Statistica - formule

B B

Ω Ω

Dato uno spazio campionario , due eventi A e B che appartengono a sono mutuamente esclusivi, o incompatibili, se non

∩ A A

possono verificarsi contemporaneamente. → A B =0 ∩

Se invece possono verificarsi contemporaneamente sono non mutuamente esclusivi . → A B ≠ 0

Vedi figura a lato Mutuamente esclusivi Non mutuamente

l esclusivi

∪

PERAZIONI SUGLI INSIEMI ] a) -Unione : A B è l'evento che

appartiene ad " A oppure B o entrambi";

Ω Ω

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di si possono ottenere nuovi eventi di . ∩

b)-Intersezione : A B è l'evento che

Ω 1

Se A e B sono eventi di , allora appartiene solamente "sia A che B ";

contemporanemente

c)-Complementare : A è l'evento " non A

"

d)-Differenza : A - B è l'evento "A ma

non B".

28

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ:CALCOLO DEGLI EVENTI ]

∪

L'unione tra due eventi A e B ossia A B

• ( ossia quel nuovo evento che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi A e B oppure entrambi )

∩

L'evento intersezione tra due eventi A e B ossia A B

• ( ossia quel nuovo evento che si verifica quando si verificano contempora neamente sia l'evento A che l'evento B ).

Superate l'esame di statistica e prendete un voto superiore a 25

• La negazione di un evento A , ossia A

• ( ossia quell'evento che si verifica quando non si verifica A )

∩

A e B sono due eventi incompatibili se A B = Ø ( se l'intersezione tra i due eventi è Ø vuoto )

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ : CONCETTI PRIMITIVI ]

Esperimento aleatorio o prova

• Alcuni esperimenti sono esattamente altri non son principio

ripetibili ripetibili

• Evento

• Probabilità

• Legame tra esperimento, evento e probabilità:

• L'esperimento genera l'evento con una certa probabilità

•

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ : DEFINIZIONI ]

Un esperimento aleatorio è un esperimento di cui si conoscono i possibili risultati ma l'esito è incerto .

• Spazio campionario è l'insieme dei possibili risultati a cui può dar luogo un esperimento aleatorio

• Lo spazio campionario può essere finito o infinito

• L'evento elementare è un possibile risultato di un esperimento aleatorio

• L'evento non elementare . “ L'evento “ è costituito da più eventi elementari

• 29

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ : ESPERIMENTO DI BENOULLI ] Esempi :

Domani pioverà?

Esperimento di Bernoulli; È un esperimento che può avere solo due possibili risultati che si dice anche dicotomico, Si o NO . Lo spazio campionario e in questo caso:

Ω = {SI,NO}

Lancio di una moneta

Lo spazio campionario e in questo caso

è Testa o Croce Ω = {T,C}

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: DEFINIZIONE DI PROBABILITA CLASSICA ] f n

P ( E ) = /

f

Dato un esperimento ben specificato ed un evento E tra quelli possibili per l'esperimento , se [ ] è il numero dei casi

n Con :

favorevoli al verificarsi dell'evento mentre [ ] è il numero di tutti i possibili risultati ,i casi possibili , allora la probabilità del

verificarsi di un evento E è data dal rapporto : E = un evento tra quelli possibili per

f n l'esperimento

P ( E ) = / f = numero di casi favorevoli

0 ≤ P ( E ) ≤ 1 n = numero di casi possibili

n

( Questo è sempre un numero compreso tra 0 ed 1 purché tutti gli risultati siano egualmente possibili ) La probabilità misura

l'incertezza di un evento ( come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili )

La Probabilità è = Casi favorevoli / Casi possibili

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: DEFINIZIONE DI PROBABILITA FREQUENTISTA ] n

P ( E ) = lim

Dato un esperimento ben specificato e perfettamente ripetibile la probabilità del verificarsi di un evento E è data dal limite del f n

n → ∞

rapporto tra il numero f di volte che l'evento E si è presentato in una serie di prove ripetute nelle stesse condizioni e il numero /

f n

totale n delle prove, quando n tende all'infinito. { Casi favorevoli casi possibili }

n

f

n E = un evento tra quelli possibili per

P ( E ) = lim { Casi favorevoli / casi possibili }

n

n → ∞ l'esperimento

f = numero di casi favorevoli

n

Ci domandiamo che cosa c'è di differente rispetto all'impostazione classica? È che noi pensiamo di fare un esperimento n = numero di casi possibili

moltissime volte, e che questo esperimento può essere replicato esattamente. 30 ∀

1) I° Postulato 0 < P (A ) < 1 {

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA] i

⊂

A Ω }

i

La definizione che stiamo introducendo adesso si basa su determinate proprietà che si chiamano anche postulati ,del calcolo ∀

delle probabilità ,e sono tre. ( Per ogni , , evento A che appartiene a

i

⊂

Ω , che è incluso, , nell'insieme Ω )

Nella definizione assiomatica, invece, si fissano delle regole (assiomi o postulati ) che devono essere rispettate perché si possa

parlare di probabilità. 2) II° Postulato P( Ω ) =1

( La probabilità dell'evento certo è = 1)

Quantificarla, caso per caso, è un problema distinto. ∪

3) III° Postulato P (A A ) = P (A ) +

i j i

Siano A , A ,....A n eventi di Ω.

1 2 n P (A ) ( La probabilità

j

La probabilità di un evento A è definita come una funzione a valori reali P(A) , che soddisfa i seguenti assiomi ( vedi a lato ) ∪

dell'unione A A è data dalla somma

i j

delle 2 probabilità degli eventi , P (A ) +

i

P (A ) ,solo se i due eventi sono

j

incompatibili cioè se l'intersezione è

∅

l'insieme vuotoA ∩ A = , per ogni i

i j ∀

diverso da j in simboli( ) i ≠ j )

Il valore della probabilità P (E) sarà

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: CONSEGUENZE DEI TRE POSTULATI] quindi sempre compreso tra 0 ed 1 ed è

Dai tre postulati derivano delle propietà che sono : una funzione che soddisfa le tre

∈

A) Per ogni evento A Ω → Possiamo definire la probabilità dell'evento negazione precedenti proprietà:

P(A) = 1 – P(A) questo perchè necessariamente P(A ) + P(A) = 1 0 < P < 1

∅

B) La probabilità dell'evento impossibile ( insieme vuoto ) è nulla

→ P(∅) = 0

∈

C ) Per ogni evento A Ω 0 ≤ P(A) ≤ 1 31

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ:OPERAZIONI SULLE PROBABILITA ]

1) Se A e B sono due eventi di Ω ( mutuamente esclusivi o indipendenti ) la probabilità è la somma di due eventi .

∪

P ( A B ) = P ( A) + P (B):

2) Se A e B sono due eventi di Ω ( non sono indipendenti o non mutuamente esclusivi ) la probabilità è la somma di due

eventi ( - ) la probabilità dell'evento intersezione se no li considero 2 volte

∪ ∩

P ( A B ) = P ( A) + P(B) - P ( A B )

3) Se due eventi A e B sono indipendenti, se il verificarsi di A non influenza la probabilità di verificarsi di B e vice versa

si ha quindi :

∩

P(A B) = P(A) • P(B)

{ che si legge come la probabilità che si verifichino contemporaneamente entrambe gli eventi }

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: PROBABILITA CONDIZIONATA ] ∩

Il concetto di probabilità condizionata traduce formalmente l'idea di probabilità di un evento,calcolata sapendo che si è P ( A B ) = P ( A B ) / P(B)

│

verificato un altro evento . { che si legge P di A dato B è uguale

Siano A e B due eventi qualsiasi dello spazio campione Ω e sia P(A) ≠ 0 e P(B) >0 all'intersezione tra il verificarsi

contemporaneo tra i due eventi diviso la

Si definisce probabilità di un evento A condizionata ( o subordinata ) all'evento B e si indica con : }.

probabilità di B

P(A B) = P(A∩ B) / P(B)

│ ∩

P(B A) = P(A B) / P(A)

│

Analogamente,la probabilità dell'evento B, nell'ipotesi che si sia già verificato l'evento A, è chiamata probabilità di un evento

B condizionata all'evento A ed è definita da : {che si legge P di B dato A è uguale

∩

P(B A) = P(A B) / P(A)

│ all'intersezione tra il verificarsi

contemporaneo tra i due eventi diviso

Se i due eventi sono indipendenti avremo che : la probabilità di A}.

P(A B) = P(A)

│

P(B A) = P(B)

│ Le due relazioni precedenti si possono

[ INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ: PROBABILITA CONDIZIONATA SEGUE ] scrivere anche come :

Sono le espressioni della probabilità intersezione di due eventi A e B ,cioè che si verifichino contemporaneamente i due eventi ∩

→ P ( A B ) = P ( A│B ) ∙ P(B)

sia A che B ; è ottenuta come prodotto della probabilità che si verifichi un evento dato che si è verificato l'altro e la seconda come :

32

[ IL TEOREMA DELLA PROBABILITA TOTALE ]

| |

Poichè la probabilita condizionata P A B P B A è possibile con il teorema di Bayes calcolare

( ) è diversa dalla probabilità ( )

| |

la P B A nota P A B

( ), la ( ).

Consideriamo la situazione illustrata con il seguente diagramma di Venn ∩ ∪

Gli eventi B e B sono tali che Ω

B B =0 e B B =

1 2 1 2 1 2

Ω ∩ ∩

Gli insiemi A B e A B sono mutuamente esclusivi, perciò

B

A 1 2

2

B 1 ∩ ∩

P(A) = P(A B ) + P(A B )

A ∩ B

A ∩ B 1 2

2

1 Applicando la regola di moltiplicazione che é

∩

P(A B ) = P(A B )∙ P( B )

│

i i i

si ottiene : P(A)= P(A │ B ) ∙ P(B ) + P(A │B ) ∙ P(B ).

1 1 2 2

Che è il Teorema della probabilità totale

[ IL TEOREMA DI BAYES O TEOREMA DELLA PROBABILITA DELLE CAUSE ]

Sia A un evento con P(A) > 0 e { B , B ,.....B } una famiglia di eventi dello spazio campione Ω

l 2 n

soddisfacenti le ipotesi del teorema Teorema della probabilità totale.

Allora n

P( B │ A) ={ ( P │B ) ∙P(B ) } / ∑ P(A │B )∙ P(B ) per ogni k

k A k k i i

i=1

Questo teorema ci permette di trovare le probabilità degli eventi B che possono essere la causa del verificarsi

k

dell'evento A, in altre parole che l'effetto A sia stato provocato dalla causa B ; per questo motivo è detto anche teorema

k

della probabilità