Statistica

Statistica descrittiva

In statistica, si definisce variabile una qualunque caratteristica di interesse per la popolazione d’indagine: i valori che la variabile assume sono, invece, i dati. In generale, le variabili possono essere di due tipi:

• Variabili categoriche, ossia quelle variabili non esprimibili con dei numeri (come il colore degli occhi o il gruppo sanguigno);
• Variabili numeriche, le quali si distinguono, a loro volta, in:
  • Variabili numeriche discrete, che sono quelle variabili che possono assumere solo valori ben definiti;
  • Variabili numeriche continue, che sono quelle variabili che possono assumere tutti i valori contenuti in un intervallo.

Le frequenze

Per sintetizzare i dati di un’indagine statistica si costruisce la tabella delle frequenze, ossia una tabella che associa a un determinato valore o classe di valori (intendendo per classe un sottoinsieme di valori che possono essere assunti dai dati) i rispettivi valori di:

• Frequenza assoluta, che si definisce come il numero di dati che assumono il valore considerato;
• Frequenza relativa, che si definisce come il rapporto tra frequenza assoluta e numero totale di dati;
• Frequenza cumulata, che si definisce come la percentuale di dati che assumono un valore minore o uguale al dato considerato.

Gli indici di posizione

Gli indici di posizione hanno lo scopo di indicare attorno a quale valore sono distribuiti i dati e si dividono in:

• Moda, che si definisce come il valore o la classe di valori a cui corrisponde la massima frequenza assoluta;
• Media campionaria, che viene definita dalla formula: ̅=∑ (N.B.: La media può essere ricalcolata facilmente a seguito di un cambiamento di unità di misura: se, infatti, cambiando unità di misura i dati si trasformano da x a allora vale la relazione ̅ + );
• Mediana, che è quel dato m tale che almeno il 50% dei dati è maggiore o uguale ad m e almeno il 50% dei dati è minore o uguale ad m. In generale, dunque, data una successione ordinata di dati x_i, la mediana può essere calcolata come: (se n è dispari) ([(n+1)/2]^th dato), (se n è pari) [(n/2)^th dato + (n/2 +1)^th dato] / 2;
• Quantile (di ordine p), che è quel dato q tale che almeno il 100p% dei dati è minore o uguale di q e almeno il 100(1-p)% dei dati è maggiore o uguale di q. In generale, dunque, data una successione ordinata di dati x_i, il quantile di ordine p può essere calcolato come: (se np non è intero) [(np)^th dato], (se np è intero) [(np)^th dato + (np+1)^th dato] / 2. N.B.: A differenza di quanto avveniva per la media campionaria, per i quantili, data la trasformazione di dati vale la relazione: + , a > 0 (se np non è intero) [(np)^th dato + , a < 0.

Gli indici di dispersione

Gli indici di dispersione indicano quanto i dati sono distribuiti e si dividono in:

• Range, che è la differenza tra il valore dell’ultimo dato e il valore del primo dato (nella successione ordinata dei dati): R = X(n) - X(1);
• Distanza interquartilica, definita come la differenza tra il valore del terzo quartile e il valore del primo quartile: Q3 - Q1;
• Varianza campionaria, che è definita dalla formula: s² = (Σ (xi - μ)² ) / (n - 1). Di conseguenza, la varianza campionaria risulta essere sempre non negativa e, dunque, la sua radice quadrata è sempre definita e prende il nome di deviazione standard campionaria [N.B.: A differenza di quanto visto per gli indici di posizione, la varianza non varia linearmente a seguito di un cambio di unità di misura: data la trasformazione X' = aX + b, s'² = a²s²].

Il calcolo delle probabilità

Si definisce esperimento aleatorio un qualsiasi esperimento il cui risultato non è scontato (ossia non deterministico) e si dicono eventi tutte le possibili proposizioni circa il risultato dell’esperimento.

La probabilità

Si definisce probabilità una funzione P: Ω → [0,1], dove Ω è l'insieme degli eventi, che gode delle seguenti proprietà:

• P(E) ≥ 0 per ogni E;
• P(Ω) = 1;
• Se E₁, ..., E_n sono eventi tali che E_i ∩ E_j = ∅ per i ≠ j, allora P(E₁ ∪ ... ∪ E_n) = Σ P(E_i).

La funzione probabilità gode, inoltre, delle seguenti proprietà:

• P(E) ≤ 1;
• P(Ē) = 1 - P(E);
• Se l’evento E implica l’evento F, allora P(E) ≤ P(F).

La funzione di ripartizione

Si definisce variabile aleatoria il risultato di una qualunque misura effettuata in un esperimento aleatorio: assegnando tale variabile ad un valore o ad un sottoinsieme si ottiene, dunque, un evento. La funzione di ripartizione della variabile aleatoria X è, perciò, quella funzione F_X(t) = P(X ≤ t). Tale funzione gode, dunque, delle seguenti proprietà:

• È una funzione non decrescente;
• Lim(t → -∞) F_X(t) = 0 e Lim(t → ∞) F_X(t) = 1;
• È una funzione continua da destra, ossia Lim(t → 0⁺) F_X(t) = F_X(t);
• Se x ∈ (t, s], allora P(t < X ≤ s) = F_X(s) - F_X(t).

La funzione densità di probabilità per le variabili discrete

Data una variabile aleatoria discreta X che assume valori in D si definisce funzione densità di probabilità di X la funzione p_X: D → [0,1] | p_X(x) = P(X = x). Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

• 0 ≤ p_X(x) ≤ 1 per ogni x;
• Σ p_X(x) = 1.

Si definisce, inoltre, variabile aleatoria bernoulliana una variabile aleatoria che, fissato un evento E, assume il valore 1 se E si verifica e il valore 0 se si verifica l’opposto di E. Introdotta tale variabile, dunque, si può definire la funzione densità bernoulliana di parametro P(E), che si indica con p(x): {0,1} → [0,1] | p(1) = P(E) e p(0) = 1 - P(E).

La funzione densità di probabilità per le variabili continue

Data una variabile aleatoria X, si definisce funzione densità di probabilità di X la funzione f_X: ℝ → [0,∞) | P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx. Tale funzione gode, perciò, delle seguenti proprietà:

• f_X(x) ≥ 0 per ogni x;
• ∫_-∞^∞ f_X(x) dx = 1.

N.B.: Mentre la funzione di ripartizione è sempre continua, la funzione densità di probabilità può non essere continua e, inoltre, può assumere valori maggiori di 1. Infine, vale la relazione F_X(t) = ∫_-∞^t f_X(x) dx.

Le funzioni di variabile aleatoria

Sia Y = g(X) una funzione e X una variabile aleatoria continua di densità nota f_X. Definita, dunque, è possibile determinare la densità f_Y a partire dalla densità di X tramite i seguenti passaggi:

1. In primis si ricava P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y);
2. In seguito si ricava F_Y(y) conoscendo y=g(x);
3. Infine si ricava f_Y(y) = d/dy F_Y(y).

Particolarmente significativo è, inoltre, il caso delle trasformazioni affini, per le quali, partendo dalla trasformazione y=ax+b, si giunge facilmente alla relazione f_Y(y) = f_X((y-b)/a) / |a|.

Quantili, media e varianza delle variabili aleatorie

• Siano X una variabile aleatoria continua e F_X: [0,1] → ℝ iniettiva in un intorno di p₀. Si definisce quantile di ordine p₀ della variabile X il valore x_p tale che F_X(x_p) = p₀.
• Sia X una variabile aleatoria. Si definisce media o speranza di X il numero E[X] tale che:
  • E[X] = Σ x_ip_X(x_i) se X è discreta;
  • E[X] = ∫_-∞^∞ x f_X(x) dx se X è continua.
• La media di una variabile aleatoria gode, perciò, delle seguenti proprietà:
  • E[X] è il baricentro della densità di X;
  • Se f_X è simmetrica rispetto a t₀, allora E[X] = t₀;
  • Data la trasformazione y=g(x), vale E[Y] = ∫_-∞^∞ g(x) f_X(x) dx.
• Sia X una variabile aleatoria. Si definisce varianza di X il numero Var[X] tale che:
  • Var[X] = Σ (x_i - E[X])² p_X(x_i) se X è discreta;
  • Var[X] = ∫_-∞^∞ (x - E[X])² f_X(x) dx se X è continua.
• La varianza di una variabile aleatoria è, perciò, un indice di quanto la densità di tale variabile è dispersa e gode, inoltre, delle seguenti proprietà:
  • Var[X] ≥ 0;
  • Var[X] = 0 solo se X è una variabile aleatoria costante;
  • Var[aX + b] = a²Var[X];
  • Sia X una variabile aleatoria continua con densità f_X(x) = (1/√(2πσ²)) e^{-(x-µ)²/2σ²}: tale densità prende il nome di densità gaussiana (o normale) e si indica con ~N(µ,σ²).
• Tale densità gode delle seguenti proprietà:
  • E[X] = µ;
  • Var[X] = σ²;
  • Data la trasformazione affine y = ax + b, avremo che ~N(aµ+b, a²σ²).
• Considerando, ora, la terza proprietà, possiamo notare che, data la trasformazione affine z = (x - µ)/σ, risulterà tale distribuzione prende il nome di distribuzione normale standardizzata, si indica con Z e i suoi valori sono tabulati. Per di più, la distribuzione normale standardizzata gode di un’importante proprietà, in quanto vale Φ(-z) = 1 - Φ(z) per ogni z e, di conseguenza, possiamo anche concludere che, dato il quantile di ordine p per la variabile Z, varrà z_p = -z_1-p.

Esperimenti aleatori con più variabili

Spesso gli esperimenti aleatori coinvolgono più di una variabile ed è, perciò, utile introdurre nuovi strumenti di calcolo per poter valutare ciò che avviene quando sommiamo tali variabili in base al rapporto che intercorre tra quest’ultime.

• Teorema: Siano X, Y due variabili aleatorie. Allora E[X + Y] = E[X] + E[Y] e Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] + 2Cov(X, Y).
• Definizione: Siano X₁, ..., X_n variabili aleatorie. Tali variabili si definiscono indipendenti se P(X₁ ∈ A₁, ..., X_n ∈ A_n) = P(X₁ ∈ A₁) ⋅ ... ⋅ P(X_n ∈ A_n) per ogni A₁, ..., A_n.
• Teorema: Siano X, Y due variabili aleatorie indipendenti. Allora, Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y].
• Corollario: Siano X₁, ..., X_n variabili aleatorie. Allora Var[X₁ + ... + X_n] = Var[X₁] + ... + Var[X_n].

Prove di Bernoulli

Siano n prove ripetute tali che:

• L’esito di ciascuna prova possa risultare esclusivamente in un successo o in un insuccesso;
• Ogni prova abbia una probabilità di risultare in un successo pari a p ∈ (0,1);
• L’esito di ciascuna prova sia completamente indipendente dall’esito delle altre.

Riguardo tali prove possiamo, a questo punto, introdurre n variabili aleatorie X'₁, ..., X'_n = {1, se successo; 0, se insuccesso}. Possiamo, per di più, introdurre un’ulteriore variabile aleatoria S = Σ X'_i. Notiamo, dunque, che valgono le seguenti considerazioni:

• S ~ Binomiale(n, p) per ogni i;
• E[S] = np e Var[S] = np(1-p);
• La funzione densità è tale che P(S = k) = (n choose k) p^k (1-p)^n-k per k = 0, 1,..., n.

Teorema: Tale densità si definisce densità binomiale di parametri n e p e si indica con S ~ B(n, p).

Osservazione: Densità di Poisson

Nel caso in cui n → ∞ e p → 0 in modo tale che λ = np è costante, si dimostra che tale densità prende il nome di densità di Poisson di parametro λ e si può notare che P(X = k) = e^-λ λ^k / k! per k = 0, 1, 2, ...

Osservazione: Siano X₁, ..., X_n indipendenti, allora vale Var[X₁ + ... + X_n] = Var[X₁] + ... + Var[X_n].