Richiami utili per Scienza delle Costruzioni

SPOSTAMENTO DI UN CORPO

NELLO SPAZIO UN CORPO PUÒ TRASLARE SECONDO 3 DIREZIONI (x, y, z) E RUOTARE INTORNO A 3 ASSI, QUINDI LO SPOSTAMENTO DI UN PUNTO GENERICO È DESCRITTO DA 3 COMPONENTI DI TRASLAZIONE U, V, W e 3 COMPONENTI DI ROTAZIONE θ_x, θ_y, θ_z; SI DICE CHE UN CORPO HA GRADI DI LIBERTÀ (GDL).

NEL PIANO I GDL SONO 3 OVVERO, 2 COMPONENTI DI TRASLAZIONE U (ORIZZONTALE) , V (VERTICALE) E UNA COUPLEMENTE DI ROTAZIONE.

AFFINCHÉ UN CORPO SIA ISOSTATICO (CIÒ CHE NON AMMETTE SPOSTAMENTI) OCCORRE IMPEDIRE I SUOI 3 GDL; PER IMPEDIRSI I GDL ABBIAMO A DISPOSIZIONE I VINCOLI:

1. VINCOLO SEMPLICE = PERCHÉ IMPEDISCE UNA COMPONENTE DI SPOSTAMENTO SI DICE CHE IL VINCOLO HA UNA MOLTEPLICITÀ DI VINCOLO 1 (1 MDV)
2. VINCOLI DOPPI = 2(MDV)
3. VINCOLO TRIPLO = 3(MDV)

AVREMO QUINDI LA SEGUENTE SITUAZIONE

• MDV = GDL → LA STRUTTURA RISULTA APPARENTEMENTE ISOSTATICA
• MDV > GDL → LA STRUTTURA RISULTA APPARENTEMENTE UNA O PIÙ VOLTE IPERSTATICA
• MDV < GDL → LA STRUTTURA RISULTA UNA O VOLTE LABILE

Vincoli Semplici

Vincolo

Condizioni di congruenza:

Sono spostamenti impediti dal vincolo.

• Vp = 0
• Up ≠ 0
• θ ≠ 0

Carrello

Sp = 0

• Up = 0
• Vp ≠ 0
• θ ≠ 0

Reazioni esercitate dal vincolo ai fini di impedire lo spostamento del corpo:

• U_pcosα + V_esenα = 0

Equilibrio di un corpo rigido

ΣF_x = 0 ΣF_y = 0 ΣM_(p) = 0

Affinché si verifichi l'equilibrio di un corpo rigido occorre che vengano soddisfatte le seguenti equazioni cardinali della statica.

Se un corpo è effettivamente isostatico, non si sposta e quindi, indipendentemente dal tipo e numero di forze applicate dovrà risultare necessariamente in equilibrio considerando il sistema di forze attivo e reattivo; quindi in un corpo effettivamente isostatico valgono sempre le 3 equazioni card. della statica.

Σ_TOTM_K = 0 → ql ∙ 9ql + ⨯⨯⨯ ∙ 2l = γ_v ∙ 2l = -q_l^⋅ l

N = -^qL/₂

Σ_TOTY = 0 → -ql + RH^⨯/₂ - q_l/₂ = 0 →

K_HU/₂ = ³/₂ q_l

Σ_TOTX →

Sforzo di taglio

T_AB^' = +gl (costante)

T_BC^' = +3gl (costante)

T_ED^' = -2gl (costante)

T_DC^' = 0

Nei nodi N e T devono equilibrarsi

Equilibrio nodo B:

T = 2gl

Equilibrio nodo D:

Forza applic.

Tratti Inclinati

∑x = 0 → -Y_A + qℓ = 0 → X_A = qℓ

∑M_A = 0 → -qℓ⋅^ℓ/₂ - qℓ⋅^ℓ/₂ + Y_C⋅2ℓ = 0 → Y_C = qℓ/₂

∑γ = 0 → Y_A - qℓ + qℓ/₂ = 0 → Y_A = qℓ/₂

CASO IN CUI NON È POSSIBILE INDIVIDUARE UN'EQUAZIONE IN UN'INCÓGNITA.

IN TAL CASO ANDREMO ALLA RICERCA DI DUE EQUAZIONI, IN CUI COMPAIANO LE STESSE DUE INCOGNITE.

1. LE DUE INCOGNITE VANNO SCELTE SENZA MAI MISCCHIARE I VINCOLI CIOÈ:
   • O DUE ESTERNE DI UN CORPO
   • O DUE ESTERNE DELL'ALTRO CORPO
   • O LE DUE INTERNE
2. SCEGLIENDO PER ESEMPIO LE REAZIONI DELLA CERNIERA G QUESTE SONO QUELLI ESTERNE DEL CORPO II LE DUE EQUAZIONI ANDRANNO SCRITTE QUINDI UNA PER VINCOLI ESTERNI E L'ALTRA DEL CORPO I

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SPOSTAMENTO DI UN PUNTO IN CAMPO VETORIALE

CR

CENTRO DI ROTAZIONE

PER SPOSTAMENTI INFINITESIMI (AL TENDERE A 0 DI θ) LO SPOSTAMENTO DEL PUNTO P AVVIENE LUNGO LA RETTA ⊥ ALLA RETTA CHE UNISCE P E CR, MENTRE LO SPOSTAMENTO NELLA DIREZIONE IN CUI SI TROVA IL CENTRO DI ROTAZIONE (P-CR) È NULLO. POSSIAMO QUINDI OTTENERE IL SEGUENTE SCHEMA VALIDO PER LA CINEMATICA LINEARIZZATA OVVERO PER SPOSTAMENTI INFINITESIMI:

θ = Sp / L

Sp = θ • L

CINEMATICA

Esempi

CR R. IMP.

CR EX

CR EB

Punto proprio

CR E RMP

ISO

CR EX

CR

LABILE perche

Punto improprio che appartiene alla retta impropria

PRIMO TEOREMA DELLE CATENE CINEMATICHE; 1°TCC.

3

(Si applica se non c'è l'isostaticità (3MIV) né per vincoli esterni ad un corpo, né per vincoli interni) (Per esclusione avremo quindi 2MIV esterni ed interni)

LA STRUTTURA È LABILE SE I 3 CENTRI DI ROTAZIONE

(C_I, C_II, C_III) SI ALLINEANO SU UN'UNICA RETTA Ω

C_I ←II→←III→

LA STRUTTURA RISULTERÀ EFFETTIVAMENTE ISOSTATICA QUINDI SE TALE ALLINEAMENTO NON È VERIFICATO.

3_A

L'ALLINEAMENTO TRA G_I E G_II AVVIENE LUNGO LA RETTA Ω ALLA QUALI NON APPARTIENE G_III QUINDI NON VERIFICANDOSI L'ALLINEAMENTO DEI 3 CENTRI SU UN'UNICA RETTA, PER IL PRIMO TCC LA STRUTTURA RISULTA EFFETTIVAMENTE ISOSTATICA.