione percentuale di prezzo corrispondente a una variazione (infinitesima) dei rendimenti di mercato. Utilizzando variazioni del tasso di rendimento finite (∆y), si ottiene una stima approssimata della conseguente variazione percentuale del prezzo: La duration è tanto minore quanto maggiori sono il numero e la consistenza dei flussi intermedi. Se un titolo obbligazionario ha vita residua più breve e/o cedole di maggiore importo, a fronte della stessa variazione dei tassi di mercato, registra una variazione di prezzo più contenuta, grazie a una minore duration.

La duration è espressa in unità temporali, ossia generalmente in anni. Si può dimostrare che la duration di un portafoglio non è altro che la media delle duration dei singoli titoli che lo compongono, ognuno ponderato per il proprio valore di mercato.

Il duration gap

Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi. La variazione del valore di mercato del patrimonio della banca è quindi:

Assumendo che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo siano uguali, si ottiene:

Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

1. Il valore di mercato del totale dell’attivo;
2. La dimensione della variazione dei tassi di interesse;
3. La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap.

La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo:

• Se il valore netto iniziale è pari a zero (VMB = VMA - VMP = 0), ciò accade quando la sensibilità del valore delle attività è uguale a quella delle passività (DMA = DMP);
• Se, più realisticamente, il valore delle attività è superiore a quello delle passività (VMA > VMP e VMB > 0), ciò accade per una duration del passivo superiore a quella dell’attivo (ma nella realtà è più probabile che DMA > DMP).

Calcoliamo la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap nella Banca Alfa. Collochiamoci al 31.12.2007, un attimo prima dell’aumento dei tassi.

È ora possibile stimare la variazione che subirebbe il valore di mercato del patrimonio della banca a seguito di un rialzo del 1% dei tassi di mercato. In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro, oltre il 60% del suo valore di partenza. Il risultato ottenuto è diverso dalla minusvalenza di 5,93 milioni di euro calcolata precedentemente. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

I problemi del modello della duration gap

1. Politiche di immunizzazione: anche se una banca riesce ad annullare il suo duration gap, mediante l’utilizzo di strumenti derivati o politiche di ristrutturazione del bilancio, l’efficacia di questa strategia di immunizzazione dal rischio risulterà limitata nel tempo, per diversi motivi:
   • La duration dell’attivo della banca può variare, nel tempo, in modo diverso da quella del passivo, modificando così il duration gap della banca. Soltanto se la variazione dei tassi si verifica subito dopo l’immunizzazione è verosimile che il valore di mercato del patrimonio della banca non subisca alcuna variazione;
   • Le variazioni dei tassi di interesse modificano la duration di attività e passività, modificando così il duration gap della banca. Le politiche di immunizzazione dovrebbero essere ricalibrate ogni volta che si verifica una variazione nel libello dei tassi.
2. Costi connessi alle politiche di immunizzazione: simili politiche richiedono di modificare la duration e dunque la scadenza, delle attività.